分配律怎么学？雨露均沾法深度解析与例题精讲专项练习题库

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：漏乘 → 计算 \( 3(x + 5) = 3x + 5 \)。
  ✅ 正解：括号外的“雨露” \( 3 \) 没有洒遍。正确是 \( 3(x + 5) = 3 \cdot x + 3 \cdot 5 = 3x + 15 \)。
• ❌ 错误2：符号错误 → 计算 \( -2(a - 4) = -2a - 8 \)。
  ✅ 正解：“雨露” \( -2 \) 在洒向 \( -4 \) 时，符号搞错了。记住，负负得正。正确是 \( -2(a - 4) = (-2) \cdot a + (-2) \cdot (-4) = -2a + 8 \)。
• ❌ 错误3：与结合律混淆 → 认为 \( a(bc) = (ab)(ac) \)。
  ✅ 正解：分配律是“雨露均沾”，针对的是加（减）法。\( a(bc) \) 是乘法结合律，等于 \( (ab)c \)。分配律的关键特征是括号里是“和”或“差”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 用分配律计算：\( 7 \times (10 + 3) \)。
2. 化简：\( 4(x + 5) \)。
3. 化简：\( -3(y - 2) \)。
4. 计算：\( \frac{1}{3} \times (9 + 6) \)。
5. 化简：\( 0.5(2m + 4n) \)。
6. 计算：\( (12 - 4) \times 5 \)（用两种方法）。
7. 化简：\( a(b - c + d) \)。
8. 一个正方形的边长是 \( (k+2) \) cm，用分配律表示它的周长。
9. 判断对错：\( 6 \div (2+1) = 6 \div 2 + 6 \div 1 \)。
10. 化简：\( -(x + 7) \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 计算：\( 19 \times 37 + 19 \times 63 \)。
2. 化简求值：\( 3x(x-2y) - 2x(x+y) \)，其中 \( x = -1, y = 2 \)。
3. 已知 \( A = 2x+1, B = x-3 \)，求 \( 3A - 2B \) 的化简结果。
4. 解方程：\( 5(2x - 1) - 3(x+2) = 7 \)。
5. 计算：\( (-2)^3 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) \)。
6. 一个三角形的底边长是 \( 3a \)，这边上的高是 \( (2b - 1) \)，用分配律表示其面积。
7. 化简：\( \frac{1}{2}(4x^2 - 6x) - x(x-1) \)。
8. 若 \( 3 \times (□ + 5) = 27 \)，求方框中的数。
9. 比较大小（不计算具体值）：\( 2024 \times 2025 \) 和 \( 2024 \times 2024 + 2024 \)。
10. 化简：\( 2[3m - (n - 2m)] \)。

第三关：生活应用（5道）

1. 采购预算：学校食堂计划购买单价 \( m \) 元的苹果和单价 \( n \) 元的橙子各 \( 50 \) 公斤。请用两种方法列式表示总花费，并说明它们如何体现了分配律。
2. 贴瓷砖：浴室一面墙是长方形，宽 \( w \) 米，长比宽多 \( 1.5 \) 米。如果每平方米需要 \( k \) 块瓷砖，用分配律化简表示总共需要的瓷砖数量（结果不含括号）。
3. 快递费用：某快递公司省内收费规则为首重 \( a \) 元（1公斤内），续重每公斤 \( b \) 元。小星寄了一个 \( (3+x) \) 公斤的包裹（\( x > 0 \)）。请用分配律化简表示快递费。
4. 农田灌溉：一块长方形农田被一条小路分成面积相等的两块（如下图）。已知整块地长 \( L \) 米，宽 \( d \) 米，小路宽 \( 1 \) 米。请用分配律帮助表示其中一块小田地的面积。
   
5. 利润计算：商店卖出 \( n \) 件商品，每件成本 \( c \) 元，售价 \( s \) 元。请用分配律化简表示总利润，并解释“雨露均沾”在这个式子中如何体现。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 7 \times 10 + 7 \times 3 = 70 + 21 = 91 \)
2. \( 4x + 20 \)
3. \( -3y + 6 \) （注意：\( -3 \times (-2) = +6 \)）
4. \( \frac{1}{3} \times 9 + \frac{1}{3} \times 6 = 3 + 2 = 5 \)
5. \( m + 2n \) （\( 0.5 \times 2m = m, 0.5 \times 4n = 2n \)）
6. 方法一：\( 8 \times 5 = 40 \)；方法二：\( 12 \times 5 - 4 \times 5 = 60 - 20 = 40 \)
7. \( ab - ac + ad \)
8. 正方形周长 \( = 4 \times (k+2) = 4k + 8 \) (cm)
9. 错。除法没有分配律。左边 \( 6 \div 3 = 2 \)，右边 \( 3 + 6 = 9 \)，不相等。
10. \( -x - 7 \) （相当于 \( -1 \times (x+7) \)）

第二关：中考挑战

1. \( 19 \times (37 + 63) = 19 \times 100 = 1900 \) （逆用分配律）
2. 先化简：原式 \( = 3x^2 - 6xy - 2x^2 - 2xy = x^2 - 8xy \)。代入得：\( (-1)^2 - 8 \times (-1) \times 2 = 1 + 16 = 17 \)。
3. \( 3(2x+1) - 2(x-3) = 6x+3 -2x+6 = 4x + 9 \)。
4. 去括号：\( 10x - 5 - 3x - 6 = 7 \) → \( 7x - 11 = 7 \) → \( 7x = 18 \) → \( x = \frac{18}{7} \)。
5. 先算括号：\( -8 \times (\frac{1}{4} - \frac{2}{4}) = -8 \times (-\frac{1}{4}) = 2 \)。
6. 面积 \( S = \frac{1}{2} \times 3a \times (2b - 1) = \frac{3a}{2} \times (2b - 1) = 3ab - \frac{3a}{2} \)。
7. 原式 \( = 2x^2 - 3x - x^2 + x = x^2 - 2x \)。
8. 设方框为 \( y \)，则 \( 3y + 15 = 27 \)，\( 3y = 12 \)，\( y = 4 \)。
9. 相等。因为 \( 2024 \times 2025 = 2024 \times (2024+1) = 2024 \times 2024 + 2024 \)。
10. 先去小括号：\( 2[3m - n + 2m] = 2[5m - n] = 10m - 2n \)。

第三关：生活应用

1. 方法一（合买）：\( 50 \times (m + n) \) 元。方法二（分开买）：\( 50m + 50n \) 元。根据分配律，两者相等。
2. 墙的长为 \( (w + 1.5) \) 米，面积为 \( w(w+1.5) = w^2 + 1.5w \) 平方米。瓷砖数 \( = k \times (w^2 + 1.5w) = kw^2 + 1.5kw \) (块)。
3. 快递费 \( = a + b \times (2 + x) \)。这里分配律用于续重部分：\( b \times (2 + x) = 2b + bx \)。所以总费用为 \( a + 2b + bx \) 元。（注意：首重 \( a \) 元是单独的，不是“雨露”）
4. 总面积 \( = L \times d \)。小路面积 \( = 1 \times d \)。一块小田地面积 \( = \frac{1}{2} \times (Ld - d) = \frac{1}{2} \times d \times (L - 1) = \frac{dL}{2} - \frac{d}{2} \) 平方米。
5. 总利润 \( = n \times (s - c) \)。利用分配律：\( n \times s - n \times c \)。这里“雨露”是卖出的数量 \( n \)，它均匀地作用在每件商品的利润 \( (s-c) \) 上，得到总收入 \( ns \) 和总成本 \( nc \)，两者之差即总利润。