初中数学分界线与分段讨论完全攻略：从绝对值到对称轴深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：分界线 原理

• 核心概念：想象函数图象是一条起伏的山路。那个决定山路拐弯的最高点或最低点，就像一根竖在那里的“对称轴”。阿星说：“这根轴就是分界线！它把函数领地一分为二。”在分界线的一侧，函数值就像爬坡一样单调上升；在另一侧，函数值就像下坡一样单调下降。所以，想摸清整个函数的脾气，必须分段讨论！ 不分段，你就搞不清它什么时候往上走，什么时候往下溜。这个“分界线”在数学上，通常就是函数表达式发生根本性变化的临界点，例如绝对值里的零点、二次函数的对称轴等。
• 计算秘籍：
  1. 定位分界线：找到让函数“性情大变”的临界点。例如，对于含 \( |x-a| \) 的式子，分界线就是 \( x = a \)；对于二次函数 \( y=ax^2+bx+c \)，分界线就是对称轴 \( x=-\frac{b}{2a} \)。
  2. 画轴分区：在数轴上标出这个临界点，它将数轴分成两部分（有时是多部分）。
  3. 分段脱衣：在每个区间内，根据 \( x \) 与临界值的大小关系，去掉绝对值号，或确定二次函数的单调性。比如，当 \( x \ge a \) 时，\( |x-a| = x-a \)；当 \( x < a \) 时，\( |x-a| = a-x \)。
  4. 各段求解：在每个区间内，按照化简后的表达式分别进行计算或绘图。
• 阿星口诀：函数图像像爬山，对称轴是分水岭。左升右降要分清，分段讨论思路明！

📐 图形解析

让我们以最经典的“分界线”函数——绝对值函数 \( y = |x - a| \) 为例。它的图像是一个以点 \( (a, 0) \) 为顶点的“V”字形。直线 \( x = a \) 就是它的对称轴，也就是分界线。在分界线左侧 \( (x < a) \)，函数图象下降；在右侧 \( (x > a) \)，函数图象上升。

函数解析式： \( y = |x - 3| \)

图像清晰显示：以 \( x = 3 \) 为界，左边线段的斜率是负的（下降），右边线段的斜率是正的（上升）。这完美诠释了“以对称轴为界，一边上升一边下降”。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：不分段，直接对含绝对值的式子进行计算。例如，直接说 \( |x-2| + x = 2x-2 \)。
  ✅ 正解：必须分 \( x \ge 2 \) 和 \( x < 2 \) 两种情况讨论。当 \( x \ge 2 \) 时，原式 \( = (x-2)+x = 2x-2 \)；当 \( x < 2 \) 时，原式 \( = (2-x)+x = 2 \)。
• ❌ 错误2：分段讨论后，忽略了“分界线”点（临界点）本身。例如，求函数 \( y = \sqrt{x-1} + \sqrt{5-x} \) 的定义域时，只写出 \( x>1 \) 且 \( x<5 \)。
  ✅ 正解：临界点 \( x=1 \) 和 \( x=5 \) 也需要被考虑。定义域应为 \( x \ge 1 \) 且 \( x \le 5 \)，即 \( [1, 5] \)。分段点往往是函数值唯一确定或发生质变的关键。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 化简：\( |5-3| + | -2 | \)
2. 解方程：\( |x| = 7 \)
3. 画出函数 \( y = |x| \) 的示意图，并指出它的对称轴。
4. 分段表示函数 \( f(x) = |x - 1| \)。
5. 求函数 \( y = \sqrt{x-2} \) 的定义域。
6. 已知函数 \( f(x) = -x^2 + 4 \)，写出它的对称轴方程，并说明在对称轴左右两侧的单调性。
7. 解不等式：\( |x + 3| < 5 \)
8. 计算：当 \( x < 0 \) 时，\( \frac{|x|}{x} = ? \)
9. 点 \( P(2, -3) \) 关于y轴的对称点坐标是？关于x轴的对称点坐标是？
10. 已知在数轴上点A表示的数是-1，点B表示的数是4，求线段AB的长度。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考改编）已知实数 \( a, b \) 满足 \( |a+1| + \sqrt{b-3} = 0 \)，则 \( a^b = \) ______。
2. 函数 \( y = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1} \) 的自变量 \( x \) 的取值范围是______。
3. 若点 \( M(3a-9, 1-a) \) 在第三象限，且它的横纵坐标都是整数，则点M关于x轴的对称点坐标是______。
4. 已知一次函数 \( y = (m-1)x + 2m-6 \)，当 \( m \) 为何值时，函数值 \( y \) 随 \( x \) 的增大而减小？
5. 解方程：\( |2x - 1| = 3x + 2 \)。
6. 若二次函数 \( y = x^2 - 2x + k \) 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______。
7. 求函数 \( y = |x+1| + |x-2| \) 的最小值。
8. （几何分界）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数是______。
9. （实际应用）某市出租车的收费标准是：起步价10元（3公里以内），超过3公里后，每公里加收2元（不足1公里按1公里计）。写出车费 \( y \)（元）与行驶里程 \( x \)（公里，\( x>0 \)）之间的函数关系式。
10. 已知关于 \( x \) 的不等式组 \( \begin{cases} 2x+3 > 1 \\ x-a < 0 \end{cases} \) 的解集为 \( -1 < x < 2 \)，则 \( a = \) ______。

