放回与不放回概率问题深度解析：避开分母陷阱，掌握计算秘籍专项练习题库

💡 阿星精讲：放回与不放回 原理

• 核心概念：想象你有一个神奇的“摸奖袋”。阿星说：“嘿，伙计！这里有个大陷阱——‘分母陷阱’！” 当你放回时，就像你从袋子里摸出一个球，看了看又原封不动地放回去。袋子还是那个袋子，球的总数没变，所以下次摸的时候，分母（总数）纹丝不动。而当你不放回时，就像你摸出一个球后直接揣进了自己口袋，袋子里的球少了一个！所以下一次你再伸手，袋子里的“家庭成员”（总数）就减1了，分母自然要变小！这就是阿星提醒的：“摸完放回去，总数不变；摸完不放回，第二次摸的时候总数要减1！” 记住，分母变不变，是区分这两种情况的核心。
• 计算秘籍：
  1. 放回：每次试验都是独立的。例如，袋中有3红2蓝共5球，摸到红球的概率始终是 \( P(红) = \frac{3}{5} \)。连续两次摸到红球的概率就是 \( \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \)。
  2. 不放回：试验结果相互影响。第一次摸后，球的总数减少。例如，第一次摸到红球（不放回），第二次再摸到红球的概率就变成了 \( P(红|第一次红) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)。
• 阿星口诀：“放回如初，分母稳固；不放回，分母随我归。”

📐 图形解析

我们可以用两个“摸球模型”的流程图来直观感受“分母陷阱”。注意看第二次摸球时，分母（袋中球的总数）是否发生了变化。

情况一：放回抽样，概率计算为 \( P = \frac{a}{N} \times \frac{a}{N} \)

情况二：不放回抽样，概率计算为 \( P = \frac{a}{N} \times \frac{a-1}{N-1} \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：做不放回概率题时，第二次的概率分母忘记减1。
  → ✅ 正解：时刻默念阿星口诀。画一个简单的示意图，标出每次摸取后剩余的数量，让“分母变化”一目了然。
• ❌ 错误2：混淆“连续取到”和“恰好取到”的概率计算。例如，“不放回条件下，第三次才取到红球”。
  → ✅ 正解：分步计算，严格跟踪每一步后“分母”和“分子”的变化。第三次才取到，意味着前两次都取到了其他球。概率为 \( P = \frac{非红}{N} \times \frac{非红-1}{N-1} \times \frac{红}{N-2} \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 袋中有5个红球，3个蓝球。放回地摸两次，求两次颜色相同的概率。
2. 条件同上，不放回地摸两次，求两次颜色相同的概率。
3. 从编号1-10的卡片中，有放回地随机抽取两张，求两张卡片编号之和为偶数的概率。
4. 条件同上，不放回地抽取，求编号之和为偶数的概率。
5. 一枚均匀硬币抛掷三次（相当于有放回抽“正面”“反面”），求恰好两次正面的概率。
6. 一个袋子有2个苹果，3个梨。小明随机拿一个吃（不放回），然后小华再拿一个。求两人都拿到苹果的概率。
7. 班级有20人，要随机选3人做值日（不放回）。你被选中的概率是多少？
8. 一道选择题有A、B、C、D四个选项，你完全瞎猜。连猜两道题，都猜对的概率是多少？（视为放回）
9. 箱子里有4只白袜子，6只黑袜子。不看颜色，不放回地取出两只，能配成一双（同色）的概率是多少？
10. 简述“放回”与“不放回”在计算概率时的根本区别。

