方向角（北偏东）怎么判断？从零到精通的深度解析与专题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：看地图 原理

• 核心概念：嘿，同学们！想象一下，地图上的“方向角”就像一个非常讲究礼仪的向导，它姓“方”名“向角”，说话做事都有一套严格的“家规”。它的家规就是“先北后南，再说东西”。无论你要去哪个方向，都必须先从正北或正南这条“主干道”出发，然后偏转一下，走向东方或西方。比如“北偏东 \(30^\circ\)”，意思是“从正北出发，往东转 \(30^\circ\) 的方向”。千万不能叫“东偏北 \(60^\circ\)”，那样就乱了辈分，不守规矩啦！记住阿星的顺口溜：“方向角，有家教，先北后南是首要。南北主干先站好，东西偏向再报告！”
• 计算秘籍：当我们在平面直角坐标系中计算时，这套“家规”就对应着具体的数学步骤。核心是把方向角和坐标、三角函数联系起来。
  1. 已知方向角和距离，求坐标：如果从点 \(A(x_A, y_A)\) 出发，沿着“北偏东 \(\theta\)”方向走距离 \(d\) 到达点 \(B\)，那么：
     • 我们把“北”看作 \(y\) 轴正方向，“东”看作 \(x\) 轴正方向。
     • 点 \(B\) 的坐标计算公式为：
       \[ \begin{cases} x_B = x_A + d \cdot \sin\theta \\ y_B = y_A + d \cdot \cos\theta \end{cases} \]
     • 如果是“南偏东 \(\theta\)”，则“南”是 \(y\) 轴负方向，公式变为：
       \[ \begin{cases} x_B = x_A + d \cdot \sin\theta \\ y_B = y_A - d \cdot \cos\theta \end{cases} \]
  2. 已知两点坐标，求方向角：如果已知点 \(A(x_A, y_A)\) 和点 \(B(x_B, y_B)\)，求点 \(B\) 在点 \(A\) 的什么方向。
     1. 先计算水平位移 \(\Delta x = x_B - x_A\) 和垂直位移 \(\Delta y = y_B - y_A\)。
     2. 计算锐角 \(\alpha = \arctan\left(\frac{|\Delta x|}{|\Delta y|}\right)\)。这里的 \(\alpha\) 就是“偏”的角度。
     3. 关键一步（阿星口诀）：根据 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 的正负，判断“主干道”和“偏向”。
        • 若 \(\Delta y > 0\)，则起点在“北”侧主干道。再看 \(\Delta x\)：若 \(\Delta x > 0\)，则为“北偏东 \(\alpha\)”；若 \(\Delta x < 0\)，则为“北偏西 \(\alpha\)”。
        • 若 \(\Delta y < 0\)，则起点在“南”侧主干道。再看 \(\Delta x\)：若 \(\Delta x > 0\)，则为“南偏东 \(\alpha\)”；若 \(\Delta x < 0\)，则为“南偏西 \(\alpha\)”。
• 阿星口诀：方向角，莫慌张，先判南北后辨方。纵差正负定北南，横差正负定西东。计算要用 \(\arctan\)，角度放在“偏”后方！

📐 图形解析

方向角“北偏东 \(\theta\)”的几何意义如下图所示。记住，我们的“零度基准线”永远是正北方向（\(y\)轴正方向），角度向正东方向（\(x\)轴正方向）旋转。

示意图中的方向角为 \( \theta \)，距离为 \(d\)。根据前面的计算秘籍，点 \(B\) 的坐标计算式为：
\[ x_B = x_A + d \cdot \sin\theta, \quad y_B = y_A + d \cdot \cos\theta \]

