二次函数范围最值怎么求？对称轴与区间关系深度解析与易错点指南专项练习题库

💡 阿星精讲：范围最值 原理

• 核心概念：想象一下，抛物线就像一座山（开口向下）或一个山谷（开口向上），它的“山顶”或“谷底”（顶点）是对称轴所在的位置。现在，给你一段“领地”（x的取值范围），让你去找这块领地里最高或最低的地方（最值）。别急着往山顶/谷底冲！阿星提示你：先看看你的“领地边界”是否包含了这座山的中心（对称轴）。如果领地范围不包含对称轴，那么最高/最低点肯定就在领地的左或右端点处！这就是“边界守卫”法则——当中心不在家时，边界说了算。
• 计算秘籍：
  1. 确定抛物线对称轴：对于 \( y = ax^2 + bx + c \)，对称轴为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。
  2. 明确给定范围：设 \( x \) 属于 \( [m, n] \)。
  3. 判断对称轴与范围的关系：
     • 若对称轴 \( -\frac{b}{2a} \) 在 \( [m, n] \) 内，则顶点处取一个最值，比较两个端点 \( f(m) \)、\( f(n) \) 的函数值，与顶点值一起确定最终的最值。
     • 若对称轴 \( -\frac{b}{2a} \) 不在 \( [m, n] \) 内（即在其左侧或右侧），则最值必在端点处取得。此时，根据开口方向判断：
       • 开口向上 (\( a>0 \))：距离对称轴更远的端点函数值更大；距离对称轴更近的端点函数值更小（为最小值）。
       • 开口向下 (\( a<0 \))：距离对称轴更远的端点函数值更小；距离对称轴更近的端点函数值更大（为最大值）。
• 阿星口诀：“范围最值莫慌张，对称轴位先端详。轴在范围比三家，轴不在时看端墙！”

📐 图形解析

下图直观展示了“边界守卫”法则。蓝色区域代表x的取值范围 \( [m, n] \)。红色虚线是对称轴 \( x = h \)。

上图中，绿色范围 \( [m_1, n_1] \) 包含了对称轴，最值需要比较顶点和两个端点。黄色范围 \( [m_2, n_2] \) 在对称轴右侧，不包含对称轴。因为抛物线开口向上，所以距离对称轴更近的左端点 \( m_2 \) 处取得最小值，距离对称轴更远的右端点 \( n_2 \) 处取得最大值（图中未标出最大值点，但根据曲线趋势可知）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：拿到二次函数，不分析范围，直接代入顶点坐标公式求最值。
  ✅ 正解：务必先画出（或想象）对称轴，判断其与给定范围的位置关系。这是解题的“第一步”，至关重要。
• ❌ 错误2：当对称轴不在范围内时，认为端点值的大小关系固定（如总认为左小右大）。
  ✅ 正解：端点值的大小关系取决于开口方向和范围相对于对称轴的位置。记住：最值出现在距离对称轴最远或最近的端点上，需结合开口方向具体分析。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求 \( y = x^2 + 2x - 3 \) 在 \( x \in [-2, 0] \) 上的最小值。
2. 求 \( y = -x^2 + 4x + 1 \) 在 \( x \in [3, 5] \) 上的最大值。
3. 求 \( y = 2x^2 - 8x + 7 \) 在 \( x \in [1, 2] \) 上的值域。
4. 求 \( y = -3x^2 + 6x \) 在 \( x \in [-1, 1] \) 上的最大值和最小值。
5. 已知 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \)，若 \( f(x) \) 在区间 \( [a, a+1] \) 上的最小值为 \( -1 \)，求 \( a \) 的值。
6. 矩形周长为 \( 16\text{cm} \)，求其面积的最大值。
7. 求 \( y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4 \) 在 \( x \in [-2, 4] \) 上的最值。
8. 判断：函数 \( f(x) = -x^2 + 2 \) 在区间 \( (-\infty, 0] \) 上是增函数。（ ）
9. 已知抛物线 \( y = ax^2 + bx \) 经过点 \( (2, 0) \)，且对称轴为 \( x=1 \)，求该函数在 \( [0, 3] \) 上的最大值。
10. 从地面垂直向上抛一个小球，小球高度 \( h \)（米）与时间 \( t \)（秒）的关系为 \( h = 20t - 5t^2 \)，求小球能达到的最大高度。

