反比例函数双曲线图像解析式深度讲解与题型大全专项练习题库

💡 阿星精讲：解析式 原理

• 核心概念：如果把一个函数比作一台自动售货机，那么它的解析式就是这台机器的使用说明书！你投入一个 \( x \)（自变量），它严格按照说明书的规则，吐出一个对应的 \( y \)（因变量）。今天，我们重点研究其中一种非常“有个性”的说明书：反比例函数，它的规则是 \( y=\frac{k}{x} (k \neq 0) \)。阿星是这样比喻的：“分母上的 \( x \) 是个暴脾气，绝对不能为 0！” 因为除数不能为零，所以它的定义域是 \( x \neq 0 \)。这个规则画出的图像，是两支优雅又独立的双曲线。它们就像两个永不触碰的舞者，无限接近坐标轴，却永不相交。
• 计算秘籍：
  1. 确定 \( k \) 值： 已知图像上一点 \( (a, b) \)，代入 \( y=\frac{k}{x} \)，解 \( k = a \times b \)。
  2. 求函数值： 已知解析式 \( y=\frac{6}{x} \)，求当 \( x=2 \) 时的 \( y \) 值。代入：\( y=\frac{6}{2} = 3 \)。
  3. 判断点是否在图像上： 判断点 \( (3, 2) \) 是否在 \( y=\frac{6}{x} \) 上。计算 \( 3 \times 2 = 6 \)，等于 \( k \) 值 \( 6 \)，所以在图像上。
• 阿星口诀： “反比例，有双翼，\( k \) 定象限里；\( x \) 分母，不为零，渐近线是边境。”

📐 图形解析

反比例函数 \( y=\frac{k}{x} (k > 0) \) 的图像是双曲线。它有两支，分别位于第一、三象限。图像无限接近 \( x \) 轴和 \( y \) 轴（这两条轴称为渐近线），但永远不会与它们相交。当 \( k < 0 \) 时，图像在第二、四象限。

双曲线基本形态：\( y = \frac{6}{x} \)

图像特征：两支曲线关于原点 \( O(0,0) \) 中心对称。每一支上，\( x \) 和 \( y \) 的乘积恒为 \( k \)（本例中 \( 2 \times 3 = 6 \)）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： 认为函数 \( y=\frac{k}{x} \) 的图像与坐标轴有交点。
  → ✅ 正解： 因为 \( x \neq 0 \)，所以图像与 \( y \) 轴无交点；因为 \( y \neq 0 \)，所以图像与 \( x \) 轴无交点。坐标轴是它的渐近线。
• ❌ 错误2： 说“反比例函数 \( y=\frac{k}{x} \) 随着 \( x \) 增大而减小”。
  → ✅ 正解： 必须分象限说明！当 \( k>0 \) 时，在每一支曲线上（即第一象限或第三象限内），\( y \) 随 \( x \) 增大而减小。但整体不能说，因为从第三象限的点到第一象限的点，\( x \) 增大，\( y \) 也增大。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断下列点哪些在反比例函数 \( y = \frac{12}{x} \) 的图像上：\( (3, 4) \), \( (-4, -3) \), \( (6, 2) \), \( (2, 5) \)。
2. 已知 \( y \) 与 \( x \) 成反比，当 \( x=3 \) 时，\( y=6 \)。求 \( y \) 与 \( x \) 的函数关系式。
3. 反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图像经过点 \( (2, -5) \)，则 \( k = \) ______。
4. 函数 \( y = \frac{2}{x} \) 中，自变量 \( x \) 的取值范围是 ______。
5. 若反比例函数 \( y = \frac{m+1}{x} \) 的图像在第二、四象限，则 \( m \) 的取值范围是 ______。
6. 当 \( x > 0 \) 时，函数 \( y = -\frac{4}{x} \) 的值随 \( x \) 的增大而 ______。
7. 写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数解析式 ______。
8. 已知三角形的面积是 \( 20 \text{cm}^2 \)，它的一边长 \( a \text{ cm} \) 与这边上的高 \( h \text{ cm} \) 的函数关系式是 ______。
9. 已知点 \( A(1, y_1) \) 和 \( B(2, y_2) \) 在函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像上，比较 \( y_1 \) 与 \( y_2 \) 的大小。
10. 画出函数 \( y = -\frac{6}{x} \) 的图像的示意图（标出至少两个点）。