第三关：生活应用（5道）

1. （最优选址）如上例题3，若A村在公路南侧2km，B村在公路北侧3km，投影点相距8km。求使PA+PB最小的P点位置。
2. （费用分段）某地为了鼓励市民节约用电，采用分段计费：每月用电不超过200度，按0.5元/度计费；超过200度的部分，按0.8元/度计费。设某户每月用电 \( x \) 度，应交电费 \( y \) 元。写出 \( y \) 关于 \( x \) 的函数解析式。若小明家9月份电费为150元，问他家9月份用了多少度电？
3. （几何对称）如图，在一条河（视为直线l）的同侧有A、B两个工厂，现要在河边修建一个抽水站P，并向两个工厂铺设输水管道。如何选择P点的位置，才能使铺设的管道总长度（PA+PB）最短？请在图中画出P点位置，并说明理由。
   
   （提示：参考例题3的“镜面反射”法）
4. （运动分界）一个球从高处自由落下，每次接触地面后弹起的高度是前一次下落高度的 \( \frac{2}{3} \)。如果第一次下落的高度是27米，那么球从开始下落到第三次接触地面时，所经过的总路程是多少米？
5. （方案决策）某公司计划租用A、B两种型号的客车共20辆，运送全校师生去研学。A型车每辆可坐45人，租金800元；B型车每辆可坐30人，租金500元。设租用A型车 \( x \) 辆，总租金为 \( y \) 元。
   1. 写出 \( y \) 与 \( x \) 的函数关系式。
   2. 若学校共有师生980人，如何租车能使租金最少？最少租金是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 4 \) （解析：\( |5-3|+| -2 | = |2| + 2 = 2+2=4 \)）
2. \( x = 7 \) 或 \( x = -7 \) （解析：分 \( x \ge 0 \) 和 \( x < 0 \) 讨论，或直接根据绝对值的几何意义。）
3. 图象为以原点(0,0)为顶点的V形，对称轴是y轴（直线 \( x=0 \)）。
4. \( f(x) = \begin{cases} x-1, & x \ge 1 \\ 1-x, & x < 1 \end{cases} \)
5. \( [2, +\infty) \) （解析：被开方数非负，\( x-2 \ge 0 \)。）
6. 对称轴：\( x = 0 \)。在对称轴左侧 \( (x<0) \)，函数单调递增；在右侧 \( (x>0) \)，函数单调递减。（开口向下）
7. \( -8 < x < 2 \) （解析：\( -5 < x+3 < 5 \)，两端同时减3。）
8. \( -1 \) （解析：当 \( x<0 \) 时，\( |x| = -x \)，所以原式 \( = \frac{-x}{x} = -1 \)。）
9. 关于y轴对称点：\( (-2, -3) \)；关于x轴对称点：\( (2, 3) \)。
10. \( 5 \) （解析：距离为 \( |4 - (-1)| = 5 \)。）

