方差的性质怎么理解？数据加减乘除后方差怎么变？阿星精讲+图形解析专项练习题库

💡 阿星精讲：方差性质 原理

• 核心概念：我是阿星，咱们把数据想象成我和我的小伙伴们站队的身高。方差，就是衡量我们身高“参差不齐”程度的指标。假设我们每个人都穿上了一双同样厚 \( b \) 厘米的“增高鞋”，所有人身高同时加上 \( b \) 厘米。这时，虽然我们整体长高了，但我们之间的身高差一点都没变！我还是比你矮 \( 5 \) 厘米。所以，整体平移，波动不变，方差 \( s^2 \) 自然不变。相反，如果给我们的身高都乘以一个数 \( a \)，比如用一台神奇的“缩放仪”把我们所有人都放大 \( a \) 倍。这时，你比我高的那 \( 5 \) 厘米也被放大成了 \( 5a \) 厘米，我们之间的“身高差距”被放大了 \( a \) 倍。而方差是衡量偏差平方的平均数，所以这个差距平方后，方差就会变成原来的 \( a^2 \) 倍啦！
• 计算秘籍：设原数据 \( x_1, x_2, ..., x_n \)，其平均数为 \( \bar{x} \)，方差为 \( s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \)。
  性质1（加/减一个常数 \( b \) ）：新数据为 \( y_i = x_i + b \)。新平均数 \( \bar{y} = \bar{x} + b \)。新方差：
  \( s_y^2 = \frac{1}{n} \sum [(x_i + b) - (\bar{x} + b)]^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = s^2 \)。
  性质2（乘一个常数 \( a \) ）：新数据为 \( y_i = a x_i \)。新平均数 \( \bar{y} = a\bar{x} \)。新方差：
  \( s_y^2 = \frac{1}{n} \sum (a x_i - a\bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum a^2 (x_i - \bar{x})^2 = a^2 \cdot \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = a^2 s^2 \)。
• 阿星口诀：平移不变，拉伸平方；整体加减，方差躺平；整体倍乘，方差平方。

📐 图形解析

让我们在数轴上可视化“波动”。下图展示了两组数据点（A组和B组），以及它们各自的平均数（虚线位置）和每个数据点到平均数的偏差（线段长度）。方差本质上就是这些线段长度平方的平均值。