第二关：中考挑战（10道）

1. 若点 \( A(a, b) \) 在反比例函数 \( y=-\frac{3}{x} \) 的图像上，则代数式 \( ab + 3 \) 的值为 ______。
2. 在同一直角坐标系中，函数 \( y = kx - k \) 与 \( y = \frac{k}{x} (k \neq 0) \) 的图像大致是（ ）。（选择题，需描述四个选项特征）
3. 如图，\( P \) 是反比例函数图像上一点，过 \( P \) 作 \( PA \perp x \) 轴于点 \( A \)，\( S_{\triangle PAO} = 3 \)，求该反比例函数解析式。
4. 已知反比例函数 \( y=\frac{k}{x} \) 与一次函数 \( y=2x-4 \) 的图像都经过点 \( A(a, 2) \)。(1) 求 \( a, k \) 值；(2) 求另一个交点坐标。
5. 蓄电池的电压 \( U \) 为定值，使用此电源时，电流 \( I \) (A) 与电阻 \( R (\Omega) \) 的函数关系如图所示。求：(1) 函数解析式；(2) 当 \( I=10A \) 时，电阻 \( R \) 是多少？
6. 若反比例函数 \( y=(2m-1)x^{m^2-2} \) 的图像在第二、四象限，则 \( m \) 的值是 ______。
7. 已知 \( y = y_1 + y_2 \)，\( y_1 \) 与 \( x \) 成正比，\( y_2 \) 与 \( x \) 成反比，当 \( x=1 \) 时，\( y=4 \)；当 \( x=2 \) 时，\( y=5 \)。求 \( y \) 关于 \( x \) 的函数解析式。
8. 反比例函数 \( y=\frac{6}{x} \) 与一次函数 \( y=x+1 \) 的图像交于 \( A, B \) 两点，求 \( \triangle AOB \) 的面积。
9. 已知 \( P_1(x_1, y_1) \)，\( P_2(x_2, y_2) \) 是反比例函数 \( y=\frac{k}{x} (k>0) \) 图像上的两点，若 \( x_1 < x_2 < 0 \)，则比较 \( y_1 \) 与 \( y_2 \) 的大小。
10. 如图，正方形 \( OABC \) 的边长为 2，顶点 \( A, C \) 分别在 \( x, y \) 轴正半轴上。反比例函数 \( y=\frac{k}{x} (k>0, x>0) \) 的图像与 \( BC \) 边交于点 \( D \)，与 \( AB \) 边交于点 \( E \)，且 \( BD = AE \)。求 \( k \) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. 【工程效率】 某工程队原计划每天铺设管道 \( x \) 米，恰好 \( 60 \) 天完成。实际施工时，效率提高到原计划的 \( 1.5 \) 倍。写出实际施工天数 \( y \)（天）与原计划每天铺设量 \( x \)（米）的函数关系式，并判断这是什么函数。
2. 【经济杠杆】 银行账户的本金为 \( P \) 元，年利率为 \( r \)，存期为 \( t \) 年，按单利计算，到期本息和为 \( M \) 元。当 \( P \) 和 \( M \) 固定时，\( r \) 与 \( t \) 之间成什么函数关系？请写出解析式。
3. 【光学原理】 在透镜成像中，物距 \( u \)、像距 \( v \) 和焦距 \( f \) 满足公式 \( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f} \)（\( f \) 为常数）。当物距 \( u \) 变化时，像距 \( v \) 如何变化？这属于什么函数关系？
4. 【交通流量】 一条固定长度的隧道，假设车辆匀速、安全地通过。车流量 \( Q \)（辆/小时）与车辆保持的安全车距 \( d \)（米）近似成反比。若安全车距为 \( 50 \) 米时，最大车流量为 \( 1200 \) 辆/小时。写出 \( Q \) 与 \( d \) 的函数关系式。
5. 【资源分配】 一批救灾物资总量为 \( m \) 吨，计划分发给 \( n \) 个受灾点，每个受灾点平均分得 \( s \) 吨。写出 \( s \) 关于 \( n \) 的函数解析式。若想使每个受灾点多得 \( 0.5 \) 吨，受灾点的数量需要如何调整？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解析：计算每点的 \( x \cdot y \) 是否等于 \( 12 \)。\( 3 \times 4=12 \)，在；\( (-4)\times(-3)=12 \)，在；\( 6\times2=12 \)，在；\( 2\times5=10\neq12 \)，不在。答案为 \( (3,4) \), \( (-4,-3) \), \( (6,2) \)。
2. 解析：设 \( y=\frac{k}{x} \)，代入 \( x=3, y=6 \) 得 \( 6=\frac{k}{3} \)，\( k=18 \)。关系式为 \( y=\frac{18}{x} \)。
3. 解析： \( k = 2 \times (-5) = -10 \)。
4. 解析： \( x \neq 0 \)。
5. 解析：图像在二、四象限，说明 \( k = m+1 < 0 \)，解得 \( m < -1 \)。
6. 解析：当 \( k=-4<0 \)，且 \( x>0 \) 时，图像在第四象限，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大。
7. 解析：答案不唯一，如 \( y=\frac{1}{x} \)，须满足 \( k>0 \)。
8. 解析：由 \( S=\frac{1}{2}ah = 20 \) 得 \( a = \frac{40}{h} \)，或 \( h = \frac{40}{a} \)。
9. 解析： \( k=1>0 \)，在第一象限内，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小。因为 \( 1 < 2 \)，所以 \( y_1 > y_2 \)。
10. 略（示意图需标出如 \( (2, -3) \) 和 \( (-3, 2) \) 等点，图像在第二、四象限）。

第二关 & 第三关详细解析略（供教学过程中展开）。