100以内数字和快速计算：高斯算法详解与专项练习题

💡 阿星精讲：如何快速计算100以内所有数字之和 原理

• 核心概念：想象一下，我们要给从1到100的所有数字排队求和。如果一个个加，就像让100个身高不同的小朋友一个个报数，太慢了！阿星有个好办法：“找朋友，配配对”。让最高的100和最矮的1手拉手（\(100+1=101\)），让第二高的99和第二矮的2手拉手（\(99+2=101\)）……这样一直配下去，每一对好朋友的身高和都是一样的 \(101\)！那么有多少对呢？总共有100个小朋友，所以是 \(100 \div 2 = 50\) 对。总身高就是 \(101 \times 50 = 5050\)。而中间那个数（中位数），就是第50个小朋友和第51个小朋友的平均身高，正好是 \(50.5\)。用这个“中间身高”乘以总人数100，也能得到总身高：\(50.5 \times 100 = 5050\)。这就是“中位数乘项数，口算如飞”的魔法！
• 计算秘籍：
  1. 确认是连续的自然数相加（等差数列）。
  2. 找到总共有多少个数（项数 \(n\)），这里是 \(n=100\)。
  3. 找到“中间那个数”（中位数）。当项数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值，即 \((\frac{n}{2} + (\frac{n}{2}+1)) \div 2\)，化简后为 \(\frac{n+1}{2}\)。所以中位数 = \(\frac{100+1}{2} = 50.5\)。
  4. 用中位数乘以项数：总和 \(S = 50.5 \times 100 = 5050\)。

  通用公式：对于从1到 \(n\) 的连续自然数，总和 \(S = \frac{n(n+1)}{2}\)。阿星的方法本质是 \(S = \frac{n+1}{2} \times n\)，两者完全等价。

• 阿星口诀：连续数字来相加，排队配对好方法。首尾相加和不变，中位数乘总数，答案立刻闪现！

📐 公式说明：\(1+100=101\)，\(2+99=101\)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：项数搞错！例如算1到100，直接拿100当项数去乘。 → ✅ 正解：从1数到100，项数 \(n\) 就是 \(100\)。记住“项数 = 尾数 - 首数 + 1”。
• ❌ 错误2：中位数找错！在偶数项（如100项）时，误以为中位数是第50个数 \(50\)。 → ✅ 正解：偶数项时，中位数是中间两个数的平均值，即 \((第50项 + 第51项) \div 2 = (50+51) \div 2 = 50.5\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算 \(1+2+3+…+50\)。
2. 计算 \(1+2+3+…+80\)。
3. 计算 \(10+11+12+…+20\)。
4. 计算 \(5+6+7+8+9+10\)。
5. 计算 \(100+101+102+…+110\)。
6. 计算 \(1+3+5+…+99\) （100以内奇数之和）。
7. 计算 \(20+21+…+40\)。
8. 计算 \(1+2+3+…+200\)。
9. 一个数列第一项是1，最后一项是30，公差是1，求所有项的和。
10. 计算 \(15+16+17+18+19\)。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 计算 \(3+6+9+…+99\)。
2. 计算 \(1+4+7+…+100\)。
3. 已知一个等差数列的和是 \(5050\)，末项是 \(100\)，公差是 \(1\)，求首项。
4. 计算 \(10+14+18+…+98\)。
5. 有30个连续自然数，它们的和是 \(1995\)，求最大的那个数。
6. 计算 \((1+3+5+…+99) - (2+4+6+…+98)\)。
7. 计算 \(100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1\)。
8. 梯子共有15级，最上面一级宽 \(30\) 厘米，最下面一级宽 \(50\) 厘米，每级宽度等差数列递增，求所有阶梯的总宽度。
9. 计算 \(0.1+0.2+0.3+…+1.0\)。
10. 求能被7整除的100以内的所有自然数的和。