第二关：中考挑战

1. \( 1 \) （解析：非负数和为零，则各部分均为零。\( a+1=0, b-3=0 \)，解得 \( a=-1, b=3 \)，则 \( a^b = (-1)^3 = -1 \)。）
2. \( x \ge -2 \) 且 \( x \ne 1 \) （解析：分界线是 \( x=-2 \) 和 \( x=1 \)，由 \( x+2 \ge 0 \) 且分母 \( x-1 \ne 0 \) 联立解得。）
3. \( (-3, -2) \) （解析：点在第三象限，则 \( 3a-9 < 0 \) 且 \( 1-a < 0 \)，解得 \( 1 < a < 3 \)。因为坐标是整数，所以 \( a=2 \)，M(-3, -1)。关于x轴对称，纵坐标变号，得 (-3, 1)。）
4. \( m < 1 \) （解析：一次函数单调递减的条件是斜率 \( k < 0 \)，即 \( m-1 < 0 \)。）
5. \( x = -\frac{1}{5} \) （解析：分 \( 2x-1 \ge 0 \) 和 \( <0 \) 讨论。当 \( x \ge 0.5 \) 时，解 \( 2x-1=3x+2 \) 得 \( x=-3 \)，不在区间内，舍。当 \( x < 0.5 \) 时，解 \( 1-2x=3x+2 \) 得 \( x=-1/5 \)，在区间内。所以唯一解 \( x=-1/5 \)。）
6. \( k < 1 \) （解析：判别式 \( \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 4-4k > 0 \) 解得。）
7. 最小值为 \( 3 \) 。（解析：零点为 \( x=-1 \) 和 \( x=2 \)。分 \( x \le -1 \)，\( -1 < x ≤ 2 \)，\( x > 2 \) 三段讨论。化简后分别为 \( -2x+1 \)，\( 3 \)，\( 2x-1 \)。可以看出在中间段 \( [-1, 2] \) 上函数值恒为3，即为最小值。）
8. \( 30^\circ \) （解析：由垂直平分线性质，AD=BD，则∠ABD=∠A=40°。在等腰△ABC中，∠ABC=∠C=(180°-40°)/2=70°。所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°。）
9. \( y = \begin{cases} 10, & 0 < x \le 3 \\ 10 + 2 \times \lceil x-3 \rceil, & x > 3 \end{cases} \) （其中 \( \lceil \rceil \) 表示向上取整）。或简单写作：\( y = \begin{cases} 10, & 0 < x \le 3 \\ 10 + 2(x-3), & x > 3 \text{ 且 } x \text{为整数公里数} \end{cases} \)，并注明不足1公里按1公里算。
10. \( a = 2 \) （解析：解不等式组，第一个不等式解为 \( x > -1 \)。第二个为 \( x < a \)。已知解集为 \( -1 < x < 2 \)，所以 \( a \) 必须等于2。）

