分段函数深度解析：从出租车收费到中考压轴题的解题秘籍专项练习题库

💡 阿星精讲：分段函数 原理

• 核心概念：阿星说，函数就像一个“自动计价器”。它不是一根筋，而是会根据你“消费”的多少，切换不同的计价规则。就像打车：起步价\( 10 \)元（含\( 3 \)公里），之后每公里\( 2 \)元。这就自然分成了两段：前\( 3 \)公里一个固定价，\( 3 \)公里后单价变化。分段函数的本质就是“看人（自变量x）下菜（函数法则），分段计价”。每一段都有自己的小公式（\( k \)和\( b \)不一样），我们要做的就是搞清楚：在哪分段？每段怎么算？
• 计算秘籍：
  1. 找界点：确定自变量\( x \)在哪个数值发生规则变化（如“超过3公里”、“超过10吨水”）。
  2. 对号入座：判断给定的\( x \)值属于哪一段区间。
  3. 代入求值：将该\( x \)值代入其所在区间对应的公式计算。例如，出租车费\( y \)（元）与里程\( x \)（公里）的关系为：
     \[ y = \begin{cases} 10, & 0 < x \le 3 \\ 10 + 2(x - 3), & x > 3 \end{cases} \]
     当\( x = 5 \)时，属于\( x > 3 \)这段，代入得\( y = 10 + 2 \times (5 - 3) = 14 \)元。
• 阿星口诀：“分段函数像阶梯，先找界点再解题。对号入座代入算，左闭右开要牢记。”

📐 图形解析

分段函数的图像通常是“拼接”而成的。以常见的阶梯水费为例：假设每月用水量\( x \)（吨），水费\( y \)（元）规则为：第一阶梯（\( 0 < x \le 10 \)）单价\( 3 \)元/吨；第二阶梯（\( x > 10 \)）超出部分单价\( 5 \)元/吨。其函数表达式为：
\[ y = \begin{cases} 3x, & 0 < x \le 10 \\ 30 + 5(x - 10), & x > 10 \end{cases} \]
它的图像由两条斜率（\( k \)值）不同的射线拼接而成。

图像直观地展示了“分段”特性：在\( x=10 \)处，函数规则（斜率）发生改变，但函数本身是连续的（图像没有断开）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：判断\( x \)所属区间时，忽略等号。例如，在出租车例子中，恰好坐了\( 3 \)公里，应使用第一段（起步价）计算。
  ✅ 正解：仔细审视分段条件中的不等号是“\( \le \)”还是“\( < \)”，确保\( x \)值“对号入座”时边界不重复、不遗漏。
• ❌ 错误2：画图像时，将各段孤立，忽略在分段点处的取值是否使图像连贯。
  ✅ 正解：计算每个分段点处的函数值，并用实心点/空心点明确该点属于哪一段（或都不属于），从而判断图像是连续、断开还是有一个“跳跃”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 某停车场收费标准：\( 2 \)小时内收费\( 5 \)元，超过\( 2 \)小时后每小时加收\( 1.5 \)元（不足1小时按1小时计）。停车\( t \)小时，费用\( y \)元。写出\( y \)关于\( t \)的函数解析式。
2. 已知分段函数 \( f(x) = \begin{cases} x+1, & x \le 0 \\ -x+1, & x > 0 \end{cases} \)，求 \( f(-2) \), \( f(0) \), \( f(3) \) 的值。
3. 画出函数 \( y = |x| \) 的图像，并写出其分段函数形式。
4. 某地电费：月用电\( x \)度在\( 200 \)度内，每度\( 0.5 \)元；超过\( 200 \)度部分，每度\( 0.8 \)元。写出电费\( y \)（元）与用电量\( x \)（度）的关系式。
5. 函数 \( f(x) = \begin{cases} 2x-1, & x < 1 \\ x^2, & x \ge 1 \end{cases} \)，求使 \( f(x) = 4 \) 的 \( x \) 值。
6. 根据描述写出分段函数：当\( x \)为负数时，\( y \)等于\( x \)的相反数；当\( x \)非负时，\( y \)等于\( x \)的平方。
7. 某商品促销：购买\( 3 \)件以内（含\( 3 \)件）按原价\( 10 \)元/件；超过\( 3 \)件，超出部分打8折。写出总价\( y \)（元）与件数\( x \)（件）的关系式。
8. 已知 \( f(x) = \begin{cases} 3, & x \in [-2, 1) \\ x+2, & x \in [1, 4] \end{cases} \)，求函数的定义域和值域。
9. 在同一个坐标系中，画出 \( y = \begin{cases} 1, & x \le 0 \\ x, & x > 0 \end{cases} \) 的图像。
10. 某市固定电话月租费\( 18 \)元，通话前\( 100 \)分钟免费，之后每分钟\( 0.1 \)元。写出月话费\( y \)（元）与通话时间\( x \)（分钟）的关系式。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）某省实行阶梯电价，第一档\( 0-180 \)度，电价\( 0.6 \)元/度；第二档\( 181-400 \)度，超出部分电价提高\( 0.05 \)元/度；第三档\( 401 \)度以上，超出部分电价提高\( 0.3 \)元/度。写出居民电费\( y \)（元）与用电量\( x \)（度）的函数关系。
2. 已知函数 \( f(x) = \begin{cases} (a-1)x + 2, & x < 2 \\ ax^2 - 1, & x \ge 2 \end{cases} \) 在定义域内单调递增，求实数 \( a \) 的取值范围。
3. 函数 \( y = |x - 2| + |x + 1| \) 可以表示为分段函数，请写出其解析式并画出图像草图。
4. （结合几何）如图，等腰直角\( \triangle ABC \)的直角边\( BC=4 \)，动点\( P \)从\( B \)出发沿\( BC \)向\( C \)移动，速度为\( 1 \)单位/秒；\( Q \)从\( C \)出发沿\( CA \)向\( A \)移动，速度为\( 2 \)单位/秒。当\( Q \)到达\( A \)时两点均停止。设运动时间为\( t \)秒，\( \triangle PCQ \)的面积为\( S \)，求\( S \)关于\( t \)的分段函数解析式。
   
