扶梯顺行问题解题技巧详解：速度叠加公式与经典例题解析 | PDF下载

💡 阿星精讲：扶梯问题：顺行 原理

• 核心概念：想象一下，你在一个向上的扶梯上，自己也吭哧吭哧往上走。这就像你和电梯组成了“赛跑兄弟连”！你靠自己双腿走过的台阶数，加上电梯这个“好兄弟”默默送你上去的台阶数，加在一起，就是你眼前看到的整个扶梯露出来的总台阶数（也就是楼层总级数）。记住阿星公式：人走的级数 + 电梯帮走的级数 = 楼层总级数。这里的“帮走”，就是电梯自己运行带你通过的级数。
• 计算秘籍：
  1. 设未知数：设扶梯静止时，露出的总级数为 \( N \) 级。人的行走速度为 \( V_{\text{人}} \)（级/秒），扶梯的运行速度为 \( V_{\text{梯}} \)（级/秒）。
  2. 理解顺行：人和扶梯运动方向相同，都是向上。所以，人相对于地面的实际速度是 \( V_{\text{人}} + V_{\text{梯}} \)。
  3. 应用公式：根据“路程 = 速度 × 时间”，人走完扶梯所用时间 \( t \) 内：
     • 人走的级数： \( V_{\text{人}} \times t \)
     • 电梯帮走的级数： \( V_{\text{梯}} \times t \)
     • 阿星公式生效： \( (V_{\text{人}} \times t) + (V_{\text{梯}} \times t) = N \)

     也可以写成：\( (V_{\text{人}} + V_{\text{梯}}) \times t = N \)。

  4. 关键步骤：题目通常会给出两种情境（如人走上去的时间，或某种速度关系），列出两个这样的方程，联立求解 \( N \)。
• 阿星口诀：顺着扶梯向上冲，人走梯送合力同。级数相加等总数，速度乘时间理通。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：混淆“顺行”与“逆行”。在顺行问题中，把人的速度与电梯速度相减。 → ✅ 正解：顺行是同向，速度相加；逆行是反向，速度相减。务必先判断方向。
• ❌ 错误2：误将“人走的级数”直接当成题目给出的“行走步数”或时间，而忽略了电梯同时也在运动。 → ✅ 正解：始终从“合力”角度思考。人实际通过的级数是人和电梯共同作用的结果，必须用相对地面的合速度 \( V_{\text{人}} + V_{\text{梯}} \) 来计算。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 小明沿上行扶梯走，需要 \( 40 \) 秒；如果站着不动乘扶梯，需要 \( 60 \) 秒。问扶梯不动，小明走上去需几秒？
2. 自动扶梯匀速上行，小红从下往上走，走了 \( 40 \) 级到达顶部。小强速度是小红的2倍，他走了 \( 60 \) 级到达顶部。问扶梯静止时可见多少级？
3. 上行扶梯，人走上去用时 \( 15 \) 秒；人跑步上去用时 \( 10 \) 秒。人跑步速度是行走速度的几倍？
4. 扶梯可见部分有 \( 100 \) 级。人以每秒 \( 1 \) 级速度上行，需 \( 50 \) 秒。求扶梯自身速度。
5. 人沿上行扶梯走，\( 20 \) 秒走完；若扶梯停运，人走上去需 \( 30 \) 秒。求人走的速度与扶梯速度之比。
6. 两个速度相同的人，一个在上行扶梯上走，一个在静止扶梯上走，前者比后者少用 \( 10 \) 秒。已知扶梯速度为人速的 \( \frac{1}{2} \)，求静止时走完扶梯的时间。
7. 扶梯上行，甲用 \( 1 \) 分钟走完，乙用 \( 1.5 \) 分钟走完。已知甲速比乙速每秒快 \( 0.5 \) 级，求扶梯总级数。
8. 从扶梯底部到顶部，人自己走需 \( 100 \) 秒，扶梯自己运行送人需 \( 200 \) 秒。人乘上行扶梯走上去需几秒？
9. 已知人沿上行扶梯走的速度是扶梯自身速度的 \( 3 \) 倍，人走上去共用时 \( 24 \) 秒。求扶梯总级数（用扶梯速度表示）。
10. 人在上行扶梯上走了 \( 30 \) 级时，扶梯也帮他上了 \( 15 \) 级。问扶梯静止时总共有多少级？

第二关：奥数挑战（10道）

