期末复习：八年级数学上册因式分解考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：因式分解核心考点速记
【开篇语：因式分解是八年级上学期的核心，贯穿整张期末试卷！不仅是单独的填空题、选择题，更是分式运算、一元二次方程等大题的基础步骤，考不好它，整张卷子都会受影响！】
- 必背概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式。记住阿星的秘诀：“一提二看三检查”！看到像\(ma+mb+mc\)这样的多项式，第一步永远是提公因式\(m\)！提完之后再看能不能用公式（平方差、完全平方）。顺序搞反，神仙也做不出来！
- 阿星顺口溜：因式分解并不难，口诀牢牢记心间。一“提”公因首步看，二“套”公式是关键。平方差，完全方，十字相乘也常用。三“查”结果分解完，整式乘积才算完。
- 万能公式：
- 平方差公式：$$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $$
- 完全平方公式：$$ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $$
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
陷阱一：分解不彻底（扣1-2分）
- ❌ 常见错解：\(4x^2 - 16 = (2x+4)(2x-4)\)
- ✅ 满分规范：括号内还能继续提公因数2！必须分解到每个因式都不能再分解为止。正确答案：\(4x^2 - 16 = 4(x^2-4) = 4(x+2)(x-2)\)。
陷阱二：提公因式后，“1”被遗忘（扣1分）
- ❌ 常见错解：\(x^2 y + xy = xy(x)\)
- ✅ 满分规范：提走\(xy\)后，第二项剩下的是\(1\)，必须写上！正确答案：\(x^2 y + xy = xy(x + 1)\)。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. \( (x+2)(x-2) = x^2 - 4 \)
B. \( x^2 - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x \)
C. \( x^2 - 4 = (x+2)(x-2) \)
D. \( x^2 + 4 = x(x+\frac{4}{x}) \)
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别考点] 判断“因式分解”的定义：必须是“多项式”→“几个整式的积”。
- 第二步：[快速求解] A是整式乘法；B右边是“和”，不是“积”；D右边\(\frac{4}{x}\)不是整式。只有C符合。
✅ 答案：C
模型 2：综合计算题（计算大题）
题目：因式分解：\(3ax^2 - 6axy + 3ay^2\)
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[一提] 观察各项，有公因式\(3a\)，先提出来：\(3a(x^2 - 2xy + y^2)\)。
- 第二步：[二看] 看括号内\(x^2 - 2xy + y^2\)，符合完全平方公式\(a^2 - 2ab + b^2\)。
- 第三步：[三检查] 检查括号内是否分解彻底，检查首项系数是否为正。
✅ 答案：\(3a(x - y)^2\)
模型 3：创新压轴题（选择/填空压轴）
题目：若\(x^2 - kx + 9\)是一个完全平方式，则常数\(k = \)______。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别模型] “完全平方式”→符合\(a^2 \pm 2ab + b^2\)。
- 第二步：[对应关系] 这里\(x^2\)对应\(a^2\)，\(9=3^2\)对应\(b^2\)，所以中间项应为\(\pm 2 \cdot x \cdot 3 = \pm 6x\)。
- 第三步：[得出结论] 所以\(-kx = \pm 6x\)，即\(k = \mp 6\)。
✅ 答案：\(\pm 6\)
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 因式分解：\(5a - 10ab\)。
- 因式分解：\(x^2 - 25\)。
- 因式分解：\(4m^2 + 4m + 1\)。
- 多项式\(xy^2 - x\)中，各项的公因式是______。
- 判断正误：\(a^2 + b^2 = (a+b)^2\)。 ( )
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 因式分解：\(2x(a-b) - 3y(b-a)\)。（提示：把\(b-a\)变成\(-(a-b)\)）
- 因式分解：\(x^3 - 2x^2 + x\)。（提示：先提公因式，再用公式）
- 因式分解：\(x^2 - 5x + 6\)。（提示：尝试十字相乘法）
- 若\(x+y=5\)，\(xy=6\)，则\(x^2y + xy^2\)的值为______。
- 已知\(4x^2 - mx + 9\)是完全平方式，求\(m\)的值。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 因式分解：\((x^2 + 4)^2 - 16x^2\)。（提示：看作平方差）
- 因式分解：\(x^2 - 4y^2 + 2x - 4y\)。（提示：分组分解法）
- 利用因式分解计算：\(2024^2 - 2023 \times 2025\)。
- 已知\(a, b, c\)是三角形的三边，且满足\(a^2 - b^2 + ac - bc = 0\)，试判断三角形的形状。
- 阅读材料：若\(m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0\)，求\(m, n\)的值。小明是这样做的：
解：∵ \(m^2 - 2mn + n^2 + n^2 - 8n + 16 = 0\)
∴ \((m-n)^2 + (n-4)^2 = 0\)
∴ \(m-n=0\)， \(n-4=0\)， 解得\(n=4, m=4\)。
请你根据小明的思路，解决问题：已知\(x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0\)，求\(x^y\)的值。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：“乘法还原法”！做完因式分解后，把结果乘回去，看看是否等于原式。这是最有效的检查手段，保证你计算不失分。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：“推演法”！比如忘了完全平方公式，就现场写\((a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ab+b^2\)，马上就能推导出来。平方差公式同理，现场推导只需10秒，绝对比你干着急强！
参考答案
第一关： 1. \(5a(1-2b)\) 2. \((x+5)(x-5)\) 3. \((2m+1)^2\) 4. \(x\) 5. 错误
第二关： 1. \((a-b)(2x+3y)\) 2. \(x(x-1)^2\) 3. \((x-2)(x-3)\) 4. \(30\) 5. \(\pm 12\)
第三关： 1. \((x+2)^2(x-2)^2\) 2. \((x-2y)(x+2y+2)\) 3. \(1\)
4. 等腰三角形（推导：\((a-b)(a+b+c)=0\)，故\(a=b\)）
5. \(x^y = 4^2 = 16\)（推导：\((x-y)^2+(y+2)^2=0\)，得\(x=y=-2\)）
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