方差定义是什么？怎么计算？方差大说明什么？初中数学方差深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：方差定义 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，你每天上学花费的时间。如果连续一周都是稳稳的30分钟，那你的通勤就像一列准点的高铁，非常稳定。但如果一天15分钟，一天45分钟，心跳得像过山车，这就很不稳定了。方差，就是衡量这组数据“心跳”或者“波动”大小的数学“稳定指标”。它把每个数据与“平均线”的距离进行平方、再平均，这样就把“波动”变成了一个具体的数字。这个数字越大，说明数据越“活泼好动”、越不稳定；数字越小，说明数据越“沉着冷静”、越稳定。
• 计算秘籍：
  1. 找中心：计算所有数据的平均数 \( \bar{x} \)。
  2. 量偏差：计算每个数据与平均数的差，即“偏差”：\( x_i - \bar{x} \)。
  3. 消负号：将每个偏差平方 \( (x_i - \bar{x})^2 \)，这样所有的波动都变成了正数，小波动更小，大波动更大。
  4. 求平均：将所有偏差平方的结果求平均数，就得到了方差 \( s^2 \)。公式为：\( s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2] \)。
• 阿星口诀：“数据波动要看清，先求平均做中心；偏差平方消负情，平均之后方差明。数值越大越跳动，数值越小越安定。”

📐 图形解析

下图展示了两组数据围绕平均值（虚线）的波动情况。蓝点代表数据，蓝色区域示意了每个数据点偏离平均值的“距离”经过平方后的视觉化效果。面积越大，总体波动越大，方差越大。

数据集A的方差（\( s_A^2 \approx 2.0 \)）小于数据集B的方差（\( s_B^2 \approx 18.7 \)）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：忘记“平方”，直接求偏差 \( (x_i - \bar{x}) \) 的平均值。 → ✅ 正解：必须平方！因为偏差有正有负，直接求和会相互抵消，无法反映真实波动。平方能消除负号并放大较大偏差的影响。
• ❌ 错误2：混淆“方差”与“标准差”。方差 \( s^2 \) 的单位是原数据单位的平方（如“分钟²”），看起来不直观。 → ✅ 正解：标准差 \( s = \sqrt{s^2} \) 是方差的算术平方根，它和原数据单位一致，更常用于直接描述波动大小。计算时先求方差，再开方得标准差。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算数据集 {2， 4， 6， 8， 10} 的方差。
2. 计算数据集 {5， 5， 5， 5， 5} 的方差。
3. 两组数据：A组 {1， 3， 5}， B组 {2， 3， 4}。哪组数据更稳定？
4. 你的手机每天剩余电量百分比记录为：[48%， 50%， 52%， 49%， 51%]。求这组数据的方差（将百分号看作单位，直接使用数字计算）。
5. 已知一组数据方差为0，这组数据有什么特点？
6. 求数据 {a， a， a} （a为常数）的平均数和方差。
7. 若每个数据都增加2，新数据组的方差会变化吗？为什么？
8. 若每个数据都乘以3，新数据组的方差是原方差的多少倍？
9. 比较 {10， 20} 和 {15， 15} 两组数据的方差大小。
10. 根据方差定义，判断正误：方差可以是负数。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考改编）已知一组数据 x₁， x₂， ...， xₙ 的方差是 4。则数据 3x₁， 3x₂， ...， 3xₙ 的方差是 ______。
2. （中考真题）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，成绩的方差分别为 \( s_甲^2=0.8 \)， \( s_乙^2=1.2 \)。则谁的射击成绩更稳定？
3. 已知数据 1， 2， 3， 4， a 的平均数是 3，求这组数据的方差。
4. 一组数据：-1， 0， 3， 5， x 的方差为 6.8，求 x 的值。
5. 比较三组数据的稳定性：A: {98， 99， 100， 101， 102}； B: {1， 10， 100， 1000， 10000}； C: {100， 100， 100， 100， 100}。
6. 若数据 {2， 4， 6， 8， a} 的方差等于数据 {10， 12， 14， 16， b} 的方差，求 a 与 b 的关系。
7. （综合题）五个正整数，中位数是4，唯一众数是3，平均数是4。求这五个数的方差的最大可能值。
8. 从方差为 16 的一组数据中，去掉一个最大值和一个最小值，剩余数据的方差可能会如何变化？（增大、减小、不变、不确定）请简述理由。
9. 证明：方差公式 \( s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2 \)。
10. （阅读理解）结合“图形解析”部分的SVG示意图，如果数据集B中最高点变得更高，最低点变得更低，其方差会如何变化？这对“稳定指标”意味着什么？

