相似形怎么学？用放大镜原理搞懂对应边成比例与相似比计算专项练习题库

💡 阿星精讲：形状 原理

• 核心概念：嗨！我是阿星。想象一下，你手里有一个神奇的“形状放大镜”。当你用它去看一个三角形时，镜片里的三角形变大了，但它的“形状”——也就是三个角的尖尖程度、三条边的相对长短关系——却一点都没变！这个神奇的放大镜，揭示的正是数学中“相似形”的奥秘：形状相同（相似）的图形，大小不一定相同。 用数学家的语言说就是：对应角相等，对应边成比例。 那个“比例”有多倍，你的放大镜就放大了多少倍。
• 计算秘籍：
  1. 找兄弟：首先，在两个图形中找到“对应”的角和边。就像在人群中找双胞胎，得先对准谁是谁。
  2. 验身份：检查所有对应角是否相等。如果角都对上了，那么它们“形状相同”的嫌疑就很大了。
  3. 算比例：计算对应边的比值。比如，大三角形的腰长是小三角形腰长的 \(2\) 倍，那么大三角形的底边也必须是小三角形底边的 \(2\) 倍。这个固定的倍数 \(k\)，就叫做相似比。如果 \(k>1\)，就是放大；如果 \(0
  4. 下结论：如果满足“角相等”且“边成比例”，那么这两个图形就是相似形，记作 \( \triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘ \)。
• 阿星口诀：图形相似像兄弟，角角相等要牢记。边边成比例，放大缩小都可以。

📐 图形解析

我们来看看“放大镜”下的三角形兄弟。下图展示了两个相似的三角形。你可以清楚地看到，对应角 \( \angle A = \angle A' \)，\( \angle B = \angle B' \)，\( \angle C = \angle C' \)。同时，它们的对应边满足：\( \frac{A‘B’}{AB} = \frac{B‘C’}{BC} = \frac{A‘C’}{AC} = k \)。

图中，蓝色三角形 \( \triangle ABC \) 是原图形，橙色三角形 \( \triangle A‘B’C‘ \) 是通过“放大镜”看到的相似形。它们满足 \( \angle A = \angle A‘ \)，且 \( \frac{A’B‘}{AB} = k \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：仅凭“看起来像”就判断两个图形相似。 → ✅ 正解：必须严格验证所有对应角相等，或对应边成比例。有些图形“看起来像”但角并不相等（例如，所有正方形都相似，但长方形不一定）。
• ❌ 错误2：写比例式时，对应边顺序混乱，如 \( \frac{AB}{A‘B’} = \frac{BC}{A‘C’} \)。 → ✅ 正解：务必确保是对应边之比，顺序要一致：\( \frac{AB}{A‘B’} = \frac{BC}{B‘C’} = \frac{AC}{A‘C’} \) 或 \( \frac{A‘B’}{AB} = \frac{B‘C’}{BC} = \frac{A‘C’}{AC} \)。
• ❌ 错误3：混淆相似比与面积比。若边长相似比为 \(k\)，则面积比为 \(k^2\)。若面积比为 \(4\)，则边长相似比是 \(\sqrt{4}=2\)，而不是 \(4\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：所有的正方形都相似吗？所有的圆都相似吗？
2. 若 \( \triangle PQR \sim \triangle XYZ \)，且 \( PQ=8, QR=6, PR=10 \)，相似比为 \(2:1\)（\( \triangle PQR \) 更大），求 \(XY, YZ, XZ\)。
3. 一个三角形的三边长分别为 \(3,4,5\)。与它相似的另一个三角形的最小边长为 \(6\)，求另外两边的长。
4. 地图上1厘米代表实际5公里。两地在地图上的距离为 \(4.2\) 厘米，实际距离是多少公里？
5. 如图，\( DE \parallel BC \)，根据图形写出至少两对相似三角形。
6. 两个相似五边形的相似比是 \( \frac{1}{4} \)，较大五边形的周长是 \(40\) cm，求较小五边形的周长。
7. 一个图形被放大到原来的 \(150\%\)，现在的面积是原来的百分之几？
8. 若两个相似三角形的面积比为 \(9:25\)，则它们的周长比是多少？
9. 填空题：相似多边形的______角相等，______边成比例。
10. 小明有一张照片长 \(15\) cm，宽 \(10\) cm。他想等比例放大，使新照片的宽为 \(16\) cm，那么新照片的长应为多少 cm？

第二关：中考挑战（10道）

1. 在 \( \triangle ABC \) 中，点 \(D, E\) 分别在边 \(AB, AC\) 上，且 \(DE \parallel BC\)。若 \(AD:DB=2:3\)，\(BC=15\)，求 \(DE\) 的长。
2. 如图，\( \angle ACB = \angle ADC = 90^\circ \)，\(AC=\sqrt{6}\)，\(AD=2\)。求 \(AB\) 的长。
3. 两个相似多边形的一组对应边分别为 \(3\) cm 和 \(4.5\) cm。若它们面积之和为 \(260 \text{ cm}^2\)，求较小多边形的面积。
4. 在矩形 \(ABCD\) 中，\(AB=8\)，\(BC=6\)。将矩形对折，使点 \(C\) 与点 \(A\) 重合，折痕为 \(EF\)（\(E\) 在 \(BC\) 上，\(F\) 在 \(AD\) 上）。求 \( \triangle ABE \) 与 \( \triangle ADF \) 的周长比。
5. 已知 \( a, b, c, d \) 是成比例线段，其中 \( a=2 \) cm，\( b=3 \) cm，\( c=6 \) cm，求 \(d\)。
6. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，四边形 \(DEGF\) 是正方形，且 \(D, E\) 在 \(AC, BC\) 上，\(F, G\) 在 \(AB\) 上。若 \(AC=6\)，\(BC=8\)，求正方形 \(DEGF\) 的边长。
7. 若两个相似三角形的最长边分别为 \(20\) 和 \(25\)，且它们的面积差为 \(180\)，求较大三角形的面积。
8. 在 \( \triangle ABC \) 中，\(AB=AC\)，\(D\) 是底边 \(BC\) 延长线上一点，\(E\) 是 \(AC\) 上一点，且 \( \angle ADE = \angle ACB \)。求证：\( \triangle ABD \sim \triangle DCE \)。
9. 已知 \( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \)，且 \( x+y+z = 18 \)，求 \(x, y, z\) 的值。
10. 一个零件的图纸比例尺是 \(10:1\)，图纸上测量某长度为 \(35\) mm，该零件的实际长度是多少 mm？

