放回概率怎么算？摸球放回问题全解析，中考必考题型深度讲解专项练习题库

💡 阿星精讲：放回原理

• 核心概念：想象你有一个神奇的“分母星球”。在这个星球上，所有物品都有复制功能！比如，你从一个装有3个红球、2个蓝球的袋子里“摸”出一个球。如果是“放回”，就意味着你摸完之后，立刻用一个“3D打印机”复制一个一模一样的球放回去。所以，袋子里的球总数和各种球的比例在每次摸之前都一模一样，就像时间被重置了一样。这就是“阿星口诀”的精髓：摸完放回去，第二次总数不变。 因此，每次摸球都是独立的“单次实验”，概率计算时，分母（总情况数）永远不变。
• 计算秘籍：
  1. 确定“分母星球”的初始状态：总共有 \( n \) 个物品，其中目标物品有 \( m \) 个。
  2. 计算单次摸到目标的概率： \( P = \frac{m}{n} \)。
  3. 进行连续“放回”操作： 每次操作都独立，互不影响。连续 \( k \) 次都摸到目标的概率就是 \( P^k = \left( \frac{m}{n} \right)^k \)。
• 阿星口诀：放回操作很简单，分母不变是根源；每次都是独立战，概率相乘来计算。

📐 图形解析

“放回”过程可以用树状图完美可视化。下图展示了从一个有2红(R)、1蓝(B)球的袋子中，放回地连续摸两次的所有可能情况。

【关键公式】两次都摸到红球的概率：\( P(红, 红) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \)。注意，因为放回，第二层的分支概率与第一层完全一致。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： 计算“连续两次摸到红球”时，第二次用减少后的总数做分母。
  → ✅ 正解： 因为是放回，袋子恢复原状。计算第二次概率时，分母仍是初始总数 \( n \)，分子仍是目标数 \( m \)。正确概率为 \( \left( \frac{m}{n} \right)^2 \)。
• ❌ 错误2： 混淆“放回”与“不放回”。题目说“随机抽取一个，记下结果后放回…”，有的同学做着做着就忘了“放回”这个条件，按“不放回”计算了。
  → ✅ 正解： 审题时圈出“放回”关键词。时刻提醒自己：每次操作前，系统都“重置”到了初始状态，事件相互独立。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个袋子有4红6蓝球，放回摸两次，都是红球的概率是多少？
2. 掷一枚骰子两次（放回），两次点数相同的概率是多少？
3. 从1-10号卡片中随机抽一张，放回后再抽一张，两次都抽到偶数的概率？
4. 一道判断题，小明乱猜答案。连猜3道（每道题独立），全猜对的概率？（对错各半）
5. 射击命中率为0.8，独立射击两次（视为放回），都命中的概率？
6. 从单词“MATH”的四个字母中随机抽一个，放回抽两次，都抽到元音字母（A）的概率？
7. 天气预报说每日下雨概率30%，且每天独立。连续两天都下雨的概率？
8. 一个口袋有1个金奖币，2个银硬币。放回摸两次，第一次金第二次银的概率？
9. 用“剪刀石头布”游戏模拟，你和朋友各随机出一次（三种选择等可能），你出“石头”且朋友出“剪刀”的概率？
10. 从写有2,4,6,8的卡片中放回抽两次，乘积大于20的概率是多少？（列表解决）

第二关：中考挑战（10道）

1. （不放回与放回对比）一个盒子里有3个白球和2个红球。（1）不放回摸两个，都是白球的概率？（2）放回摸两个，都是白球的概率？
2. 一枚不均匀硬币，正面朝上概率为 \( \frac{2}{3} \)。抛掷三次，恰好一次正面朝上的概率。
3. 从长度分别为1,3,5,7的四条线段中，放回随机抽取两条，能构成三角形的概率。
4. 一个密码由0-9数字组成，可重复。随机输入一个两位密码，恰好是“55”的概率。
5. 某植物种子发芽率90%，每粒种子发芽独立。播种两粒，都发芽的概率。
6. 连续掷一枚骰子两次，求第二次点数比第一次大的概率。
7. 从-2, -1, 1, 2中放回抽取两个数作为点坐标(x,y)，求该点在第二象限的概率。
8. 甲、乙两人独立解一道题，成功率分别为 \( \frac{1}{2} \) 和 \( \frac{1}{3} \)。求恰有一人解出的概率。
9. 某路口红绿灯周期中，红灯时间30秒，绿灯25秒。小明随机到达路口，求连续两个路口都遇到红灯的概率（假设周期独立且随机时刻到达）。
10. 一个游戏：从标有1-6的6张牌中放回抽牌，抽到奇数得1分，偶数得0分。抽两次，总得分为1的概率。