1. （杯赛真题）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 \( 20 \) 级，女孩每分钟走 \( 15 \) 级。结果男孩用了 \( 5 \) 分钟到达楼上，女孩用了 \( 6 \) 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
2. （杯赛真题）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走。结果女孩走了 \( 40 \) 级到达楼上，男孩走了 \( 80 \) 级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 \( 2 \) 倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少？
3. 在向上运行的扶梯上，甲每秒向上走 \( 1 \) 级，乙每秒向上走 \( 2 \) 级。甲走完全部梯级的时间是乙的 \( 2 \) 倍。求扶梯自己的速度。
4. 上行扶梯，人如果每秒走 \( 1 \) 级，\( 10 \) 秒到达；如果每秒走 \( 2 \) 级，\( 5 \) 秒到达。问人如果以某个速度走，正好在扶梯中点到达顶端，这个速度是多少？
5. 两部并行、速度相同的上行扶梯。某人从左扶梯上行，同时另一人从右扶梯上行。左扶梯上的人走了 \( 80 \) 级到达，右扶梯上的人走了 \( 60 \) 级到达。如果左扶梯上的人速度是右扶梯上人的 \( 1.5 \) 倍，求静止时一部扶梯的级数。
6. 扶梯上行，某人从底端走到顶端，数的自己走的梯级数比扶梯总级数少 \( 12 \) 级。如果他速度加倍，则数的自己走的梯级数比总级数少 \( 6 \) 级。求扶梯总级数。
7. （顺逆结合）已知某扶梯，人顺行上去比逆行上去少用 \( 20 \) 秒。人速是扶梯速度的 \( 2 \) 倍。求人站着不动乘扶梯上去需要的时间。
8. 扶梯均匀上行，甲、乙两人都从底部向上走。甲走到底部时，乙还有 \( 10 \) 级才走完；乙走到底部时，甲已走过顶部 \( 20 \) 级。已知甲速是乙速的 \( 3 \) 倍，求扶梯总级数。
9. 在向上扶梯上，向下走（逆行）是向上走（顺行）速度的 \( \frac{1}{3} \)，且逆行比顺行多花一倍时间。求人速与梯速之比。
10. （多解讨论）扶梯上行，人以速度 \( v \) 行走。若扶梯速度加快一倍，则人走上去的时间减少 \( \frac{1}{3} \)。求原扶梯速度与人速的比值。此情况是否唯一？

第三关：生活应用（5道）

1. （AI路径规划）物流仓库的智能传送带（类似扶梯）以 \( 0.8 \) 米/秒运行。一个搬运机器人为了快速到达装货点，以 \( 1.2 \) 米/秒的速度在传送带上同向奔跑。若装货点距离起点 \( 60 \) 米，问机器人需跑多少秒？它在奔跑过程中，自己实际“跑”了多少米？传送带“送”了它多少米？
2. （航天对接）空间站的一个舱段正以恒定速度远离核心舱。一名宇航员需要从核心舱通过连接通道（类似静止扶梯）前往该舱段。如果他以正常速度行走，将无法到达。于是他决定在通道内奔跑（速度提升）。已知通道长 \( 30 \) 米，舱段远离速度 \( 0.5 \) 米/秒，宇航员行走速度 \( 1 \) 米/秒。问他需要以至少多少米/秒的速度奔跑，才能成功进入该舱段？（忽略加速过程）
3. （网购节物流）快递分拣中心的包裹被放在一条快速运行的传送带（上行扶梯）起点。一名分拣员需要在包裹到达终点前将其取下。若传送带长 \( 120 \) 米，速度 \( 2 \) 米/秒，分拣员从起点开始沿传送带同向奔跑去追包裹，他至少需要以多大的速度奔跑，才能在包裹到达终点前追上？如果他的速度是 \( 3 \) 米/秒，他需要跑多少米才能追上包裹？
4. （节能电梯）现代商场有一种“动能回收”扶梯，当无人乘坐时运行较慢以节能，有人踏上时会加速。当扶梯以“节能速度” \( V_1 \) 运行时，小明走上去需 \( t_1 \) 秒；当扶梯以“载客速度” \( V_2 \) 运行时 (\( V_2 > V_1 \))，小明以同样速度走上去需 \( t_2 \) 秒。已知小明自己的速度是 \( V_p \)，请用这些字母表示扶梯静止时的长度 \( L \)。
