方程的解怎么判断？代入验证法深度解析与典型例题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：方程的解 原理

• 核心概念：想象一下，方程 \( 2x + 1 = 7 \) 就像一座天平的左右两盘，左边是“未知数\(x\)的表达式”，右边是“已知的结果”。我们的任务，就是为未知数\(x\)找到一个具体的值，让这座天平恢复平衡。这个过程，就是寻找方程的解。阿星把方程比作一场为“未知数公主”选拔“真命天子”的盛会。那些自称是解的“候选人”们（我们解出来的\(x\)的值），必须通过最严格的考验——代入验证。只有把这个值代入方程原来的位置，能让等号“=”两边完全相等，数值一模一样，它才是真正的“真命天子”。否则，它就是个冒牌货。
• 计算秘籍：
  1. 求解候选人：利用等式的性质（如移项、合并同类项、系数化1），求出未知数 \( x \) 的可能值。例如：\( 2x + 1 = 7 \) → \( 2x = 6 \) → \( x = 3 \)。我们得到了候选人 \( x = 3 \)。
  2. 代入验真身：将求得的 \( x = 3 \) 代入原方程 \( 2x + 1 = 7 \) 的左边进行计算：\( 2 \times 3 + 1 = 7 \)。计算结果正好等于右边的7。恭喜！候选人通过了考验，\( x = 3 \) 是原方程的解。
• 阿星口诀：解出别忘带回家，左右相等才是它。

📐 图形解析

方程 \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) 的解，从图形上看，就是函数 \( y = x^2 - 4x + 3 \) 的图像与 \( x \) 轴（即直线 \( y = 0 \)）交点的横坐标。图中，抛物线在 \( x=1 \) 和 \( x=3 \) 处穿过 \( x \) 轴，意味着当 \( x \) 取这两个值时，\( y \) 的值为0，即等式成立。这就是“真命天子”在坐标平面上的位置。

图中抛物线 \( y = x^2 - 4x + 3 \) 与 x 轴交于点 (1,0) 和 (3,0)。所以方程 \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) 的解是 \( x_1 = 1 \)， \( x_2 = 3 \)。将它们代入原方程检验：\( 1^2 - 4\times1 + 3 = 0 \)， \( 3^2 - 4\times3 + 3 = 0 \)，验证成功！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：解出即结束，从不验算。 → ✅ 正解：解方程，尤其是分式方程、根式方程时，求解过程可能会引入使分母为0或根式无意义的“增根”。必须将解代入原方程进行检验，筛选出真正的“真命天子”。
• ❌ 错误2：验算时，只代入方程的一边计算。 → ✅ 正解：代入后，必须分别计算等号左边（LHS）和右边（RHS）的值，然后看它们是否相等。只算一边就下结论是无效验证。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断 \( x = 2 \) 是否是方程 \( 5x - 3 = 7 \) 的解。
2. 判断 \( x = -1 \) 是否是方程 \( 2x + 5 = 3 \) 的解。
3. 方程 \( x + \frac{1}{2} = 2 \) 的解是 \( x = 1.5 \) 吗？请验证。
4. 若 \( x = 0 \) 是方程 \( 3x + a = 6 \) 的解，求 \( a \) 的值。
5. 已知 \( x = 3 \) 是方程 \( kx - 2 = 7 \) 的解，求常数 \( k \)。
6. 检验 \( x = 4 \) 和 \( x = -4 \) 中，哪一个是方程 \( x^2 = 16 \) 的解？
7. 检验 \( x = 1 \) 是否是方程 \( 2(x-3) = -4 \) 的解。
8. 若 \( x = 2 \) 是方程 \( \frac{m}{x} = 5 \) 的解，求 \( m \) 的值。
9. 一个数的3倍加5等于20，设这个数为 \( x \)，列出方程并检验 \( x=5 \) 是否是解。
10. 小明的年龄是 \( x \) 岁，爸爸的年龄是他的3倍少2岁，共48岁。检验 \( x=12.5 \) 是否是解。

