反比例函数解析式与双曲线图像深度解析及经典题型全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：解析式 原理

• 核心概念：想象一下，解析式就是你和数字之间的一份“合同”。反比例函数这份合同最有意思，它规定：x 和 y 这两个家伙，必须遵守“你强我就弱，你弱我就强”的规则，但它们俩的“关系总值”k（一个常数）却永远不变。用阿星的话说，就是 \( y = \frac{k}{x} (k \neq 0) \)。x在分母，xy=k——这个乘法等式，就是这份合同的“灵魂条款”。比如，当你走路的速度（x）越快，走完固定路程所需的时间（y）就越少，但“速度×时间=路程（k）”永远固定。这就是生活中的“反比例关系”。
• 计算秘籍：
  1. 识别：判断两个变量是否满足“乘积为定值”的关系。
  2. 定k：找到这个不变的乘积 \( k \)，即 \( k = xy \)。
  3. 书写：写出解析式 \( y = \frac{k}{x} \)，并切记标明 \( k \neq 0 \) 且 \( x \neq 0 \)。
• 阿星口诀：未知在分母，乘积是常数；图像双曲线，离轴永不相触。

📐 图形解析

反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) (以 \( k > 0 \) 为例) 的图像是双曲线。它的核心几何特征是：图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒为 \( |k| \)。

矩形面积公式：\( S = |x \times y| = |k| \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：忽略 \( x \neq 0 \) 的前提，认为函数图像会与y轴相交。
  ✅ 正解：因为 \( x \) 在分母，所以 \( x \) 绝对不能为0。因此，双曲线无限接近坐标轴，但永远不会与y轴（\( x=0 \)）相交。
• ❌ 错误2：看到 \( y = \frac{k}{x} \) 就认为图像一定过原点。
  ✅ 正解：反比例函数图像是双曲线，它由两支组成，且不过原点。当 \( k>0 \) 时，两支分别在一、三象限；当 \( k<0 \) 时，两支在二、四象限。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断下列关系是不是反比例关系：(1) 小明有100元，买单价为x元的笔记本y本。(2) 从家到学校的路程是2km，步行速度x(km/h)与所需时间y(h)。
2. 已知 \( y \) 与 \( x \) 成反比，当 \( x = 3 \) 时，\( y = 4 \)。求 \( y \) 关于 \( x \) 的函数解析式。
3. 函数 \( y = \frac{2}{x} \) 中，自变量 \( x \) 的取值范围是______。
4. 若点 \( (3, m) \) 在反比例函数 \( y = -\frac{12}{x} \) 的图像上，则 \( m = \) ______。
5. 若 \( y = (m-1)x^{m^2-2} \) 是反比例函数，则 \( m = \) ______。
6. 在同一坐标系中，画出 \( y = \frac{4}{x} \) 和 \( y = -\frac{4}{x} \) 的示意图，并说出它们所在象限。
7. 已知反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图像经过点 \( (-2, 3) \)，则 \( k = \) ______。
8. 对于函数 \( y = \frac{2}{x} \)，当 \( x > 0 \) 时，y随x的增大而______。
9. 已知三角形的面积是 \( 10 \, cm^2 \)，它的一边长 \( a \, cm \) 和这边上的高 \( h \, cm \) 是否成反比？写出关系式。
10. 已知 \( y = y_1 + y_2 \)，\( y_1 \) 与 \( x \) 成正比例，\( y_2 \) 与 \( x \) 成反比例，且当 \( x=1 \) 时，\( y=4 \)；当 \( x=2 \) 时，\( y=5 \)。求 \( y \) 关于 \( x \) 的函数解析式。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 若点 \( A(-2, y_1) \)， \( B(-1, y_2) \)， \( C(3, y_3) \) 都在反比例函数 \( y = -\frac{6}{x} \) 的图像上，则 \( y_1, y_2, y_3 \) 的大小关系是______。
2. 已知反比例函数 \( y = \frac{k}{x} (k > 0) \) 的图像与直线 \( y = -x + 4 \) 交于 \( A, B \) 两点，求 \( k \) 为何值时， \( \triangle OAB \) 是直角三角形。
3. 如图， \( A, B \) 是函数 \( y = \frac{2}{x} \) 图像上关于原点 \( O \) 对称的任意两点，\( AC \) 平行于 \( y \) 轴，\( BC \) 平行于 \( x \) 轴，求 \( \triangle ABC \) 的面积。
4. 已知一次函数 \( y = x + 2 \) 与反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图像交于点 \( P(a, b) \)，求 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) 的值。
5. 某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 \( I \) (A) 与电阻 \( R (\Omega) \) 的函数关系如图所示。如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 \( 10A \)，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？(配简图：过第一象限的双曲线一支)

第三关：生活应用（5道）

1. 【工程规划】某工程队原计划用若干天完成一段道路的铺设。如果每天多铺设20米，实际所用时间就是原计划的 \( \frac{4}{5} \)；如果每天少铺设15米，那么就要比原计划多用3天。求原计划每天铺设的长度和原计划的天数。
2. 【杠杆原理】杠杆平衡时，阻力 \( \times \) 阻力臂 = 动力 \( \times \) 动力臂。现有一根长1.8米的杠杆，左端挂重物90N，要使杠杆平衡，动力 \( F \) (N) 与动力臂 \( L \) (m) 之间满足什么函数关系？画出 \( F \) 关于 \( L \) 的函数图像示意图，并说明当动力臂变长时，动力的变化趋势。
3. 【经济决策】某商场销售一批进价为20元的商品，在销售过程中发现，日销售量 \( y \) (件) 与销售单价 \( x \) (元) 满足关系式 \( y = -2x + 80 \)。商场欲获得每日最大利润，应如何定价？此时日销售量是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 解析（节选）：

1. (1) 是，\( xy=100 \)；(2) 是，\( xy=2 \)。
2. 由 \( xy=k \)，代入 \( 3 \times 4 = 12 \)，得 \( k=12 \)，解析式为 \( y=\frac{12}{x} \)。
3. \( x \neq 0 \)。
4. 由 \( 3m = -12 \)，得 \( m = -4 \)。
5. 由反比例函数定义，\( m^2 - 2 = -1 \) 且 \( m-1 \neq 0 \)，解得 \( m = -1 \)。

第二关 解析（第1题）：

对于 \( y = -\frac{6}{x} \)，\( k=-6<0 \，图像在二、四象限。在第四象限内（\( x>0 \)），y随x增大而增大（负值绝对值减小）；在第二象限内（\( x<0 \)），y随x增大而增大（正值）。计算：\( y_1 = -\frac{6}{-2}=3 \)，\( y_2= -\frac{6}{-1}=6 \)，\( y_3= -\frac{6}{3}=-2 \)。故 \( y_3 < y_1 < y_2 \)。

第三关 解析（第1题思路）：

设原计划每天铺 \( x \) 米，需 \( y \) 天，总路程 \( s = xy \)。
根据题意：
\( (x+20) \cdot (\frac{4}{5}y) = xy \) … (1)
\( (x-15) \cdot (y+3) = xy \) … (2)
由(1)解得：\( 4xy + 80y = 5xy \Rightarrow xy = 80y \Rightarrow x = 80 (y \neq 0) \)。
代入(2)：\( (80-15)(y+3) = 80y \Rightarrow 65y + 195 = 80y \Rightarrow 15y = 195 \Rightarrow y = 13 \)。
答：原计划每天铺80米，铺13天。