关键理解：方差公式 \( s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \) 的核心是 \( (x_i - \bar{x}) \)，即每个数据点与平均数的“距离”（偏差）。所有数据同时加减 \( b \)，平均数也同步加减 \( b \)，这个距离 \( (x_i + b) - (\bar{x} + b) = x_i - \bar{x} \) 保持不变。所有数据同时乘以 \( a \)，这个距离 \( (a x_i) - (a\bar{x}) = a(x_i - \bar{x}) \) 变为原来的 \( a \) 倍，平方后就是 \( a^2 \) 倍。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：误认为“给每个数据加5，平均数加5，所以方差也加5”。 → ✅ 正解：方差衡量的是数据与“新平均数”的偏差。因为每个数据和新平均数都加了同一个数，偏差 \( (x_i+5) - (\bar{x}+5) = x_i - \bar{x} \) 根本没变，所以方差不变。
• ❌ 错误2：计算“数据都扩大3倍后的方差”时，只将原方差乘以3。 → ✅ 正解：数据扩大 \( a \) 倍，偏差也扩大 \( a \) 倍。方差是偏差平方的平均数，因此新方差是原方差乘以 \( a^2 \)。本例中应为原方差乘以 \( 3^2 = 9 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 数据 \( 1, 3, 5, 7, 9 \) 的方差是 \( 8 \)。那么数据 \( 11, 13, 15, 17, 19 \) 的方差是多少？
2. 一组数据的方差是 \( 2 \)，如果每个数据都乘以 \( 5 \)，新数据的方差是多少？
3. 已知数据 \( x_1, x_2, ..., x_{10} \) 的方差为 \( s^2 \)。求证：数据 \( x_1+100, x_2+100, ..., x_{10}+100 \) 的方差仍是 \( s^2 \)。
4. 一组数据的标准差是 \( 3 \)，那么这组数据每个都加上 \( 6 \) 之后，标准差是多少？
5. 一组数据的方差是 \( 4 \)，那么这组数据每个都除以 \( 2 \) 之后，方差是多少？
6. 填空：数据整体平移，方差 ______；数据整体等比缩放，方差成 ______ 倍变化。
7. 数据 \( -2, 0, 2, 4, 6 \) 的方差是 \( 8 \)。求数据 \( -5, -3, -1, 1, 3 \) 的方差。
8. 如果数据 \( y_i = 2x_i - 1 \)，且 \( x_i \) 的方差是 \( 3 \)，求 \( y_i \) 的方差。
9. 判断：一组数据同时加上一个数后，数据的波动性变大。（ ）
10. 判断：一组数据同时扩大为原来的两倍，其方差也扩大为原来的两倍。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题变形）已知一组数据 \( a, b, c, d, e \) 的平均数是 \( m \)，方差是 \( n \)。则数据 \( a+3, b+3, c+3, d+3, e+3 \) 的平均数和方差分别是（ ）。
2. 若一组数据 \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \) 的方差是 \( \frac{1}{3} \)，则数据 \( 3x_1-2, 3x_2-2, 3x_3-2, 3x_4-2, 3x_5-2 \) 的方差是 ______。
3. 数据 \( X_1, X_2, ... X_n \) 的方差是 \( S^2 \)，数据 \( Y_1, Y_2, ... Y_n \) 的方差是 \( T^2 \)。若 \( Y_i = aX_i + b \) (a, b为常数，且 a≠0)，请用 \( S^2, a \) 表示 \( T^2 \)。
4. 小明记录了连续5天的气温（℃）：\( 22, 24, 23, 25, 21 \)，方差为 \( s_1^2 \)。天气预报显示下周气温将整体下降 \( 3℃ \)，则下周气温的方差 \( s_2^2 \) 与 \( s_1^2 \) 的关系是 ______。
5. 为统一标准，将某次测试的原始分数 \( x \) 通过公式 \( y = \frac{x - 60}{10} \) 转换成标准分 \( y \)。已知某班原始分数的方差是 \( 100 \)，求该班标准分 \( y \) 的方差。
6. 两组数据：甲：\( 1, 2, 3, 4, 5 \)；乙：\( 101, 102, 103, 104, 105 \)。比较这两组数据的方差大小。
7. 一组数据经过变换 \( x' = \frac{x - \bar{x}}{s} \) 后（其中 \( \bar{x} \) 是原平均数，\( s \) 是原标准差），得到的新数据 \( x' \) 的平均数和方差分别是多少？
8. 已知数据 \( a_1, a_2, a_3 \) 的方差是 \( 2 \)，求数据 \( 2a_1+3, 2a_2+3, 2a_3+3 \) 的标准差。
9. 若数据 \( x_1, x_2, ..., x_n \) 的方差为 \( 5 \)，则数据 \( 2x_1-7, 2x_2-7, ..., 2x_n-7 \) 的方差为 ______，标准差为 ______。
10. （综合）已知一组正整数数据，其平均数为 \( 4 \)，方差为 \( \frac{2}{3} \)。若每个数据都先乘以 \( 2 \)，再加上 \( 1 \)，得到一组新数据。求新数据的平均数和方差。

第三关：生活应用（5道）

1. （工程测量）在桥梁施工中，需要测量5个桥墩的高度。测量队第一次测量的方差为 \( \sigma_1^2 \)。后发现测量仪器存在 \( +2cm \) 的系统误差（即所有读数都偏大 \( 2cm \)）。修正系统误差后，桥墩高度的真实值的方差 \( \sigma_2^2 \) 是多少？为什么？
2. （经济学）某公司近5个月的营收增长率（%）数据方差为 \( V \)。若下个月起，所有增长率数据在计算时被错误地放大了 \( 1 \) 倍（即原增长率 \( r\% \) 被记为 \( 2r\% \)），请问被错误记录后的数据方差是原来方差 \( V \) 的多少倍？
3. （体育科学）一名运动员进行10次投篮训练，每次命中的球数记录为 \( x_i \)，其方差为 \( S_x^2 \)。第二天，他在同样条件下训练，但每次投篮总数增加了 \( 1 \) 倍（假设命中率不变），记命中的球数为 \( y_i = 2x_i \)。求第二天命中球数 \( y_i \) 的方差 \( S_y^2 \)。
4. （数据处理）在机器学习中，常对特征数据进行“归一化”处理，使其均值为0，方差为1。如果原始特征数据 \( X \) 的均值为 \( \mu \)，方差为 \( \sigma^2 \)。请写出将 \( X \) 归一化为 \( Z \) 的线性变换公式 \( Z = aX + b \)（用 \( \mu, \sigma \) 表示 \( a, b \)）。
5. （质量控制）工厂A和B生产同型号零件的长度标准差都是 \( 0.1mm \)。但质检员发现，测量B厂零件时使用的卡尺存在 \( 0.05mm \) 的零点偏移（所有读数偏大 \( 0.05mm \)）。请问，在修正这个偏移前后，B厂零件长度的测量数据的标准差发生变化了吗？工厂A和B零件长度的真实波动情况（标准差）哪个更稳定？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 答案：\( 8 \) 解析：新数据 = 原数据 + 10，方差不变。
2. 答案：\( 50 \) 解析：新方差 = \( 5^2 \times 2 = 25 \times 2 = 50 \)。
3. 解析：设原数据平均数为 \( \bar{x} \)，则新数据平均数为 \( \bar{x}+100 \)。新方差 = \( \frac{1}{10}\sum[(x_i+100)-(\bar{x}+100)]^2 = \frac{1}{10}\sum(x_i-\bar{x})^2 = s^2 \)。
4. 答案：\( 3 \) 解析：标准差是方差的算术平方根。加减常数不影响方差，故标准差也不变。
5. 答案：\( 1 \) 解析：除以 \( 2 \) 等于乘以 \( \frac{1}{2} \)。新方差 = \( (\frac{1}{2})^2 \times 4 = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \)。
6. 答案：不变；平方。
7. 答案：\( 8 \) 解析：新数据 = 原数据 - 3，方差不变。
8. 答案：\( 12 \) 解析：\( y_i = 2x_i - 1 \)，其中 \( a=2 \)。新方差 = \( 2^2 \times 3 = 12 \)。
9. 答案：错 解析：波动性（方差）不变。
10. 答案：错 解析：方差扩大为原来的 \( 2^2 = 4 \) 倍。