第三关：生活应用（5道）

1. 【质检】某工厂零件合格率为95%。质检员从流水线上放回抽取两个零件（即抽检一个后放回，产线继续，再抽下一个）。求抽到的两个零件都合格的概率。如果要求抽到的两个都合格整批才通过，这样设计质检方案合理吗？
2. 【通信】二进制信号“0”和“1”在噪声信道中传输，每位出错的概率独立且为 \( p \)。发送两位信号“10”，求接收到的信号恰好是“01”的概率（即第一位错、第二位也错）。
3. 【生态】一种珍稀鸟类在某区域被观察到的概率为0.05。某观鸟者连续两天独立前往该区域观察。求他两天内至少有一天观察到这种鸟的概率。
4. 【投资】（简化模型）某股票每日独立地以60%概率上涨，40%概率下跌。求它在未来连续两个交易日均上涨的概率。
5. 【游戏设计】你设计一个抽卡游戏，每次抽中SSR卡的概率是1%。如果玩家进行“十连抽”（视为10次独立的放回抽取），请问“十连抽”中一张SSR都没有的概率是多少？（结果保留到小数点后四位）这说明了什么？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( P = \frac{4}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \)
2. 总情况36种，点数相同有(1,1)...(6,6)共6种。\( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)。或：第一次任意 \( \frac{6}{6} \)，第二次与第一次相同概率 \( \frac{1}{6} \)，\( P = 1 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \)。
3. 偶数有5个（2,4,6,8,10）。\( P = \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{1}{4} \)。
4. \( P = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \)。
5. \( P = 0.8 \times 0.8 = 0.64 \)。
6. 只有1个元音A。\( P = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \)。
7. \( P = 0.3 \times 0.3 = 0.09 \)。
8. \( P = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \)。
9. \( P = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)。
10. 总情况4×4=16。乘积列表：
    2: 4,8,12,16
    4: 8,16,24,32
    6:12,24,36,48
    8:16,32,48,64。
    大于20的有：24,24,32,36,48,32,48,48,64 共9个。\( P = \frac{9}{16} \)。

第二关：中考挑战

1. (1) 不放回：\( P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10} \)。(2) 放回：\( P = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \)。对比明显。
2. 二项分布：\( P = C_3^1 \times \left( \frac{2}{3} \right)^1 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 3 \times \frac{2}{27} = \frac{2}{9} \)。
3. 总情况4×4=16。能构成三角形的组合：两边之和>第三边。枚举：只有(3,5,7)及它们的排列，如第一次抽3，第二次抽5，但线段无序，注意(3,5)和(5,3)是同一对线段。正确解法：所有可能的无序对为C(4,2)=6种，加上两次抽到同一线段的情况4种（如(1,1)），共10种有效组合（考虑顺序是16种）。检查哪对能构成三角形：{3,5,7}可以，对应的有序对有(3,5)(3,7)(5,3)(5,7)(7,3)(7,5)共6种。而(3,3)等不行。因此概率 \( P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)。
4. \( P = \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{100} \)。
5. \( P = 0.9 \times 0.9 = 0.81 \)。
6. 总情况36。第二次>第一次：枚举，(1,2-6)5种，(2,3-6)4种，(3,4-6)3种，(4,5-6)2种，(5,6)1种。共15种。\( P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \)。
7. 总情况4×4=16。第二象限要求x<0， y>0。即x取-2或-1，y取1或2。有序对有2×2=4种。\( P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)。
8. \( P = P(甲解出乙未解出) + P(甲未解出乙解出) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \)。
9. 一个周期55秒，遇到红灯概率 \( \frac{30}{55} = \frac{6}{11} \)。独立，\( P = \frac{6}{11} \times \frac{6}{11} = \frac{36}{121} \)。
10. 奇数有1,3,5，概率 \( \frac{1}{2} \)。总分为1即一次奇一次偶。\( P = C_2^1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)。或枚举：奇偶、偶奇两种，总情况4种，\( P = \frac{1}{2} \)。

第三关：生活应用

1. \( P = 0.95 \times 0.95 = 0.9025 \)。分析：这种方案对于控制整批质量不合理。因为放回抽样意味着同一个零件可能被重复检查，且检查结果相互独立，不能有效反映流水线持续生产的质量波动。实际质检常用不放回抽样或间隔抽样。
2. \( P = p \times p = p^2 \)。
3. 思路：用对立事件“两天都没观察到”。单日未观察到概率 \( 1 - 0.05 = 0.95 \)。两天都未观察到概率 \( 0.95^2 = 0.9025 \)。所以至少有一天观察到的概率 \( P = 1 - 0.9025 = 0.0975 \)。
4. \( P = 0.6 \times 0.6 = 0.36 \)。
5. 单次未抽中SSR概率 \( 1 - 0.01 = 0.99 \)。十连抽均未中概率 \( P = 0.99^{10} \approx 0.9044 \)。说明：即使进行了十连抽，仍有超过90%的概率一张SSR都拿不到。这解释了为什么抽卡游戏保底机制至关重要，也说明了小概率事件在独立重复试验中，短期内不发生的可能性依然很高。