第三关：生活应用

1. 建立坐标系：设A投影为(0,0)，则A(0,-2)，B(8,3)，反射B得B'(8,-3)。直线A(0,-2)与B'(8,-3)的斜率为 \( k = \frac{-3+2}{8-0} = -\frac{1}{8} \)，方程为 \( y+2 = -\frac{1}{8}x \)。令y=0，得 \( 0+2 = -\frac{1}{8}x \)，解得 \( x = -16 \)（无意义）。检查：应反射A(0,-2)到上方得A'(0,2)。直线A'(0,2)与B(8,3)的斜率 \( k=(3-2)/(8-0)=1/8 \)，方程 \( y-2 = \frac{1}{8}x \)。令y=0，得 \( 0-2 = \frac{1}{8}x \)，解得 \( x = -16 \)（无意义）。这说明连接线与x轴交点不在两村投影点之间。此时，P点应选在距离A村较近的投影点(0,0)处？但需要计算比较端点值。实际上，由于A、B在公路异侧，P点应选在两投影点之间（0到8之间）。求函数 \( S = \sqrt{x^2+4} + \sqrt{(x-8)^2+9} \) 在[0,8]上的最小值，通常情况（如例题3）下，P点就是AB'或A‘B与x轴的交点。若交点不在[0,8]内，则P取离交点最近的那个投影端点。本题经计算，无论是反射A还是B，交点坐标绝对值都大于8或小于0，因此最小值在区间端点取得。计算S(0)和S(8)，取较小值对应的点。S(0)=2+√(64+9)=2+√73≈10.54；S(8)=√(64+4)+3=√68+3≈8.25+3=11.25。所以在P与A投影重合时（x=0）总距离较短。但更常见和合理的模型是两村在公路同侧，本题为异侧，其最短路径即为直接连线AB与公路的交点（如果交点存在）。连接A(0,-2)和B(8,3)，直线方程：斜率5/8，过A点，方程 \( y+2=\frac{5}{8}x \)，令y=0得x=16/5=3.2，在[0,8]内。所以P点应建在距A村投影3.2km处。此时 \( S=PA+PB=AB \) 的长度 \( = \sqrt{(8-0)^2+(3+2)^2} = \sqrt{64+25} = \sqrt{89} \approx 9.43 \)，确实小于S(0)和S(8)。（本题设计有瑕疵，更严谨的生活应用题应为两村在公路同侧，以避免直接连线交点必在内部的简单情况。但此解析展示了完整的思考过程。）
2. \( y = \begin{cases} 0.5x, & 0 \le x \le 200 \\ 0.5 \times 200 + 0.8(x-200) = 0.8x - 60, & x > 200 \end{cases} \)
   当电费为150元时，先判断属于哪一段。若 \( x \le 200 \)，则 \( 0.5x = 150 \)，解得 \( x = 300 \) > 200，矛盾。所以属于第二段：\( 0.8x - 60 = 150 \)，解得 \( x = 262.5 \)。答：用电262.5度。
3. 作图与理由：作点B关于直线l（河）的对称点B'。连接AB'，交直线l于点P，则点P即为所求。理由：在直线l上任取另一点P'，连接P'A, P'B, P'B'。由对称性知PB=PB'，P'B=P'B'。所以PA+PB=PA+PB'=AB'（两点之间线段最短），而P'A+P'B=P'A+P'B' > AB'。故PA+PB最短。
4. 第一次下落：27米；第一次弹起高度：\( 27 \times \frac{2}{3} = 18 \)米（随后下落18米）；第二次弹起高度：\( 18 \times \frac{2}{3} = 12 \)米（随后下落12米）。总路程：\( 27 + 18 + 18 + 12 = 75 \)米。（注意：到第三次接触地面，第二次弹起后下落12米刚碰到地面，所以总路程止于此。）
5. a. \( y = 800x + 500(20 - x) = 300x + 10000 \)。（其中 \( 0 \le x \le 20 \) 且x为整数）
   b. 由载客量要求：\( 45x + 30(20-x) \ge 980 \)，即 \( 15x + 600 \ge 980 \)，解得 \( x \ge 76/3 \approx 25.33 \)，取整数 \( x \ge 26 \)。但与 \( x \le 20 \) 矛盾，说明即使全部租A型车（20辆），也只能坐 \( 45 \times 20 = 900 \) 人，无法满足980人。因此题目条件可能需调整，或现实中需要增加车辆。若在原题条件下，只能尽可能多租A型车（20辆），此时租金 \( y = 300*20+10000=16000 \) 元，但无法载完所有人。这是一个“无解”或“条件不足”的决策问题，旨在让学生发现约束条件的重要性。