方程解的定义是什么？钥匙比喻与代入检验深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：定义 原理

• 核心概念：嗨，我是阿星！想象一下，你面前有一把神秘的锁（一个方程），锁的样子是 \( 3x + 5 = 14 \)。这把锁死死地锁着“未知数 \(x\)”的真面目。那么，定义就是明确告诉你：什么是打开这把锁的“钥匙”？——能让方程左右两边相等的未知数的值，就是这把锁的钥匙，也就是“方程的解”。拿到钥匙（解出 \(x=3\)）后，最保险的做法就是插回锁里（代入原方程）拧一拧，看看左边 \(3 \times 3 + 5\) 是不是等于右边的 \(14\)。如果“咔嚓”一声门开了（两边相等），恭喜你，钥匙是真的！这就是定义的权威性和检验的重要性。
• 计算秘籍：
  1. 找钥匙（求解）： 运用等式性质，一步步“打磨”出钥匙的形状。例如：\( 3x + 5 = 14 \)
     • 两边同时减去 \(5\)： \( 3x = 14 - 5 \)
     • 计算： \( 3x = 9 \)
     • 两边同时除以 \(3\)： \( x = 9 \div 3 \)
     • 得到钥匙： \( x = 3 \)
  2. 试钥匙（检验）： 把打磨好的“钥匙” \(x=3\) 插回原来的“锁”里。
     • 左边 = \( 3 \times 3 + 5 = 9 + 5 = 14 \)
     • 右边 = \( 14 \)
     • ∵ 左边 = 右边，∴ \(x=3\) 是方程的解。
• 阿星口诀：方程是锁解是钥，代入检验最牢靠；定义清晰不混淆，数学大门轻松撬。

📐 图形解析

对于方程 \( f(x) = x^2 - 4 = 0 \)，它的“解”（钥匙）就是使函数值 \(f(x)\) 为 \(0\) 的 \(x\) 值。从图形上看，就是函数图像（抛物线）与 \(x\) 轴（直线 \(y=0\)）交点的横坐标。

从图中可见，抛物线在 \(x=-2\) 和 \(x=2\) 处穿过 \(x\) 轴。所以，方程 \( x^2 - 4 = 0 \) 的两把“钥匙”（解）就是 \( x_1 = -2 \) 和 \( x_2 = 2 \)。将它们代入原方程检验：\( (-2)^2 - 4 = 0 \)，\( (2)^2 - 4 = 0 \)，完美打开“锁”。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：解出 \(x=3\) 就直接写答案，从不检验。→ ✅ 正解：检验是“定义”的一部分，是确认钥匙有效性的关键步骤。尤其是复杂方程，能避免计算错误。
• ❌ 错误2：把“解方程的过程”当作“解的定义”。例如说“解就是移项、合并同类项”。→ ✅ 正解：“解”是一个数值（或一组数值），是结果。移项等操作是求解的方法。定义描述的是“它是什么”，而不是“怎么找到它”。
• ❌ 错误3：看到 \(x^2=4\)，直接写 \(x=2\)。→ ✅ 正解：定义要求“使等式成立的值”。对于 \(x^2=4\)，\(2\) 和 \(-2\) 都能让等式成立。所以解（钥匙）有两把：\(x=2\) 或 \(x=-2\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断 \(x=2\) 是否为方程 \(5x - 3 = 7\) 的解。
2. 判断 \(y=-1\) 是否为方程 \(2y + 8 = 6\) 的解。
3. 根据“解”的定义，检验 \(x=0\) 和 \(x=4\) 哪个是方程 \(x(x-4)=0\) 的解。
4. 方程 \(3a = 15\) 的解是 \(a=\)____。请写出检验过程。
5. 方程 \(\frac{m}{2} = 5\) 的解是 \(m=\)____。请写出检验过程。
6. 已知 \(x=3\) 是方程 \(kx - 2 = 10\) 的解，求常数 \(k\) 的值。
7. 一把锁的密码 \(n\) 满足方程 \(n+7=3n-1\)，请找出这把锁的密码。
8. 一个数 \(x\) 的 \(2\) 倍加上 \(5\) 等于 \(17\)，列出方程并找出这个数。
9. （生活题）买一支笔花了 \(b\) 元，买 \(3\) 支一共花了 \(15\) 元。列出方程并求出 \(b\)。
10. （几何题）正方形的边长为 \(a\)，周长为 \(24\)。列出方程并求出 \(a\)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 若 \(x=1\) 是关于 \(x\) 的方程 \(2x - a = 3\) 的解，则 \(a\) 的值为多少？
2. 方程 \(|x| = 3\) 的所有解是？
3. 关于 \(x\) 的方程 \(2(x-1) = 3m-1\) 的解是 \(x=4\)，求 \(m\) 的值。
4. 小刚在解方程 \(3x = 2x + 5\) 时，移项得到 \(3x - 2x = +5\)，其依据是方程解的定义吗？请说明理由。
5. 已知方程 \(x^2 - kx + 6 = 0\) 的一个解是 \(x=2\)，求 \(k\) 的值及另一个解。
6. 解方程：\(5(x+2) = 2(2x+7)\)，并检验。
7. 若 \(\frac{x-1}{2} = \frac{x+2}{3}\)，求 \(x\) 的值。
8. （含参）证明：无论 \(k\) 取何值，\(x=1\) 总是方程 \(k(x-1) = 2x - k - 1\) 的解。
9. 一个两位数的十位数字是 \(a\)，个位数字是 \(b\)，且满足方程 \(a = b+1\) 和 \(10a+b = 5(a+b)\)，求这个两位数。
10. （几何综合）等腰三角形两边长分别为 \(x\) 和 \(2x-1\)，周长为 \(20\)。列出所有可能满足条件的方程并求解。