5. 已知 \( f(x) \) 是定义在\( R \)上的奇函数，当\( x \ge 0 \)时，\( f(x) = x^2 - 2x \)。求当\( x < 0 \)时，\( f(x) \)的解析式，并写出完整的 \( f(x) \) 分段表达式。
6. 某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费：月用水不超过\( a \)立方米，按\( 2 \)元/立方米；超过\( a \)立方米，超出部分按\( 4 \)元/立方米。已知某户\( 5 \)、\( 6 \)月份用水量和缴费如下：5月用水\( 10 \)m³，缴费\( 24 \)元；6月用水\( 15 \)m³，缴费\( 44 \)元。求\( a \)的值。
7. 对实数\( x \)，规定\( [x] \)表示不大于\( x \)的最大整数（取整函数），如\( [1.2]=1 \)。求函数 \( y = x - [x] \) (\( 0 \le x \le 3 \)) 的分段表达式，并画出图像。
8. 函数 \( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \le 1 \\ ax + 1, & x > 1 \end{cases} \) 满足 \( f(1) = f(2) \)，求 \( a \) 的值。
9. 某物流公司从甲地到乙地，货物重量\( x \)（吨）与运费\( y \)（千元）关系为：当货物不超过\( 5 \)吨时，按每吨\( 0.2 \)千元计费；超过\( 5 \)吨但不超过\( 15 \)吨时，超出部分按每吨\( 0.15 \)千元计费；超过\( 15 \)吨时，超出部分按每吨\( 0.1 \)千元计费。写出\( y \)关于\( x \)的函数。
10. 已知函数 \( f(x) = \begin{cases} \log_2 x, & x > 0 \\ 2^x, & x \le 0 \end{cases} \)，解方程 \( f(x) = -1 \)。