5. （社交网络热度）假设一条网络热点信息的总关注度（类似总级数）是固定的。平台算法的推荐流量（类似扶梯速度）恒定。一个博主发布相关内容（类似人在扶梯上走），他自身的创作热度（人速）越高，总关注度积累到顶点的速度就越快。如果算法推荐每分钟带来 \( 100 \) 点热度，博主自身每分钟能产生 \( 200 \) 点热度，那么达到 \( 3000 \) 点总热度需要多久？如果另一个博主自身每分钟只能产生 \( 100 \) 点热度，他需要多久？这解释了为什么“内容质量”和“平台推荐”同样重要。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. 设总级数 \( N \)，梯速 \( V_t \)，人速 \( V_r \)。方程：\( (V_r + V_t) \times 40 = N \)， \( V_t \times 60 = N \)。解得 \( V_r = \frac{N}{120} \)。扶梯不动时，时间 \( t = \frac{N}{V_r} = 120 \) 秒。
2. 设小红走 \( 40 \) 级用时 \( t_1 \)，此时电梯帮走 \( V_t t_1 \) 级，总数 \( N = 40 + V_t t_1 \)。小强走 \( 60 \) 级用时 \( t_2 \)， \( N = 60 + V_t t_2 \)。两人速度比 \( 1:2 \)，路程比 \( 40:60 = 2:3 \)，所以时间比 \( \frac{2}{1} : \frac{3}{2} = 4:3 \)，即 \( t_1 : t_2 = 4:3 \)。设 \( t_1 = 4k, t_2 = 3k \)。代入方程：\( 40 + 4k V_t = 60 + 3k V_t \) => \( k V_t = 20 \)。所以 \( N = 40 + 4 \times 20 = 120 \) 级。
3. 设总级数 \( N \)，梯速 \( V_t \)，步行速 \( V_w \)，跑步速 \( kV_w \)。方程：\( (V_w + V_t) \times 15 = N \)， \( (kV_w + V_t) \times 10 = N \)。两式相等：\( 15V_w + 15V_t = 10k V_w + 10V_t \) => \( 5V_t = (10k - 15) V_w \)。一个方程两个未知数，求倍数 \( k \) 需要消去 \( V_t/V_w \)。通常假设 \( N \) 固定，联立更简单：由第一式 \( N/15 = V_w+V_t \)，第二式 \( N/10 = kV_w+V_t \)。两式相减：\( N/10 - N/15 = (k-1)V_w \) => \( N/30 = (k-1)V_w \)。由第一式 \( V_w = N/15 - V_t \)，无法直接消去。经典解法是求比例：两式相减：\( 15V_w+15V_t = 10kV_w+10V_t \) -> \( 5V_t = (10k-15)V_w \) -> \( V_t/V_w = 2k-3 \)。因 \( V_t > 0 \)，故 \( k > 1.5 \)。但无具体值。原题可能默认跑步时电梯帮的时间少，人走的级数多，但级数未知。若补充条件“人走的级数在两种情况下已知”，则可解。此处假设经典条件“总级数同，时间已知”，则跑步速度是行走速度的 \( 1.5 \) 倍时，方程成立（令 \( V_t/V_w = 0 \) 可得 \( k=1.5 \)）。故答案可能是 \( 1.5 \) 倍。
4. \( (1 + V_t) \times 50 = 100 \)，解得 \( 1 + V_t = 2 \)， \( V_t = 1 \) 级/秒。
5. 设总级数 \( N \)。由阿星公式：\( (V_r + V_t) \times 20 = N \)， \( V_r \times 30 = N \)。所以 \( (V_r + V_t) \times 20 = V_r \times 30 \) => \( 20V_r + 20V_t = 30V_r \) => \( 20V_t = 10V_r \) => \( V_r : V_t = 2:1 \)。
6. 设人速为 \( V \)，梯速为 \( V/2 \)，静止时总级数 \( N \)，静止时走完时间 \( T = N/V \)。顺行时，时间 \( T_s = \frac{N}{V + V/2} = \frac{N}{1.5V} = \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} = \frac{2}{3}T \)。已知 \( T - T_s = 10 \)，即 \( T - \frac{2}{3}T = 10 \) => \( \frac{1}{3}T = 10 \) => \( T = 30 \) 秒。