第三关：生活应用（5道）

1. 【购物折扣】一件衣服原价 \(p\) 元，打八折后售价为 \(160\) 元。列出方程求原价 \(p\)。
2. 【行程问题】甲、乙两地相距 \(s\) 公里，汽车以 \(60\) km/h的速度行驶，全程用了 \(4.5\) 小时。列出方程求距离 \(s\)。
3. 【工程用料】用一根绳子测量井深，折成三折量，井外余 \(2\) 米；折成四折量，井外余 \(0.5\) 米。设井深为 \(h\) 米，列出方程求解。
4. 【图形设计】如图所示，用总长为 \(40\) cm的栅栏围成一个长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），要使花圃的面积为 \(150 \text{ cm}^2\)，设垂直于墙的边长为 \(x\) cm，列出方程并求解。
   
5. 【利润计算】某商品进价为每件 \(c\) 元，按进价提高 \(50\%\) 标价，再以八折出售，每件盈利 \(20\) 元。列出方程求进价 \(c\)。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 是。 检验：左边=\(5\times2-3=7\)，等于右边。
2. 是。 检验：左边=\(2\times(-1)+8=6\)，等于右边。
3. \(x=0\) 和 \(x=4\) 都是。 检验：\(0\times(0-4)=0\)；\(4\times(4-4)=0\)。
4. \(a=5\)。 检验：左边=\(3\times5=15\)=右边。
5. \(m=10\)。 检验：左边=\(\frac{10}{2}=5\)=右边。
6. 将 \(x=3\) 代入：\(k\times3-2=10\) ⇒ \(3k=12\) ⇒ \(k=4\)。
7. 解方程：\(n+7=3n-1\) ⇒ \(7+1=3n-n\) ⇒ \(8=2n\) ⇒ \(n=4\)。检验略。
8. 方程：\(2x+5=17\)，解：\(2x=12\)，\(x=6\)。检验略。
9. 方程：\(3b=15\)，解：\(b=5\)。检验：买3支，\(3\times5=15\)元。
10. 方程：\(4a=24\)，解：\(a=6\)。检验：周长 \(4\times6=24\)。