第三关：生活应用（5道）

1. （测高）为了测量一栋楼的高度，小李在楼前 \(20\) 米处立了一根 \(2\) 米高的竹竿。当竹竿的影子刚好为 \(1.5\) 米长时，他测得楼的影子末端距离竹竿底部 \(65\) 米。请你帮小李计算这栋楼的高度。
2. （摄影构图）摄影师想把一个高 \(1.8\) 米的人完全放进相框。相机镜头的视角固定，当人站在离相机 \(4\) 米远时，照片中人的高度占画面高度的 \( \frac{1}{2} \)。那么，若想让人的高度占满画面（即画面高度等于人的像高），人应该离相机多远？
3. （地图规划）在一张比例尺为 \(1:5000\) 的社区地图上，一个长方形公园的周长为 \(28\) 厘米，长与宽的比为 \(5:2\)。请问这个公园的实际面积是多少公顷？（1公顷=10000平方米）
4. （模型制作）小华要按 \(1:100\) 的比例用橡皮泥制作一个埃菲尔铁塔模型。已知真实埃菲尔铁塔高约 \(300\) 米，铁塔第一层平台的面积约为 \(5000\) 平方米。请问模型的高度是多少厘米？模型的第一层平台面积是多少平方厘米？
5. （工程设计）一个三角形结构的钢架，其三边长之比为 \(3:4:5\)。现需要制作一个与它相似的新钢架，用于更大的场地。已知新钢架的最短边需要比原钢架的最短边长 \(6\) 米，且总用钢量（可近似认为与周长成正比）需要增加 \(50\%\)。求新旧两个钢架各自的周长。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ✅ 是，所有的正方形角都是 \(90^\circ\)，对应边比例相等。✅ 是，所有的圆半径之比即为相似比。
2. 相似比 \(2:1\) 指 \( \triangle PQR \) 边是 \( \triangle XYZ \) 的 \(2\) 倍，即 \( k=2 \)。所以 \( XY=PQ/2=4 \)，\( YZ=QR/2=3 \)，\( XZ=PR/2=5 \)。
3. 相似比 \( k = 6/3 = 2 \)。另外两边长为 \(4 \times 2 = 8\)，\(5 \times 2 = 10\)。
4. 比例尺为 \(1:500000\)。实际距离 \(= 4.2 \times 5 = 21\) 公里。
5. \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)，\( \triangle DOB \sim \triangle EOC \)（根据平行和對頂角）。
6. 相似比 \( k = \frac{1}{4} \)，周长比也是 \( \frac{1}{4} \)。小多边形周长 \(= 40 \times \frac{1}{4} = 10\) cm。
7. 边长比为 \(1.5\)，面积比为 \(1.5^2 = 2.25 = 225\%\)。
8. 面积比 \(9:25\)，相似比（边长比、周长比）为 \(\sqrt{9}:\sqrt{25}=3:5\)。
9. 对应角；对应边。
10. 设新照片长为 \(x\) cm。\( \frac{15}{x} = \frac{10}{16} \)，解得 \(x=24\)。

第二关：中考挑战（精选解析）

1. 由 \(DE \parallel BC\)，得 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)。\( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)。已知 \(AD:DB=2:3\)，则 \(AD:AB=2:5\)。所以 \( \frac{2}{5} = \frac{DE}{15} \)，\( DE=6 \)。
2. 易证 \( \triangle ACD \sim \triangle ABC \)（AA）。\( \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} \)，即 \( \frac{\sqrt{6}}{AB} = \frac{2}{\sqrt{6}} \)，解得 \( AB=3 \)。
3. 相似比 \( k = 3/4.5 = 2/3 \)，面积比 \( k^2 = 4/9 \)。设小多边形面积为 \(4x\)，大多边形面积为 \(9x\)，则 \(4x+9x=260\)，\(x=20\)。小多边形面积 \(=80 \text{ cm}^2\)。
4. ...（为控制篇幅，此处省略部分解析，原理同例题）

第三关：生活应用（第1题解析）

1. 竹竿、影子、光线构成小直角三角形，楼、影子、光线构成大直角三角形。两者相似。相似比 \(k = \frac{\text{楼高}}{\text{竿高}} = \frac{\text{楼影长}}{\text{竿影长}}\)。楼影长 \(= 20 + 65 = 85\) 米。设楼高为 \(h\)，则 \( \frac{h}{2} = \frac{85}{1.5} \)，解得 \(h \approx 113.3\) 米。