第二关：中考挑战

1. 答案：平均数 \( m+3 \)，方差 \( n \)。
2. 答案：\( 3 \) 解析：变换为 \( y_i = 3x_i - 2 \)，新方差 = \( 3^2 \times \frac{1}{3} = 9 \times \frac{1}{3} = 3 \)。
3. 答案：\( T^2 = a^2 S^2 \)。
4. 答案：\( s_2^2 = s_1^2 \)。
5. 答案：\( 1 \) 解析：变换为 \( y = 0.1x - 6 \)，新方差 = \( (0.1)^2 \times 100 = 0.01 \times 100 = 1 \)。
6. 答案：相等。 解析：乙组数据 = 甲组数据 + 100，方差不变。
7. 答案：平均数 \( 0 \)，方差 \( 1 \)。 解析：这是一个标准化过程。减去平均数 \( \bar{x} \) 使新数据均值为0，再除以标准差 \( s \) 使得新数据的标准差（方差的平方根）为1，故方差为1。
8. 答案：\( 2\sqrt{2} \) 解析：新方差 = \( 2^2 \times 2 = 8 \)，故新标准差 = \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)。
9. 答案：方差 \( 20 \)，标准差 \( 2\sqrt{5} \)。 解析：新方差 = \( 2^2 \times 5 = 20 \)，标准差 = \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)。
10. 答案：平均数 \( 9 \)，方差 \( \frac{8}{3} \)。 解析：新平均数 = \( 2 \times 4 + 1 = 9 \)。新方差 = \( 2^2 \times \frac{2}{3} = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \)。

第三关：生活应用

1. 答案：\( \sigma_2^2 = \sigma_1^2 \)。 解析：系统误差相当于给所有真值加上了一个常数。修正误差（即所有读数减去 \( 2cm \)）是相反的常数操作，不影响波动性，故方差不变。
2. 答案：\( 4 \) 倍。 解析：错误记录相当于将原数据乘以 \( 2 \)，新方差 = \( 2^2 \times V = 4V \)。
3. 答案：\( S_y^2 = 4S_x^2 \)。 解析：\( y_i = 2x_i \)，故方差变为原来的 \( 2^2 = 4 \) 倍。
4. 答案：\( Z = \frac{1}{\sigma}X - \frac{\mu}{\sigma} \) 或 \( a = \frac{1}{\sigma}, b = -\frac{\mu}{\sigma} \)。 解析：要使新数据 \( Z \) 的均值为0，方差为1。由性质，\( E(Z) = a\mu + b = 0 \)，\( Var(Z) = a^2\sigma^2 = 1 \)。解得 \( a = \frac{1}{\sigma} \)，代入均值式得 \( b = -\frac{\mu}{\sigma} \)。
5. 答案：修正前后标准差不变，都是 \( 0.1mm \)。两厂零件的真实波动情况（标准差）一样稳定。 解析：零点偏移是加减常数，不影响标准差。修正偏移只是去掉这个常数，不改变数据的离散程度。因此A、B两厂零件长度的真实标准差相同。