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI训练】某AI模型需要按顺序处理 \(1\) 到 \(1000\) 张图片，每张图片处理耗时（毫秒）等于其编号。求处理所有图片的总耗时。
2. 【航天计划】某卫星计划在 \(100\) 天内进行数据传输，第一天传 \(1GB\)，之后每天比前一天多传 \(1GB\)。求这100天的总传输量。
3. 【电商促销】“满减阶梯”：购物满 \(1\) 元减 \(0.1\) 元，满 \(2\) 元减 \(0.2\) 元，…，满 \(100\) 元减 \(10\) 元。一位顾客购买了恰好 \(100\) 元的商品，他最多能享受多少元的折扣？（假设可拆单）
4. 【编程思维】编写一个函数，用“中位数乘项数”的原理，输入首项 \(a1\)、末项 \(an\) 和公差 \(d\)，返回等差数列的和。
5. 【建筑规划】建造一个金字塔型的花坛，第一层摆 \(1\) 盆花，第二层摆 \(2\) 盆，…，最顶层第 \(n\) 层摆 \(n\) 盆，总共用了 \(210\) 盆花。这个花坛有多少层？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. 项数 \(n=50\)，中位数= \((25项+26项)/2 = (25+26)/2=25.5\)，和 \(S=25.5 \times 50 = 1275\)。或 \(S=\frac{50\times51}{2}=1275\)。
2. \(n=80\)，中位数= \((40项+41项)/2=(40+41)/2=40.5\)， \(S=40.5\times80=3240\)。
3. \(n=20-10+1=11\)，中位数=第6项= \(15\)， \(S=15\times11=165\)。
4. \(n=6\)，中位数= \((第3项+第4项)/2=(7+8)/2=7.5\)， \(S=7.5\times6=45\)。
5. \(n=11\)，中位数=第6项= \(105\)， \(S=105\times11=1155\)。
6. \(n=50\)，中位数= \((25项+26项)/2=(49+51)/2=50\)， \(S=50\times50=2500\)。
7. \(n=40-20+1=21\)，中位数=第11项= \(30\)， \(S=30\times21=630\)。
8. \(n=200\)，中位数= \((100项+101项)/2=(100+101)/2=100.5\)， \(S=100.5\times200=20100\)。
9. 即求 \(1\) 到 \(30\) 的和。\(n=30\)，中位数= \((15项+16项)/2=(15+16)/2=15.5\)， \(S=15.5\times30=465\)。
10. \(n=5\)，中位数=第3项= \(17\)， \(S=17\times5=85\)。

第二关：

1. 公差3，末项99，首项3。项数 \(n=(99-3)\div3+1=33\)。平均数=\((3+99)/2=51\)， \(S=51\times33=1683\)。
2. 公差3，末项100，首项1。项数 \(n=(100-1)\div3+1=34\)。平均数=\((1+100)/2=50.5\)， \(S=50.5\times34=1717\)。
3. 已知 \(S=5050, a_n=100, d=1\)。由 \(S=\frac{n(a_1+100)}{2}=5050\) 且 \(100 = a_1+(n-1)\)，联立可解 \(a_1=1, n=100\)。或逆向思维，和5050即1到100的和，故首项为1。
4. 公差4，首项10，末项98。项数 \(n=(98-10)\div4+1=23\)。平均数=\((10+98)/2=54\)， \(S=54\times23=1242\)。
5. 设最大数为 \(x\)，则最小数为 \(x-29\)。平均数=\([x+(x-29)]/2 = x-14.5\)。和 \(S=(x-14.5)\times30=1995\)，解得 \(x-14.5=66.5\)， \(x=81\)。
6. 原式= \(1+(3-2)+(5-4)+...+(99-98)=1+1\times49=50\)。
7. 原式= \((100-99)+(98-97)+...+(2-1)=1\times50=50\)。
8. 总宽度是等差数列求和，首项30，末项50，项数15。平均数=\((30+50)/2=40\)， \(S=40\times15=600\) 厘米。
9. 原式= \((1+2+...+10)\div10 = (55)\div10 = 5.5\)。或直接项数10，平均数5.5，和55，再除10。
10. 数列：7, 14, ..., 98。项数 \(n=(98-7)\div7+1=14\)。平均数=\((7+98)/2=52.5\)， \(S=52.5\times14=735\)。

第三关：

1. 总耗时 = \(1+2+...+1000 = \frac{1000\times1001}{2} = 500500\) 毫秒。
2. 总传输量 = \(1+2+...+100 = 5050\) (GB)。
3. 最多折扣 = \(0.1+0.2+...+10.0 = (0.1+10.0)\times100 \div 2 = 10.1 \times 50 = 505\) (元)。（注：满减规则通常有上限，此为纯数学解）
4. 函数逻辑：先判断 \(d\) 是否为0。若为0，则所有项相等，和为 \(a1 \times n\)。若不为0，则计算项数 \(n = (an - a1)/d + 1\)，然后返回 \(S = (a1 + an) * n / 2\)。
5. 总盆数 \(S=1+2+...+n=210\)。即 \(\frac{n(n+1)}{2}=210\)， \(n(n+1)=420\)，解得 \(n=20\)。