第二关：中考挑战

1. 代入 \(x=1\)：\(2\times1-a=3\) ⇒ \(2-a=3\) ⇒ \(a=-1\)。
2. \(x=3\) 或 \(x=-3\)。
3. 代入 \(x=4\)：\(2(4-1)=3m-1\) ⇒ \(6=3m-1\) ⇒ \(3m=7\) ⇒ \(m=\frac{7}{3}\)。
4. 不是。 移项的依据是等式的性质，是为了“求解”。解的定义描述的是“解”这个结果本身。
5. 代入 \(x=2\)：\(4 - 2k + 6 = 0\) ⇒ \(10=2k\) ⇒ \(k=5\)。方程为 \(x^2-5x+6=0\)，因式分解 \((x-2)(x-3)=0\)，另一解为 \(x=3\)。
6. 解：\(5x+10=4x+14\) ⇒ \(x=4\)。检验：左边=\(5\times(4+2)=30\)，右边=\(2\times(8+7)=30\)。
7. 解：交叉相乘 \(3(x-1)=2(x+2)\) ⇒ \(3x-3=2x+4\) ⇒ \(x=7\)。检验略。
8. 证明：将 \(x=1\) 代入方程左边：\(k(1-1)=0\)；右边：\(2\times1 - k - 1 = 1 - k\)。要使 \(0=1-k\)，需 \(k=1\)。因此，并非“无论 \(k\) 取何值”，原命题错误。应改为：当 \(k=1\) 时，\(x=1\) 是方程的解。
9. 解方程组：
   由 \(a=b+1\) 和 \(10a+b=5(a+b)\)，将前者代入后者：
   \(10(b+1)+b=5[(b+1)+b]\) ⇒ \(11b+10=5(2b+1)\) ⇒ \(11b+10=10b+5\) ⇒ \(b=-5\) (不满足位数正整数条件，检查原方程是否为 \(10a+b = 5(a+b)\)？常见题型应为和为多少倍)。若改为 \(10a+b = 5(a+b)+...\) 或其他。此处假设原题有误，典型正解为：由 \(a=b+1\) 和 \(10a+b=5(a+b)\) 得 \(10(b+1)+b=5(b+1+b)\) ⇒ \(11b+10=10b+5\) ⇒ \(b=-5\) (舍)。若方程为 \(10a+b=6(a+b)\)，则得 \(11b+10=6(2b+1)\) ⇒ \(11b+10=12b+6\) ⇒ \(b=4, a=5\)，两位数为54。本题意在练习根据定义（两位数的数值表示）列方程。
10. 情况1：腰为 \(x\)，底为 \(2x-1\)。方程：\(x+x+(2x-1)=20\) ⇒ \(4x=21\) ⇒ \(x=5.25\)，三边为 \(5.25, 5.25, 9.5\)。
    情况2：腰为 \(2x-1\)，底为 \(x\)。方程：\((2x-1)+(2x-1)+x=20\) ⇒ \(5x=22\) ⇒ \(x=4.4\)，三边为 \(7.8, 7.8, 4.4\)。均满足两边之和大于第三边。

第三关：生活应用

1. 方程：\(0.8p = 160\)，解：\(p=200\)。检验：200元打八折为160元。
2. 方程：\(s = 60 \times 4.5\)，解：\(s=270\)。检验：270公里以60km/h速度需4.5小时。
3. 设绳长固定。方程：\(3(h+2) = 4(h+0.5)\) [或井深公式：绳子三折每段比井深多2米，即绳长=3(h+2)；四折每段多0.5米，绳长=4(h+0.5)]。
   解：\(3h+6=4h+2\) ⇒ \(h=4\)。检验：绳长=3*(4+2)=18米，4*(4+0.5)=18米。
4. 设垂直墙的边为 \(x\)，则平行墙的边为 \(40-2x\)。面积方程：\(x(40-2x)=150\) ⇒ \(40x-2x^2=150\) ⇒ \(2x^2-40x+150=0\) ⇒ \(x^2-20x+75=0\) ⇒ \((x-5)(x-15)=0\) ⇒ \(x=5\) 或 \(x=15\)。检验：当 \(x=5\)，长=30，面积=150；当 \(x=15\)，长=10，面积=150。
5. 方程：\(c \times (1+50\%) \times 80\% - c = 20\) ⇒ \(1.2c - c = 20\) ⇒ \(0.2c=20\) ⇒ \(c=100\)。检验：进价100，提高50%标价150，八折售价120，盈利20元。