7. 设总级数 \( N \)，梯速 \( V_t \)。甲速 \( V_甲 \)，乙速 \( V_乙 \)，且 \( V_甲 - V_乙 = 0.5 \) (级/秒)。时间：\( (V_甲 + V_t) \times 60 = N \)， \( (V_乙 + V_t) \times 90 = N \)。两式相减：\( 60V_甲 + 60V_t - 90V_乙 - 90V_t = 0 \) => \( 60V_甲 - 90V_乙 - 30V_t = 0 \)。代入 \( V_甲 = V_乙 + 0.5 \)：\( 60(V_乙+0.5) - 90V_乙 - 30V_t = 0 \) => \( 60V_乙+30 -90V_乙 -30V_t=0 \) => \( -30V_乙 +30 -30V_t=0 \) => \( V_乙 + V_t = 1 \)。代入乙的方程：\( N = (V_乙 + V_t) \times 90 = 1 \times 90 = 90 \) 级。
8. 设总级数 \( N \)，人速 \( V_r = N/100 \)，梯速 \( V_t = N/200 \)。顺行上去时间：\( t = \frac{N}{V_r + V_t} = \frac{N}{\frac{N}{100} + \frac{N}{200}} = \frac{N}{\frac{3N}{200}} = \frac{200}{3} \approx 66.7 \) 秒。
9. 设梯速为 \( V \)，则人速为 \( 3V \)。顺行合力为 \( 3V + V = 4V \)。时间 \( t=24 \) 秒，总级数 \( N = 4V \times 24 = 96V \)。（即 \( N \) 是梯速的 \( 96 \) 倍）
10. 根据阿星公式，此时人走的 \( 30 \) 级 + 电梯帮走的 \( 15 \) 级 = 总级数 \( N \)。所以 \( N = 30 + 15 = 45 \) 级。这是一种特殊情况，此时人走的级数和电梯帮的级数之比等于他们的速度比。

第二关 & 第三关解析（因篇幅所限，提供关键思路与答案）：

12. （奥数1） 经典题。设梯速 \( V_t \) 级/分。男孩：\( (20+V_t) \times 5 = N \)，女孩：\( (15+V_t) \times 6 = N \)。解得 \( V_t = 10 \)， \( N = 150 \) 级。
13. （奥数2） 经典牛吃草变种。设女孩速度 \( V \)，则男孩速度 \( 2V \)，梯速 \( V_t \)。女孩顺行：实际速度 \( V+V_t \)，走 \( 40 \) 级用时 \( t_1 = \frac{40}{V} \)（注意她走完自己走的 \( 40 \) 级的时间）。总级数 \( N = (V+V_t)t_1 = (V+V_t)\frac{40}{V} \)。男孩逆行：实际速度 \( 2V - V_t \)，走 \( 80 \) 级用时 \( t_2 = \frac{80}{2V} = \frac{40}{V} \)。总级数 \( N = (2V - V_t)t_2 = (2V - V_t)\frac{40}{V} \)。联立：\( (V+V_t)\frac{40}{V} = (2V - V_t)\frac{40}{V} \) => \( V+V_t = 2V - V_t \) => \( 2V_t = V \) => \( V_t = 0.5V \)。代入得 \( N = (V+0.5V)\frac{40}{V} = 1.5 \times 40 = 60 \) 级。
14. 设梯速 \( V_t \)，总级数 \( N \)。甲：\( (1+V_t) \times T = N \)，乙：\( (2+V_t) \times (T/2) = N \)（因为甲时间是乙的2倍）。联立：\( (1+V_t)T = (2+V_t)(T/2) \) => 两边除以 \( T \)（\( T>0 \)）：\( 1+V_t = 1 + V_t/2 \) => \( V_t = 0 \)。即扶梯静止。此时 \( N = 1 \times T = 2 \times (T/2) \) 恒成立。所以只要扶梯静止，任何 \( N \) 都满足？检查条件：甲速1级/秒，乙速2级/秒，甲时是乙时的2倍。若梯速为0，则甲时 \( N/1 \)，乙时 \( N/2 \)，恰好2倍关系。所以 \( V_t = 0 \)， \( N \) 为任意正数。但通常题目有唯一解，可能遗漏条件“甲走完时，电梯也刚好送他走完”，即时间固定？原题若给出具体时间或级数差则可解。此处答案：扶梯自己的速度为 \( 0 \)。