第三关：生活应用（5道）

1. （个人所得税速算）我国个人所得税综合所得年度税率表是典型的分段函数。假设全年应纳税所得额为\( x \)元，税率和速算扣除数如下表，写出个税\( y \)关于\( x \)的分段函数。
   • 不超过36000元的部分，税率3%，速算扣除数0。
   • 超过36000元至144000元的部分，税率10%，速算扣除数2520。
   • 超过144000元至300000元的部分，税率20%，速算扣除数16920。
   • ...（本题只用到前三档）
2. （通信套餐）某手机套餐月费\( 58 \)元，包含\( 200 \)分钟通话和\( 10 \)GB流量。超出后通话\( 0.15 \)元/分钟，流量\( 5 \)元/GB（不足1GB按1GB计）。用户当月使用通话\( t \)分钟，流量\( d \) GB。写出总费用\( y \)（元）关于\( t \)和\( d \)的分段函数（以\( t, d \)为自变量）。
3. （工程报价）某装修公司报价：建筑面积\( S \)平方米，基础装修费\( 500 \)元/平方米；若\( S > 150 \)，超出部分打9折；若\( S > 300 \)，超出300平米部分打8折。写出总装修款\( y \)（万元）关于\( S \)的函数。
4. （出租车+拥堵费）某市出租车，起步价\( 13 \)元/3公里，之后每公里\( 2.3 \)元。早晚高峰期间（7:00-9:00, 17:00-19:00），总车费加收20%的拥堵费。设非高峰时段车费为\( f(x) \)，高峰时段车费为\( g(x) \)，\( x \)为里程（公里）。写出\( f(x) \)和\( g(x) \)的解析式。
5. （快递体积重量）快递计费重量取实际重量与体积重量的最大值。体积重量(kg)=长(cm)×宽(cm)×高(cm)÷6000。某快递公司首重\( 1 \)kg收费\( 12 \)元，续重每\( 0.5 \)kg收费\( 2 \)元（不足\( 0.5 \)kg按\( 0.5 \)kg计）。一件物品实际重量为\( w \) kg，长宽高分别为\( l, b, h \) cm。写出快递费\( y \)关于\( w, l, b, h \)的分段函数表达式。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身（部分解析）

1. \( y = \begin{cases} 5, & 0 < t \le 2 \\ 5 + 1.5 \times \lceil t-2 \rceil, & t > 2 \end{cases} \) 或近似为 \( y = \begin{cases} 5, & 0 < t \le 2 \\ 5 + 1.5(t-2), & t > 2 \end{cases} \) (连续模型)。
2. \( f(-2) = -2+1 = -1 \); \( f(0) = 0+1=1 \); \( f(3) = -3+1 = -2 \)。
3. \( y = |x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} \)。图像为V字形。
4. \( y = \begin{cases} 0.5x, & 0 \le x \le 200 \\ 100 + 0.8(x - 200), & x > 200 \end{cases} \)。
5. 分情况：若\( 2x-1=4 \)且\( x<1 \)，得\( x=2.5 \)（舍）；若\( x^2=4 \)且\( x \ge 1 \)，得\( x=2 \)。所以\( x=2 \)。

第二关 中考挑战（部分解析）

1. \( y = \begin{cases} 0.6x, & 0 \le x \le 180 \\ 0.6 \times 180 + 0.65(x-180), & 180 < x \le 400 \\ 0.6 \times 180 + 0.65 \times 220 + 0.9(x-400), & x > 400 \end{cases} \) 即 \( y = \begin{cases} 0.6x, & 0 \le x \le 180 \\ 0.65x - 9, & 180 < x \le 400 \\ 0.9x - 109, & x > 400 \end{cases} \)。
2. 需满足：①第一段一次函数递增：\( a-1 > 0 \)；②第二段在\( x \ge 2 \)递增：若\( a>0 \)则抛物线开口向上，对称轴需在\( x=2 \)左侧，即\( 0 \le a \le 1 \)时也需具体分析；③在界点\( x=2 \)处，左段值\( \le \)右段值：\( (a-1)\times2 + 2 \le a\times4 - 1 \)，解得\( a \ge \frac{1}{2} \)。综合考虑，取\( a \ge 1 \)。（详细讨论略）
3. 零点为\( x=-1 \)和\( x=2 \)。分三段：\( x \le -1 \)时，\( y = -(x-2) - (x+1) = -2x+1 \)；\( -1 < x \le 2 \)时，\( y = -(x-2) + (x+1) = 3 \)；\( x > 2 \)时，\( y = (x-2) + (x+1) = 2x-1 \)。

第三关 生活应用（部分解析）

1. \( y = \begin{cases} 0.03x, & 0 \le x \le 36000 \\ 0.1x - 2520, & 36000 < x \le 144000 \\ 0.2x - 16920, & 144000 < x \le 300000 \end{cases} \)。
2. 设超出通话费为\( C(t) \)，超出流量费为\( D(d) \)。则：
   \( C(t) = \begin{cases} 0, & t \le 200 \\ 0.15(t-200), & t > 200 \end{cases} \)
   \( D(d) = \begin{cases} 0, & d \le 10 \\ 5 \times \lceil d-10 \rceil, & d > 10 \end{cases} \)（或近似线性）。
   总费用 \( y = 58 + C(t) + D(d) \)。