下面这个图展示了如何根据两点坐标 \(A(1,1)\)， \(B(4,5)\) 来确定方向角。我们先找到“南北”主干，再看“东西”偏向。

如图所示，\(\Delta x = 4-1 = 3 > 0\)，\(\Delta y = 5-1 = 4 > 0\)。根据阿星口诀：“纵差 (\(\Delta y\)) 为正定北，横差 (\(\Delta x\)) 为正定东”，所以方向是“北偏东”。锐角 \(\alpha = \arctan\left(\frac{|\Delta x|}{|\Delta y|}\right) = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：说成“东偏北 \(60^\circ\)”。 → ✅ 正解：必须严格遵守“先说南北”的家规。对于同一个方向，正确的描述只能是“北偏东 \(30^\circ\)”。\(\theta\) 永远是从南北基准线开始偏转的锐角。
• ❌ 错误2：计算两点方向时，直接用 \(\arctan\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)\)。 → ✅ 正解：这样得到的是与x轴的夹角，违背了“先北后南”的原则。正确步骤是先看 \(\Delta y\) 定南北基准，再用 \(\arctan\left(\frac{|\Delta x|}{|\Delta y|}\right)\) 计算“偏”的锐角。
• ❌ 错误3：在求坐标的公式里，混淆正弦和余弦。 → ✅ 正解：牢记基准线是“北”（y轴），所以向北的分量（y变化）用 \(d \cdot \cos\theta\)，向东的分量（x变化）用 \(d \cdot \sin\theta\)。口诀：“北余（cos）东正（sin）”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 请说出“从正南方向顺时针旋转 \(20^\circ\)”的标准方向角说法。
2. 已知方向角为“北偏西 \(35^\circ\)”，那么它与正北方向所夹的角是多少度？与正西方向呢？
3. 点 \(P\) 在点 \(O\) 的南偏东 \(25^\circ\) 方向，那么点 \(O\) 在点 \(P\) 的什么方向？
4. 从原点出发，向北偏东 \(45^\circ\) 走 \(10\sqrt{2}\) 米，求终点坐标。
5. 从点 \(A(1,2)\) 出发，向南走 \(3\) 个单位，再向东走 \(4\) 个单位到达点 \(B\)。请用方向角描述点 \(B\) 在点 \(A\) 的什么方向。
6. 根据描述画出示意图：学校在邮局的北偏西 \(60^\circ\)，距离 \(500m\)。
7. 判断对错：“东偏南 \(30^\circ\)”和“南偏东 \(60^\circ\)”表示同一个方向。
8. 已知方向角是“南偏西 \(\theta\)”，请问在坐标计算公式中，\(x\) 和 \(y\) 的增量分别是 \(d \cdot \sin\theta\) 和 \(d \cdot \cos\theta\) 的正数还是负数？
9. 如果 \(\Delta x > 0\) 且 \(\Delta y = 0\)，目标点在观测点的什么方向？
10. 如果 \(\Delta x = 0\) 且 \(\Delta y < 0\)，目标点在观测点的什么方向？

第二关：中考挑战（10道）

1. （方位角应用题）一艘船位于灯塔 \(P\) 的北偏东 \(30^\circ\) 方向，距离灯塔 \(60\) 海里的 \(A\) 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 \(P\) 的南偏东 \(45^\circ\) 方向上的 \(B\) 处。求此时船与灯塔的距离 \(PB\)。
2. （结合函数）在平面直角坐标系中，点 \(A(0, 4)\)，点 \(B\) 在 \(x\) 轴上。若点 \(B\) 在点 \(A\) 的北偏西 \(30^\circ\) 方向，求点 \(B\) 的坐标。
3. （网格题）如图，每个小正方形边长为1，点 \(A\)， \(B\)， \(C\) 都在格点上，则点 \(C\) 在点 \(A\) 的______方向。
4. （实际建模）为了测量一条河的宽度，在河对岸选定一个目标点 \(P\)，在近岸取点 \(Q\) 和 \(S\)，使点 \(P\)， \(Q\)， \(S\) 共线，且直线 \(PS\) 与河岸垂直。接着在过点 \(S\) 且与 \(PS\) 垂直的直线上取点 \(T\)，测得 \(ST=50\) 米， \(\angle QTS=37^\circ\)。求河宽 \(PS\)。（参考数据：\(\sin 37^\circ \approx 0.6， \cos 37^\circ \approx 0.8， \tan 37^\circ \approx 0.75\)）
5. （分类讨论）已知点 \(A(2,1)\)，点 \(B\) 在 \(x\) 轴上，且点 \(B\) 在点 \(A\) 的北偏东 \(30^\circ\) 方向，求点 \(B\) 的坐标。
6. （综合计算）从点 \(O\) 观测，点 \(A\) 在南偏东 \(18^\circ\) 方向，点 \(B\) 在西偏南 \(36^\circ\) 方向，且 \(\angle AOB = 90^\circ\)，求点 \(A\) 在点 \(B\) 的什么方向。
7. （比例关系）点 \(B\) 在点 \(A\) 的北偏东 \(40^\circ\) 方向，点 \(C\) 在点 \(B\) 的正东方向，且 \(AC=BC\)，求 \(\angle ACB\) 的度数。
8. （最短路径）如图，一艘船在 \(A\) 处测得灯塔 \(C\) 在北偏西 \(30^\circ\) 方向，它以每小时 \(20\) 海里的速度向正北航行，\(2\) 小时后到达 \(B\) 处，测得灯塔 \(C\) 在北偏西 \(60^\circ\) 方向。求此时船与灯塔的距离 \(BC\)。
9. （坐标系旋转）将整个坐标系绕原点逆时针旋转 \(30^\circ\) 后，原来“北偏东 \(45^\circ\)”的方向，在新坐标系中应如何描述？
10. （证明题）在 \(\triangle ABC\) 中，点 \(D\) 是 \(BC\) 中点。已知点 \(C\) 在点 \(A\) 的北偏东 \(\alpha\) 方向，点 \(B\) 在点 \(A\) 的北偏西 \(\beta\) 方向。试用 \(\alpha, \beta\) 表示出点 \(D\) 在点 \(A\) 的方向角。