15. 设总级数 \( N \)，梯速 \( V_t \)。方程：\( (1+V_t) \times 10 = N \)， \( (2+V_t) \times 5 = N \)。解得 \( V_t = 0 \)， \( N = 10 \)。要求走到中点（\( 5 \) 级）时到达顶端，这意味着人走的路程就是 \( 5 \) 级（因为电梯没帮忙？）。设所求速度为 \( v \)，则 \( (v+0) \times t = 10 \) 且 \( v \times t = 5 \)。由第二式 \( t = 5/v \)，代入第一式 \( v \times (5/v) = 5 = 10 \) 矛盾。说明若 \( V_t=0 \)，人走的路程就是总级数，不可能只走一半就到达。因此原题可能假设有误，或“中点”指时间中点？若指时间中点，则当人走的速度使得他走到顶端时，电梯恰好也运行到总路程的一半，这需要 \( V_t > 0 \)。由 \( (1+V_t)\*10 = (2+V_t)\*5 \) 解得 \( V_t=0 \) 后，此情况不成立。故本题可能存在特殊理解或条件。
16. 设一部扶梯静止级数 \( N \)，梯速 \( V_t \)，右扶梯人速 \( V \)，则左扶梯人速 \( 1.5V \)。左：\( (1.5V + V_t) \times t_1 = N \)，且人走 \( 80 = 1.5V t_1 \)。右：\( (V + V_t) \times t_2 = N \)，且人走 \( 60 = V t_2 \)。由人走级数得 \( t_1 = 80/(1.5V) \)， \( t_2 = 60/V \)。代入方程：左：\( N = (1.5V+V_t) \cdot \frac{80}{1.5V} = 80 + \frac{80V_t}{1.5V} \)。右：\( N = (V+V_t) \cdot \frac{60}{V} = 60 + \frac{60V_t}{V} \)。联立：\( 80 + \frac{160}{3} \cdot \frac{V_t}{V} = 60 + 60 \cdot \frac{V_t}{V} \) => \( 20 = (60 - \frac{160}{3})\frac{V_t}{V} = (\frac{20}{3})\frac{V_t}{V} \) => \( \frac{V_t}{V} = 3 \)。代入得 \( N = 60 + 60 \times 3 = 240 \) 级。
17. 设总级数 \( N \)，梯速 \( V_t \)，人第一次速度 \( V \)，第二次速度 \( 2V \)。第一次：人走级数 \( S_1 = V t_1 \)，且 \( S_1 = N - 12 \)。阿星公式：\( (V+V_t)t_1 = N \)。第二次：人走级数 \( S_2 = 2V t_2 \)，且 \( S_2 = N - 6 \)。阿星公式：\( (2V+V_t)t_2 = N \)。由 \( S_1 = V t_1 = N-12 \) 得 \( t_1 = (N-12)/V \)，代入第一个阿星公式：\( (V+V_t) \cdot \frac{N-12}{V} = N \) -> (1)。由 \( S_2 = 2V t_2 = N-6 \) 得 \( t_2 = (N-6)/(2V) \)，代入第二个阿星公式：\( (2V+V_t) \cdot \frac{N-6}{2V} = N \) -> (2)。(1)式化简：\( (1+\frac{V_t}{V})(N-12) = N \) -> (1')。(2)式化简：\( (2+\frac{V_t}{V})(N-6) = 2N \) -> (2')。设 \( k = V_t / V \)。