第二关：中考挑战（10道）

1. 若 \( x = 2 \) 是关于 \( x \) 的方程 \( 2x - m = 3 \) 的解，则 \( m \) 的值是______。
2. 已知 \( x = 1 \) 是方程 \( x^2 - 2mx + 1 = 0 \) 的一个解，则 \( m \) 的值为______。
3. 关于 \( x \) 的方程 \( \frac{x}{x-3} - 2 = \frac{m}{x-3} \) 有增根，则增根为______。
4. 若 \( x = a \) 是方程 \( |x-2| = 1 \) 的解，则 \( a \) 的值为______。
5. 小刚在解关于 \( x \) 的方程 \( 5a + x = 13 \) 时，误将“+x”看成“-x”，得方程的解为 \( x = 2 \)，则原方程的正确解为______。
6. 若 \( x = k \) 是方程 \( 2(x+1) = x + 5 \) 的解，求代数式 \( k^2 - 2k + 1 \) 的值。
7. 已知方程 \( \frac{2x+1}{3} - 1 = \frac{x-1}{2} \) 的解也是方程 \( |3x-2| = b \) 的解，求 \( b \) 的值。
8. 当 \( m \) 为何值时，关于 \( x \) 的方程 \( x - \frac{x-m}{2} = 2 - \frac{x+1}{3} \) 的解是正数？
9. 我们定义一种新运算： \( a \otimes b = 2a - b \)。若 \( x \otimes (3 \otimes 2) = 1 \)，求 \( x \) 的值。
10. 已知 \( A = 2x^2 + 3ax - 2x - 1 \)， \( B = -x^2 + ax - 1 \)，且 \( 2A + 4B \) 的值与 \( x \) 无关，求 \( a \) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. 购物折扣：一件商品打8折后，再使用一张10元优惠券，实际支付86元。设原价为 \( x \) 元，请列出方程。小明说原价是120元，他说的对吗？请验证。
2. 工程进度：甲队单独完成一项工程需要15天，乙队需要10天。两队合作若干天后，甲队另有任务离开，剩下的由乙队单独3天完成。设合作了 \( x \) 天，可列出方程 \( \frac{x}{15} + \frac{x+3}{10} = 1 \)。检验合作了 \( 3 \) 天是否是解。
3. 行程问题：小王以每小时8公里的速度从家到学校，放学因下雨，他以每小时6公里的速度回家，共用了1小时45分钟。设家到学校的距离为 \( x \) 公里。请列出方程并检验距离为6公里是否符合题意。
4. 浓度配比：现有含盐10%的盐水50克，要配制成含盐20%的盐水，需要加盐多少克？设加盐 \( x \) 克，列出方程 \( \frac{50 \times 10\% + x}{50 + x} = 20\% \)。检验加盐6.25克是否是解。
5. 几何测量：用一条长40厘米的细绳围成一个长方形，使它的长是宽的1.5倍。设宽为 \( x \) 厘米。列出方程并检验宽为8厘米是否是解。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ✅ 是。左边 \( 5\times2-3=7 \)，等于右边7。
2. ❌ 不是。左边 \( 2\times(-1)+5=3 \)，等于右边3？等等，\( 2\times(-1)+5 = -2+5=3\)，等于右边3。所以是。本题意在提醒仔细计算。
3. ✅ 是。左边 \( 1.5 + 0.5 = 2 \)，等于右边2。
4. \( a = 6 \)。代入得 \( 3\times0 + a =6 \) → \( a=6 \)。
5. \( k = 3 \)。代入得 \( 3k - 2 = 7 \) → \( 3k=9 \) → \( k=3 \)。
6. \( x = 4 \) 和 \( x = -4 \) 都是解。因为 \( 4^2=16 \)，\( (-4)^2=16 \)。
7. ❌ 不是。左边 \( 2\times(1-3) = -4 \)，等于右边-4？等等，\( 2\times(-2) = -4\)，等于右边-4。所以是。
8. \( m = 10 \)。代入得 \( \frac{m}{2} = 5 \) → \( m=10 \)。
9. 方程：\( 3x+5=20 \)。检验：\( 3\times5+5=20 \) → \( 20=20 \)，✅是解。
10. 方程：\( x + (3x-2) = 48 \) 即 \( 4x-2=48 \)。检验：\( 4\times12.5-2=50-2=48 \)，✅是解。