第二关：中考挑战（10道）

1. （经典真题）一个盒子中装有标号分别为1, 2, 3, 4的四个完全相同的小球，随机摸出两个小球（不放回），其标号之和大于4的概率是______。
2. 从2位男生和3位女生中，不放回地依次选出两人参加演讲比赛。求选出的两人都是女生的概率。
3. 在“社会主义核心价值观”的12个词中随机选取两个（不放回），恰好选中“文明”和“和谐”的概率。
4. 一个袋中装有红、黄、蓝球各两个，共六个球。不放回地摸出三个球，求摸出的球颜色互不相同的概率。
5. 某校举行“汉字听写大赛”，五名选手A、B、C、D、E的实力相当。抽签决定出场顺序（不放回）。求选手A和B的出场顺序相邻的概率。
6. 一个不透明的口袋里有三个小球，上面分别标有数字-1, 0, 2。先摸出一个小球放回，再摸出一个。求两次数字之积为0的概率。
7. 条件同上，如果是不放回地摸两个小球，求两次数字之积为0的概率。
8. 从长度分别为3cm, 5cm, 7cm, 9cm的四根木棒中，任取三根（不放回）能组成三角形的概率是多少？
9. 某超市举行“转转盘”活动，转盘被平均分成6个扇形区域，其中2个区域有奖。每人转两次（指针指向区域后恢复原状，相当于放回）。求顾客获得至少一次奖励的概率。
10. 一个密码锁的密码由0-9中的三个数字组成（数字可重复）。你随机输入一次，能打开的概率是多少？如果不允许数字重复，概率又是多少？

第三关：生活应用（5道）

1. （产品质量检查）一批零件共100个，其中有5个次品。质检员采用不放回的方式随机抽取3个进行检查。求抽到的3个零件中恰好有1个次品的概率。
2. （会议安排）一个国际会议有6位中国代表和4位外国代表。会议主席要从其中不放回地随机指定3人依次发言。求指定的3人中，中国代表人数依次减少的概率（例如：第1位中国人，第2位中国人，第3位外国人）。
3. （交通拥堵）一条单行道上依次停着5辆车，其中2辆是电动汽车。如果这些车随机启动离开（不放回顺序）。求电动汽车不是最后离开的概率。
4. （资源分配）扶贫小组要将3种不同的援助物资（米、油、种子）随机分配给3户贫困家庭（一户一种，不放回）。求恰好有1户家庭得到其最需要物资的概率（假设每户最需要的物资不同且已知）。
5. （生态调查）生物学家在一个湖里标记了10条鱼后放回。几天后，他们又随机捕获了8条鱼（假设湖中鱼总量很大，可近似为放回抽样）。如果捕获的鱼中有2条带有标记，请估算湖中鱼的总数 \( N \)。（提示：标记鱼占比 ≈ 捕获鱼中标记鱼占比）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解析：放回。同色分为全红或全蓝。\( P = (\frac{5}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 = \frac{25}{64} + \frac{9}{64} = \frac{34}{64} = \frac{17}{32} \)。
2. 解析：不放回。全红：\( \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} \)。全蓝：\( \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} \)。\( P = \frac{20}{56} + \frac{6}{56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28} \)。
3. 解析：放回。和为偶数要求同奇或同偶。奇数有5个，偶数有5个。\( P = (\frac{5}{10})^2 + (\frac{5}{10})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)。
4. 解析：不放回。总情况数 \( C_{10}^2 = 45 \)。和偶：两奇或两偶。两奇数情况数 \( C_5^2 = 10 \)，两偶数情况数 \( C_5^2 = 10 \)。\( P = \frac{10+10}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} \)。
5. 解析：独立重复试验（放回）。\( P = C_3^2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \)。
6. 解析：不放回。\( P = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10} \)。
7. 解析：不放回抽签，公平。每个人被选中的概率相同，为 \( \frac{3}{20} \)。
8. 解析：放回。\( P = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \)。
9. 解析：不放回。配成一双可以是两白或两黑。两白：\( \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{15} \)。两黑：\( \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3} \)。\( P = \frac{2}{15} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \frac{7}{15} \)。
10. 答：放回时，每次试验的样本空间（分母）不变，试验相互独立；不放回时，每次试验的样本空间（分母）和事件可能结果数（分子）会因前次结果而改变，试验相互影响。