则 (1')：\( (1+k)(N-12) = N \) -> \( N + kN -12 -12k = N \) -> \( kN = 12 + 12k \) -> \( N = \frac{12+12k}{k} = 12 + \frac{12}{k} \) -> (A)。(2')：\( (2+k)(N-6) = 2N \) -> \( 2N+ kN -12 -6k = 2N \) -> \( kN = 12 + 6k \) -> \( N = \frac{12+6k}{k} = 6 + \frac{12}{k} \) -> (B)。联立(A)(B)：\( 12 + \frac{12}{k} = 6 + \frac{12}{k} \) => \( 12 = 6 \) 矛盾。说明假设有误？可能“数的自己走的级数”是指在电梯上自己迈步的级数，而“比总级数少”是指自己走的级数比总级数少。那第一次：\( V t_1 = N - 12 \)，且 \( (V+V_t)t_1 = N \)，两式相除得 \( \frac{V}{V+V_t} = \frac{N-12}{N} \)。第二次：\( 2V t_2 = N - 6 \)，且 \( (2V+V_t)t_2 = N \)，相除得 \( \frac{2V}{2V+V_t} = \frac{N-6}{N} \)。设 \( x = V_t / V \)。则第一式：\( \frac{1}{1+x} = 1 - \frac{12}{N} \) -> \( 1 - \frac{12}{N} = \frac{1}{1+x} \) -> (1)。第二式：\( \frac{2}{2+x} = 1 - \frac{6}{N} \) -> \( 1 - \frac{6}{N} = \frac{2}{2+x} \) -> (2)。由(1)得 \( \frac{12}{N} = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} \) -> \( N = \frac{12(1+x)}{x} \)。由(2)得 \( \frac{6}{N} = 1 - \frac{2}{2+x} = \frac{x}{2+x} \) -> \( N = \frac{6(2+x)}{x} \)。联立：\( \frac{12(1+x)}{x} = \frac{6(2+x)}{x} \) => \( 12(1+x) = 6(2+x) \) => \( 12+12x=12+6x \) => \( 6x=0 \) => \( x=0 \)。代入得 \( N \) 无解（除零）或无穷。说明题目条件可能为“数的级数”是看到的级数？常见题型是“数的级数是自己走的级数”。若按此，第一次：人走 \( N-12 \) 级，电梯帮走 \( 12 \) 级，速度比 \( V : V_t = (N-12) : 12 \)。第二次：人走 \( N-6 \) 级，电梯帮走 \( 6 \) 级，速度比 \( 2V : V_t = (N-6) : 6 \)。所以 \( \frac{V}{V_t} = \frac{N-12}{12} \)， \( \frac{2V}{V_t} = \frac{N-6}{6} \)。两式相除：\( \frac{1}{2} = \frac{(N-12)/12}{(N-6)/6} = \frac{N-12}{12} \times \frac{6}{N-6} = \frac{N-12}{2(N-6)} \)。所以 \( 1 = \frac{N-12}{N-6} \) => \( N-6 = N-12 \) => \( -6=-12 \) 矛盾。故原题数据可能记忆有误。典型数据可能是少10级和少2级等。假设少a级和少b级，则有关系 \( \frac{N-a}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{N-b}{b} \)。若 a=12, b=6，则左边 \( (N-12)/12 \)，右边 \( (1/2)*((N-6)/6) = (N-6)/12 \)，得 N-12 = N-6，矛盾。若 a=10, b=6，则 (N-10)/10 = (N-6)/(12) -> 12N-120=10N-60 -> 2N=60 -> N=30。可解。因此本题可能数据错误，正确数据下方法如上。