第三关：生活应用（5道）

1. （质量控制）工厂生产某零件，标准长度为 10.00 cm。抽检5个零件，长度（cm）为：[10.02， 9.98， 10.01， 9.99， 10.00]。计算长度的方差，并评估生产线的稳定性。
2. （投资分析）两只股票A和B过去5周的周收益率如下：A: [2%， -1%， 3%， 1%， 0%]； B: [5%， -4%， 7%， -2%， 1%]。从风险（波动性）角度，哪只股票更稳定？计算方差进行说明。
3. （气象统计）某城市去年春季（3-5月）连续10天的每日最高气温（℃）记录为：[12， 15， 14， 16， 18， 20， 15， 13， 17， 19]。计算这10天气温的方差，感受春季气温的波动性。
4. （体育科学）两位短跑运动员小飞和小奔，在10次训练中跑完100米的用时（秒）方差分别为 \( s_飞^2 = 0.1 \)， \( s_奔^2 = 0.05 \)。哪位运动员的发挥更稳定？在重要比赛中，教练可能会更倾向选择哪位运动员？为什么？
5. （工程测量）为铺设一段水平管道，工程师在10个等分点测量了高程（相对于基准面，单位：米）：[0.01， -0.02， 0.00， 0.03， -0.01， 0.02， 0.00， -0.03， 0.01， -0.01]。计算高程的方差，并判断管道铺设的平整度。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 均值 \( \bar{x}=6 \)，方差 \( s^2=\frac{(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2}{5}=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8 \)。
2. 方差为0。
3. A组均值3，方差 \( \frac{8}{3} \approx 2.67 \)；B组均值3，方差 \( \frac{2}{3} \approx 0.67 \)。B组方差更小，更稳定。
4. 均值50，方差 \( s^2=\frac{(48-50)^2+(50-50)^2+(52-50)^2+(49-50)^2+(51-50)^2}{5}=\frac{4+0+4+1+1}{5}=2 \)。
5. 所有数据都相等。
6. 均值 \( a \)，方差 \( 0 \)。
7. 不会变化。因为所有数据的波动形态（相对位置）没有改变，只是整体平移。
8. 9倍。
9. {10, 20} 的方差为25，{15, 15}的方差为0。后者更稳定。
10. 错误。方差是平方和的平均，必为非负数。

第二关：中考挑战

1. 36。 （方差放大 \( 3^2=9 \)倍）
2. 甲更稳定。（方差更小）
3. 平均数为3，则 \( a=5 \)。方差 \( s^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2 \)。
4. 均值 \( \bar{x}=\frac{7+x}{5} \)。代入方差公式：\( \frac{(-1-\bar{x})^2+(0-\bar{x})^2+(3-\bar{x})^2+(5-\bar{x})^2+(x-\bar{x})^2}{5}=6.8 \)。解得 \( x=7 \) 或 \( x=-3 \)。
5. C最稳定（方差0），A次之（方差2），B最不稳定（方差极大）。
6. 第二组数据可看作第一组每个数加8得到，平移不改变方差。所以只需 \( a \) 与 \( b \) 满足 \( b = a+8 \)。
7. 五个数可能为：3，3，4，5，5。均值4，方差 \( s^2=\frac{(3-4)^2*2+(4-4)^2+(5-4)^2*2}{5}=\frac{1+0+1}{5}=0.4 \)。这是最小的方差。为求最大方差，应让数据尽可能分散。在满足条件下，可尝试3，3，4，a，b（a,b>4且a≠b）。设 a=6，b=7，则和为23，均值为4.6，不符。需调整使和为20。尝试3，3，4，10，0（0非正整数）。3，3，4，9，1：均值4，方差 \( s^2=\frac{1*2+0+25+9}{5}=7.2 \)。继续增大极差：3，3，4，11， -1（负）。所以最大可能值需在正整数范围内搜索，但题目未明确限定“正整数”？若只是整数，可尝试3，3，4，100， -90，方差极大。原题通常隐含正整数，因此7.2是一个较大的可能值，但可能不是最大。此题考察对概念和约束的理解。
8. 通常减小。因为去掉的往往是偏离平均值最大的数据，会降低整体的离散程度。但严格来说，不确定，因为去掉两个数后，平均值也变了，需要重新计算比较。但在大多数实际情况和考题语境下，认为是减小。
9. 证明：\( s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i^2 - 2\bar{x}x_i + \bar{x}^2) = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - 2\bar{x}\cdot\frac{1}{n}\sum x_i + \frac{1}{n}\cdot n\bar{x}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2 \)。
10. 方差会变大。这意味着数据的“不稳定”程度加剧，“稳定指标”显示系统或过程的波动性更强。

第三关：生活应用

1. 均值10.00，方差 \( s^2=0.0002 \)。方差非常小，说明生产线稳定性很好，零件长度高度一致。
2. A股收益率方差 \( s_A^2 \approx 2.2 \) (%²)， B股方差 \( s_B^2 \approx 18.2 \) (%²)。A股方差更小，风险（波动性）更低，更稳定。
3. 均值15.9℃，方差 \( s^2 \approx 6.49 \) (℃²)。方差不大，说明这10天温度虽有波动但相对平缓。
4. 小奔的方差更小（0.05 < 0.1），发挥更稳定。在重要比赛中，教练可能更倾向选择小奔，因为他/她的成绩波动小，预期表现更可靠，风险更低。
5. 均值0.00，方差 \( s^2=0.0003 \) (m²)。方差很小，说明各测量点高程与基准面偏差的平方和很小，管道铺设得非常平整。