[考前冲刺：八年级数学幂的运算公式大全及压轴题训练 | 星火网]专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：考点：幂的运算 核心考点速记
【开篇语：本考点是八年级上册代数部分的基石，期末考中必考！通常以选择、填空的形式直接考查，也经常作为综合计算大题的第一步，如果出错，后续全盘皆输，务必做到滚瓜烂熟。】
- 必背概念：幂的运算看似公式多，其实就是“三大天王”。记住阿星的“公式大乱炖”：同底数幂相乘，指数相加；幂的乘方，指数相乘。千万别把运算规则搞混了！比如，a²·a³ 是同底数幂相乘，结果是 a⁵；(a²)³ 是幂的乘方，结果是 a⁶。
- 阿星顺口溜：“同底相乘指数加，幂的乘方指数乘，积的乘方分开乘，公式千万别搞混。”
- 万能公式：
- 同底数幂相乘：\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) (m, n 都是正整数)
- 幂的乘方：\( (a^m)^n = a^{m \times n} \) (m, n 都是正整数)
- 积的乘方：\( (ab)^n = a^n b^n \) (n 是正整数)
- 同底数幂相除：\( a^m \div a^n = a^{m-n} \) (a ≠ 0， m, n 都是正整数，且 m>n)
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 陷阱一：底数不同硬要“同底”算
常见错解：计算 \( x^2 \cdot y^3 = x^{2+3} = x^5 \) 或 \( (x^2)^3 = x^{2+3} = x^5 \)
✅ 满分规范：公式成立的前提是底数相同。\( x^2 \) 和 \( y^3 \) 底数不同，不能直接运用同底数幂法则。幂的乘方运算对象是一个幂，不要和乘法混淆。 - ❌ 陷阱二：幂的乘方与同底数幂相乘傻傻分不清
常见错解：计算 \( a^2 \cdot a^3 \) 时写成了 \( a^{2 \times 3} = a^6 \)；计算 \( (a^2)^3 \) 时写成了 \( a^{2+3} = a^5 \)
✅ 满分规范：解题时先识别运算类型。是“乘法”（中间是乘号·）就用加法法则；是“乘方”（整体有一个指数）就用乘法法则。心里默念阿星的口诀。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：（期末真题·基础）下列计算正确的是（ ）
A. \( a^2 + a^3 = a^5 \) B. \( a^2 \cdot a^3 = a^6 \) C. \( (a^2)^3 = a^5 \) D. \( (ab)^2 = a^2b^2 \)
📌 秒杀技巧：
- 第一步：【排除法】 A项是加法，不是幂的运算，直接排除。
- 第二步：【公式比对】 B项应为 \( a^{2+3}=a^5 \)，错误；C项应为 \( a^{2\times3}=a^6 \)，错误；D项符合积的乘方法则，正确。
✅ 答案： D
模型 2：综合运算题（计算大题第1问）
题目：（期末真题·中档）计算：\( (2x^2y)^3 \cdot (-3xy^2)^2 \div (6x^3y^4) \)
📌 秒杀技巧：
- 第一步：【先定符号，各点突破】 先确定最终符号为负。分别计算系数：\( 2^3 \times (-3)^2 \div 6 = 8 \times 9 \div 6 = 12 \)。
- 第二步：【分别处理x和y】 利用幂的运算法则单独计算x和y的指数。
对于x: \( (x^2)^3 \cdot (x)^2 \div x^3 = x^{6+2-3} = x^5 \)
对于y: \( (y)^3 \cdot (y^2)^2 \div y^4 = y^{3+4-4} = y^3 \) - 第三步：【组合结果】 将系数和字母部分组合：\( -12x^5y^3 \)。
✅ 答案： \( -12x^5y^3 \)
模型 3：逆向思维题（填空/简答压轴）
题目：（期末真题·压轴）已知 \( 10^a = 5 \), \( 10^b = 2 \)，则 \( 10^{2a+b} = \) ______。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：【目标分解】 将要求的指数表达式 \( 10^{2a+b} \) 拆分成已知条件的形式：\( 10^{2a} \cdot 10^{b} \)。
- 第二步：【逆向运用公式】 \( 10^{2a} = (10^a)^2 = 5^2 = 25 \)。而 \( 10^b = 2 \)。
- 第三步：【同底数幂相乘】 \( 10^{2a+b} = 25 \times 2 = 50 \)。