第三关：生活应用（5道）

1. （导航规划）你使用手机地图导航，地图显示你的目的地在你当前位置的“南偏西 \(22^\circ\)”方向，直线距离 \(1.5\) 公里。但你需要沿东西向和南北向的道路行走。请问你至少需要向南走多少公里，再向西走多少公里？（精确到米）
2. （建筑设计）一栋建筑的主立面要设计成面向“南偏东 \(15^\circ\)”以获得最佳采光。在施工平面图上，如果以正北为 \(y\) 轴，那么代表主立面方向的墙体，其法线（垂直墙面向外的方向）与 \(x\) 轴正方向的夹角是多少？
3. （无人机航拍）无人机从起降点 \(O(0,0,0)\) 起飞，先向“北偏东 \(30^\circ\)”水平飞行 \(100\) 米到达点 \(A\)，然后垂直上升 \(50\) 米悬停进行拍摄。求此时悬停点 \(P\) 的三维坐标 \((x, y, z)\)。
4. （灾害救援）救援指挥部位于 \(M\) 点。根据报告，失联人员 \(A\) 在指挥部北偏东 \(60^\circ\)、距离 \(5km\) 处；失联人员 \(B\) 在指挥部南偏东 \(30^\circ\)、距离 \(10km\) 处。指挥部决定派出一支救援队从 \(M\) 出发，先到 \(A\) 点，再前往 \(B\) 点。请计算这支救援队需要行进的最短路程。
5. （无线电测向）两个相距 \(10\) 公里的监测站 \(S_1\) 和 \(S_2\) 同时收到一个无线电信号。\(S_1\) 测得信号来源方向是北偏东 \(\theta\)，\(S_2\) 测得信号来源方向是北偏西 \((90^\circ - \theta)\)。请建立坐标系，求出信号源可能位置的轨迹方程。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 南偏东 \(20^\circ\)。（方向角必须从南北基准开始）
2. 与正北夹角为 \(35^\circ\)，与正西夹角为 \(90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\)。
3. 北偏西 \(25^\circ\)。（方向相反，南北相反，东西相反）
4. \(\because \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore x = 10\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10, y = 10\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\)。终点为 \((10, 10)\)。
5. 向南3个单位：\(\Delta y = -3\)；向东4个单位：\(\Delta x = 4\)。基准为南，偏向为东。\(\alpha = \arctan(4/3) \approx 53.1^\circ\)。方向为南偏东约 \(53.1^\circ\)。
6. （示意图略，应包含基准方向、角度和距离标注）
7. 对。两者都是从正东或正南方向偏转 \(30^\circ\) 或 \(60^\circ\) 后重合。
8. x增量为负数（向西），y增量为负数（向南）。即 \((-d\sin\theta, -d\cos\theta)\)。
9. 正东方向。（\(\Delta y=0\) 说明没有南北分量）
10. 正南方向。（\(\Delta x=0\) 说明没有东西分量）