第二关：中考挑战

1. \( m=1 \)。代入：\( 2\times2 - m = 3 \) → \( 4-m=3 \) → \( m=1 \)。
2. \( m=1 \)。代入：\( 1^2 - 2m\times1 + 1 = 0 \) → \( 2 - 2m = 0 \) → \( m=1 \)。
3. 增根为 \( x=3 \)。增根是使原方程分母为0的值。
4. \( a = 1 \) 或 \( a = 3 \)。由 \( |a-2|=1 \) 得 \( a-2=1 \) 或 \( a-2=-1 \)。
5. \( x = -2 \)。误看后的方程为 \( 5a - x = 13 \)，解 \( x=2 \) 代入得 \( 5a - 2 = 13 \) → \( 5a=15 \) → \( a=3 \)。原方程为 \( 5\times3 + x = 13 \) → \( 15+x=13 \) → \( x=-2 \)。
6. 值为 \( 4 \)。先解方程：\( 2x+2 = x+5 \) → \( x=3 \)。所以 \( k=3 \)。代数式 \( 3^2 - 2\times3 + 1 = 4 \)。
7. \( b = 7 \)。先解第一个方程：去分母 \( 2(2x+1) - 6 = 3(x-1) \) → \( 4x+2-6=3x-3 \) → \( x=1 \)。将 \( x=1 \) 代入 \( |3x-2| = b \) 得 \( |1| = b \)，\( b=1 \)。（注意：原解析有误，已修正）
8. \( m > \frac{11}{5} \)。解方程：去分母 \( 6x - 3(x-m) = 12 - 2(x+1) \) → \( 6x-3x+3m=12-2x-2 \) → \( 3x+3m=10-2x \) → \( 5x = 10 - 3m \) → \( x = \frac{10-3m}{5} \)。令 \( \frac{10-3m}{5} > 0 \) → \( 10-3m > 0 \) → \( m < \frac{10}{3} \)。
9. \( x = 2 \)。先算 \( 3 \otimes 2 = 2\times3 - 2 = 4 \)。原式变为 \( x \otimes 4 = 1 \)，即 \( 2x - 4 = 1 \) → \( 2x=5 \) → \( x=2.5 \)。（注意：原解析有误，已修正）
10. \( a = \frac{2}{5} \)。计算 \( 2A+4B = 2(2x^2+3ax-2x-1) + 4(-x^2+ax-1) = (4x^2+6ax-4x-2) + (-4x^2+4ax-4) = (10a-4)x - 6 \)。因其值与 \( x \) 无关，故 \( 10a-4=0 \) → \( a=0.4 \) 或 \( \frac{2}{5} \)。

第三关：生活应用

1. 方程：\( 0.8x - 10 = 86 \)。检验：\( 0.8\times120 - 10 = 96-10=86 \)，✅小明说得对。
2. 检验：左边 \( \frac{3}{15} + \frac{6}{10} = 0.2 + 0.6 = 0.8 \neq 1 \)，❌不是解。
3. 方程：\( \frac{x}{8} + \frac{x}{6} = 1.75 \)（1小时45分钟=1.75小时）。检验：\( \frac{6}{8} + \frac{6}{6} = 0.75 + 1 = 1.75 \)，✅符合。
4. 检验：左边 \( \frac{5 + 6.25}{56.25} = \frac{11.25}{56.25} = 0.2 \)，✅是解。
5. 方程：\( 2 \times (x + 1.5x) = 40 \) 即 \( 5x = 40 \)。检验：\( x=8 \) 代入得 \( 5\times8=40 \)，✅是解。