✅ 答案： 50
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 计算：\( b^3 \cdot b^2 = \) ______。
- 计算：\( (m^4)^2 = \) ______。
- 计算：\( (2x)^3 = \) ______。
- 计算：\( a^{10} \div a^6 = \) ______。(a ≠ 0)
- 判断正误：\( x^3 + x^3 = x^6 \)。（ ）
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 计算：\( (-a^2)^3 + a \cdot a^5 \)。
- 计算：\( (2a^2b)^3 \div 4a^3b^2 \)。
- 若 \( a^m = 3 \)， \( a^n = 4 \)，则 \( a^{m+n} = \) ______。
- 已知 \( 2^x = 3 \)， \( 2^y = 5 \)， 求 \( 2^{2x+y} \) 的值。
- 比较大小：\( 3^{55} \) ______ \( 4^{44} \) （填 >, < 或 =）。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 计算：\( 0.25^{2024} \times 4^{2025} \)。
- 已知 \( x + y - 3 = 0 \)， 求 \( 2^x \cdot 2^y \div 8 \) 的值。
- 若 \( 9 \times 27^m \div 3^{2m} = 81 \)， 求 m 的值。
- 已知 \( (a^2 \cdot a^m)^3 = a^{18} \)， 求 m 的值。
- 我们规定一种新运算：\( a \star b = 10^a \times 10^b \)。例如 \( 2 \star 3 = 10^2 \times 10^3 = 10^5 \)。
请根据此运算规则计算：\( (1 \star 2) \star 3 \) 的结果（用幂的形式表示）。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：分三步检查：1.看底数：确认运算的底数是否相同（符合法则前提）。2.看符号：特别是负号和分数的乘方，一个都不能错。3.代特值：如果时间允许，用简单的数字（如a=2，b=1）代入原式和你的结果验算，快速判断。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：别慌！回忆阿星的“公式大乱炖”例子：\( a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5 \)，同底相乘指数相加；\( (a^2)^3 = a^{2\times3}=a^6 \)，幂的乘方指数相乘。把字母换成具体数字（如2，3）推演一遍，公式自然就浮现了。
参考答案
第一关： 1. \( b^5 \) 2. \( m^8 \) 3. \( 8x^3 \) 4. \( a^4 \) 5. 错 (应为 \( 2x^3 \))
第二关： 1. \( -a^6 + a^6 = 0 \) 2. \( 2a^3b \) 3. 12 4. \( 2^{2x+y} = (2^x)^2 \cdot 2^y = 3^2 \times 5 = 45 \) 5. \( 3^{55} = (3^5)^{11} = 243^{11} \), \( 4^{44} = (4^4)^{11} = 256^{11} \)， 所以 \( 3^{55} < 4^{44} \)。
第三关： 1. \( (0.25 \times 4)^{2024} \times 4 = 1^{2024} \times 4 = 4 \) 2. \( 2^x \cdot 2^y \div 8 = 2^{x+y} \div 2^3 = 2^{x+y-3} \)， 由已知 \( x+y=3 \)， 所以原式 \( = 2^0 = 1 \)。 3. 方程化为 \( 3^2 \times (3^3)^m \div 3^{2m} = 3^4 \)， 即 \( 3^{2+3m-2m} = 3^4 \)， 所以 \( 2+m=4 \), \( m=2 \)。 4. 左边 \( = a^{6+3m} = a^{18} \)， 所以 \( 6+3m=18 \), \( m=4 \)。 5. \( 1 \star 2 = 10^{1+2} = 10^3 \)， 再求 \( 10^3 \star 3 = 10^{3+3} = 10^6 \)。
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