第二关：中考挑战（10道）

1. （改编自中考题）已知二次函数 \( y = x^2 - 2x - 3 \) 当 \( 0 \le x \le m \) 时，y的最大值为 \( -2 \)，最小值为 \( -4 \)，则m的取值范围是______。
2. 若关于x的二次函数 \( y = ax^2 + 4x + a - 1 \) 在 \( x \in [-2, 2] \) 上的最大值是5，求a的值。
3. 已知函数 \( f(x) = |x^2 - 4x + 3| \) 在区间 \( [0, a] \) 上的最大值为4，求a的取值范围。
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P是斜边AB上的动点，求CP的最小值。（请配简单示意图思考）
5. 已知二次函数 \( y = x^2 + bx + c \) 的图象过点 \( (1, 0) \)，且关于直线 \( x=2 \) 对称，当 \( 1 \le x \le m \) (\( m > 1 \)) 时，函数值y的取值范围是 \( 0 \le y \le m+3 \)，求m的值。
6. 在平面直角坐标系中，已知点A(1, 1)，点B是直线 \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \) 上的动点，求线段AB长度的最小值。
7. 某商场销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每周可卖出200件。调查发现：每降价1元，每周可多卖出20件。求每周销售该商品的最大利润。
8. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3 \)，若对于任意 \( x \in [-1, 1] \)，都有 \( f(x) > 0 \) 成立，求实数a的取值范围。
9. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P是BC边上的动点，求 \( AP^2 + BP \cdot PC \) 的最小值。
10. （动点最值）如图，正方形ABCD边长为4，点E、F分别在边BC、CD上，且CE=CF，求△AEF面积的最小值。

第三关：生活应用（5道）

1. （窗户采光）某户窗户形状为矩形加半圆（下部是矩形，上部是半圆），窗户周长为定值L。要使窗户透光面积最大，矩形的宽与高应成什么比例？
2. （桥梁拱形）一座抛物线拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽4米。当水面下降1米后，水面宽度增加了多少米？
3. （经济批量）某工厂每月需要某种零件2400个，可自行生产或外购。自产需一次性投入固定成本400元，此后每个零件成本为6元。外购单价为8元。若每次生产均需设备调试等准备费用100元，为最小化月度总成本，应如何安排（每次生产多少个）？
4. （光照强度）研究表明，教室黑板上某点的光照强度E与光源到该点距离r的平方成反比，与光线入射角θ的余弦值成正比。为使黑板最边缘获得最佳光照，光源应安装在距黑板多远的正前方？
5. （最短路径）如图，A、B两村位于河（直线l）的同侧，现要在河边修建一座水泵站P，分别向两村供水。若要使铺设的水管总长度PA+PB最短，水泵站P应建在何处？请用几何与函数两种方法说明。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 对称轴 \( x=-1 \)，在 \([-2,0]\)内。开口向上，顶点最小。\( f(-1)=-4 \)，\( f(-2)=-3 \)，\( f(0)=-3 \)。最小值为 \(-4\)。
2. 对称轴 \( x=2 \)，不在 \([3,5]\)内（在左侧）。开口向下，范围在对称轴右侧，离对称轴越近值越大。\( f(3)=4 \)，\( f(5)=-4 \)。最大值为 \(4\)。
3. 对称轴 \( x=2 \)，在 \([1,2]\)内。开口向上，顶点在右端点。\( f(2)=-1\)，\( f(1)=1\)。值域为 \([-1, 1]\)。
4. 对称轴 \( x=1 \)，在 \([-1,1]\)内。开口向下，顶点在右端点。\( f(1)=3\)，\( f(-1)=-9\)。最大值为 \(3\)，最小值为 \(-9\)。
5. \( f(x)=(x-3)^2-1 \)，对称轴 \( x=3 \)。分情况：①若 \( a+1 \le 3 \)（即 \( a \le 2 \)），在区间左端取最小：\( f(a+1)=-1 \)，解得 \( a=2 \)。②若 \( a \ge 3 \)，在区间左端取最小：\( f(a)=-1 \)，解得 \( a=3 \)（舍 \( a=1 \) 因不满足 \( a \ge 3 \)）。③若区间包含对称轴，最小值恒为 \(-1\)，恒成立，但题目要求“最小值为-1”，需确定a值。综合，\( a=2 \) 或 \( a=3 \)。
6. 设长、宽为 \( a, b \)，则 \( a+b=8 \)，面积 \( S=ab=a(8-a)=-a^2+8a \)。对称轴 \( a=4 \)，在 \((0,8)\)内，开口向下，最大值 \( S(4)=16 \text{ cm}^2\)。
7. 对称轴 \( x=1 \)，在 \([-2,4]\)内。开口向上，顶点最小。\( f(1)=-4.5\)，\( f(-2)=2\)，\( f(4)=0\)。最小值为 \(-4.5\)，最大值为 \(2\)。
8. 正确。对称轴 \( x=0 \)，开口向下，在 \((-∞, 0]\)上递增。
9. 由过点(2,0)得 \( 0=4a+2b \)，由对称轴 \( -\frac{b}{2a}=1 \) 得 \( b=-2a \)。联立解得 \( a=1, b=-2 \)。函数为 \( y=x^2-2x \)，对称轴 \( x=1 \) 在 \([0,3]\)内，开口向上。比较 \( f(0)=0 \)，\( f(1)=-1 \)，\( f(3)=3 \)。最大值为 \(3\)。
10. \( h=-5t^2+20t \)，对称轴 \( t=2 \)，在定义域内，开口向下，最大值 \( h(2)=20 \) 米。

（第二关、第三关解析因篇幅限制略，核心思路均遵循“定轴画界判断计算”四步法。）