第二关：中考挑战（提供关键思路）

1. 思路：画出示意图，构成两个直角三角形。由 \(AP=60\)， \(\angle APB = 30^\circ+45^\circ=75^\circ\)，利用正弦定理或作高构造方程求解。答案：\(PB = 30\sqrt{6}\) 海里。
2. 思路：“北偏西30°”即与y轴正方向夹角30°，在第二象限。设 \(B(x,0)\)，则 \(\tan 30^\circ = \frac{|x|}{4}\)，且 \(x<0\)。解得 \(x = -\frac{4\sqrt{3}}{3}\)。坐标为 \((-\frac{4\sqrt{3}}{3}, 0)\)。
3. （需配网格图，常见答案为：北偏东 \(45^\circ\) 或类似）
4. 思路：河宽 \(PS = ST \times \tan \angle QTS = 50 \times \tan 37^\circ \approx 50 \times 0.75 = 37.5\) 米。
5. 思路：设 \(B(b, 0)\)。则 \(\Delta x = b-2\)， \(\Delta y = 0-1 = -1\)。方向为“北偏东”，说明 \(\Delta y > 0\)？这里矛盾。因为A到B的 \(\Delta y = -1 < 0\)，应该是“南偏东”。陷阱：题中说“B在A的北偏东方向”，意味着从A看B，B在A的北边。所以必须有 \(\Delta y = y_B - y_A > 0\)，但B在x轴上，\(y_B=0\)，所以要求 \(0 > 1\)，不成立。因此无解。这是一个很好的分类讨论题。
6. 思路：将方向统一为标准方向角。西偏南36° = 南偏西54°。在坐标系中设OA、OB向量，利用点乘为0及方向角条件列方程。最终求得A在B的方向。
7. 思路：画出三角形，利用等腰三角形性质和内角和。答案：\(\angle ACB = 80^\circ\)。
8. 思路：典型“解三角形”模型。\(AB=40\) 海里， \(\angle CAB=30^\circ\)， \(\angle CBA=180^\circ-60^\circ=120^\circ\)，则 \(\angle ACB=30^\circ\)， \(\triangle ABC\) 为等腰， \(BC=AB=40\) 海里。
9. 思路：原方向与y轴夹角45°。坐标系逆时针转30°，相当于所有方向顺时针转30°（在新坐标系中看）。新方向与y轴夹角为 \(45^\circ - 30^\circ = 15^\circ\)，且仍在第一象限。所以新描述为：北偏东 \(15^\circ\)。
10. 思路：用坐标法。设 \(A(0,0)\)，则C点坐标 \((d_1 \sin\alpha, d_1 \cos\alpha)\)，B点坐标 \((-d_2 \sin\beta, d_2 \cos\beta)\)。D为BC中点，坐标取平均。则D点方向由 \(\Delta x_D, \Delta y_D\) 决定。最终结果与 \(d_1, d_2\) 的比例有关。若 \(AC=AB\)，则可简化。

第三关：生活应用（提供关键思路）

1. 思路：向南距离 = \(1.5 \times \cos 22^\circ \approx 1.5 \times 0.927 \approx 1.39\) 公里；向西距离 = \(1.5 \times \sin 22^\circ \approx 1.5 \times 0.375 \approx 0.56\) 公里。
2. 思路：主立面面向“南偏东15°”，则其法线（向外垂直）方向相反，为“北偏西15°”。北偏西15°的方向角，与x轴正方向（东）的夹角为 \(90^\circ + 15^\circ = 105^\circ\)。
3. 思路：水平位移：\(x = 100 \times \sin 30^\circ = 50, y = 100 \times \cos 30^\circ = 50\sqrt{3}\)。垂直位移 \(z=50\)。所以 \(P(50, 50\sqrt{3}, 50)\)。
4. 思路：坐标法。设 \(M(0,0)\)，则 \(A(5\sin 60^\circ, 5\cos 60^\circ) \approx (4.33, 2.5)\)， \(B(10\sin 30^\circ, -10\cos 30^\circ) \approx (5, -8.66)\)。总路程 \(MA+AB = 5 + \sqrt{(5-4.33)^2 + (-8.66-2.5)^2} \approx 5 + \sqrt{0.45+124.1} \approx 5+11.15=16.15\) km。
5. 思路：设 \(S_1(-5, 0), S_2(5, 0)\)。设信号源 \(P(x,y)\)。则直线 \(PS_1\) 的斜率满足 \(\frac{y-0}{x+5} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)，直线 \(PS_2\) 的斜率满足 \(\frac{y-0}{x-5} = \frac{\cos(90^\circ-\theta)}{\sin(90^\circ-\theta)} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)。两式相乘消去 \(\theta\)：\(\frac{y^2}{(x+5)(x-5)} = 1\)，即 \(y^2 = x^2 - 25\)，或 \(x^2 - y^2 = 25\)。这是一个双曲线。