第二关：中考挑战

1. 解析：不放回。总情况 \( C_4^2 = 6 \) 种。和大于4的组合有 (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)，共4种。\( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。
2. 解析：不放回。\( P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10} \)。
3. 解析：不放回。\( P = \frac{1}{C_{12}^2} = \frac{1}{66} \)。（或分步：\( \frac{2}{12} \times \frac{1}{11} = \frac{1}{66} \)）
4. 解析：不放回。总情况 \( C_6^3 = 20 \)。颜色互不相同，即三色各一个：情况数 \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)。\( P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} \)。
5. 解析：不放回。总排列数 \( A_5^5 = 120 \)。将A、B捆绑，内部有2种排法，整体与C、D、E排列有 \( 4! = 24 \) 种。故相邻情况数为 \( 2 \times 24 = 48 \)。\( P = \frac{48}{120} = \frac{2}{5} \)。
6. 解析：放回。积为0意味着至少一次摸到0。用反面：1 - 两次都没摸到0。没摸到0的概率为 \( \frac{2}{3} \)。所以 \( P = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \)。
7. 解析：不放回。总情况 \( C_3^2 = 3 \) 种。积为0的组合必须包含0，有 (0, -1) 和 (0, 2)，共2种。\( P = \frac{2}{3} \)。
8. 解析：不放回。总情况 \( C_4^3 = 4 \) 种。能构成三角形的三边需满足两边之和大于第三边。可能组合：(3,5,7), (3,7,9), (5,7,9)。注意(3,5,9)和(3,5,8?)不行（题中无8），(3,5,9)中3+5<9。所以只有3种。\( P = \frac{3}{4} \)。
9. 解析：放回。用反面：一次奖励都没获得。一次不中的概率为 \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。所以 \( P = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \)。
10. 解析：分情况。数字可重复：密码总数 \( 10^3 = 1000 \)，\( P = \frac{1}{1000} \)。数字不重复：密码总数 \( A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720 \)，\( P = \frac{1}{720} \)。

第三关：生活应用

1. 解析：经典超几何分布。\( N=100, M=5, n=3, k=1 \)。\( P = \frac{C_5^1 \cdot C_{95}^2}{C_{100}^3} \)。计算：\( C_5^1 = 5 \)，\( C_{95}^2 = \frac{95 \times 94}{2} = 4465 \)，\( C_{100}^3 = \frac{100 \times 99 \times 98}{6} = 161700 \)。\( P = \frac{5 \times 4465}{161700} = \frac{22325}{161700} \approx 0.138 \)。
2. 解析：不放回。指定顺序为“中、中、外”。第一步选中国代表概率 \( \frac{6}{10} \)，第二步选中国代表概率 \( \frac{5}{9} \)，第三步选外国代表概率 \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)。\( P = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{30}{180} = \frac{1}{6} \)。
3. 解析：等价于“电动汽车最后离开”的反面。先求电动汽车最后离开的概率：将一辆电动汽车固定在最后位置，另一辆电动汽车和其他3辆汽油车在前4个位置任意排列，情况数 \( 4! = 24 \)。总排列数 \( 5! = 120 \)。所以电动汽车最后离开概率 \( P' = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} \)。因此，不是最后离开的概率 \( P = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)。
4. 解析：这是一个错位排列的变种。三户家庭 \( A, B, C \)，最需要的物资分别是 \( a, b, c \)。总分配方法有 \( 3! = 6 \) 种。恰好1户得到最需要物资，假设是A得到a。那么B不能得到b，C不能得到c。可能的分配是：(A:a, B:c, C:b) 和 (A:a, B:b?, 不行)，仔细分析：若A得a，剩下(b,c)分给(B,C)。要求恰好1户满意，即B、C都不满意，所以B不能得b，C不能得c。那么只有一种分配：(B:c, C:b)。但这样C得到了b而不是c，所以C不满意；B得到了c而不是b，也不满意。符合。然而，哪一户满意是可以任选的，有3种选择。所以总满足条件的情况数为 \( 3 \times 1 = 3 \)。因此 \( P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)。
5. 解析：放回近似。标记鱼在湖中占比约为 \( \frac{10}{N} \)。捕获样本中标记鱼占比为 \( \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)。令 \( \frac{10}{N} \approx \frac{1}{4} \)，解得 \( N \approx 40 \)。故估算湖中鱼总数约为40条。