18. 设扶梯总级数 \( N \)，人速 \( V_r = 2V_t \)（人速是梯速2倍）。顺行时间 \( t_1 = \frac{N}{V_r + V_t} = \frac{N}{3V_t} \)。逆行时间 \( t_2 = \frac{N}{V_r - V_t} = \frac{N}{V_t} \)。已知 \( t_2 - t_1 = 20 \) 秒，即 \( \frac{N}{V_t} - \frac{N}{3V_t} = 20 \) -> \( \frac{2N}{3V_t} = 20 \) -> \( \frac{N}{V_t} = 30 \)。站着不动的时间 \( t_3 = \frac{N}{V_t} = 30 \) 秒。
19. 设乙速为 \( V \)，则甲速为 \( 3V \)，梯速为 \( U \)。设扶梯总级数 \( N \)。当甲走完时，乙还有10级，说明在甲走完的时间 \( t_甲 \) 内，乙走了 \( N-10 \) 级（包括电梯帮的）。乙的实际速度是 \( V+U \)，所以 \( (V+U) t_甲 = N-10 \)。甲的实际速度是 \( 3V+U \)，所以 \( (3V+U) t_甲 = N \)。两式相除：\( \frac{3V+U}{V+U} = \frac{N}{N-10} \) -> (1)。当乙走完时，甲已走过顶部20级，说明在乙走完的时间 \( t_乙 \) 内，甲走了 \( N+20 \) 级。甲的实际速度是 \( 3V+U \)，所以 \( (3V+U) t_乙 = N+20 \)。乙的实际速度是 \( V+U \)，所以 \( (V+U) t_乙 = N \)。相除：\( \frac{3V+U}{V+U} = \frac{N+20}{N} \) -> (2)。由(1)(2)得 \( \frac{N}{N-10} = \frac{N+20}{N} \) -> \( N^2 = (N-10)(N+20) = N^2 +10N -200 \) -> \( 0 = 10N -200 \) -> \( N=20 \) 级。
20. 设人速 \( V_r \)，梯速 \( V_t \)。顺行时间 \( t_1 = \frac{N}{V_r + V_t} \)，逆行时间 \( t_2 = \frac{N}{V_r - V_t} \)。已知逆行速度是顺行速度的 \( 1/3 \)：即 \( V_r - V_t = \frac{1}{3} (V_r + V_t) \) -> \( 3V_r - 3V_t = V_r + V_t \) -> \( 2V_r = 4V_t \) -> \( V_r : V_t = 2:1 \)。且逆行时间多一倍：\( t_2 = 2t_1 \)。代入速度比验证：\( t_1 = N/(2V_t+V_t)=N/(3V_t) \)， \( t_2 = N/(2V_t-V_t)=N/V_t \)，确实 \( t_2 = 3t_1 \)，不等于 \( 2t_1 \)。所以两个条件可能不能同时满足。若只满足“逆行速度是顺行速度的1/3”，则 \( V_r : V_t = 2:1 \)。若满足“逆行比顺行多花一倍时间”，即 \( t_2 = 2t_1 \)，则 \( \frac{N}{V_r - V_t} = 2 \cdot \frac{N}{V_r + V_t} \) -> \( V_r + V_t = 2(V_r - V_t) \) -> \( V_r + V_t = 2V_r - 2V_t \) -> \( 3V_t = V_r \) -> \( V_r : V_t = 3:1 \)。原题说“且”，可能为“或”。通常单独问。答案可能是 \( 2:1 \) 或 \( 3:1 \)。
21. 设原梯速 \( V_t \)，人速 \( V_r \)，总级数 \( N \)。原来时间 \( t = \frac{N}{V_r + V_t} \)。梯速加快一倍后：\( t' = \frac{N}{V_r + 2V_t} \)。已知 \( t' = t - \frac{1}{3}t = \frac{2}{3}t \)。所以 \( \frac{N}{V_r + 2V_t} = \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V_r + V_t} \) -> \( 3(V_r + V_t) = 2(V_r + 2V_t) \) -> \( 3V_r + 3V_t = 2V_r + 4V_t \) -> \( V_r = V_t \)。所以原扶梯速度与人速的比值为 \( 1:1 \)。此情况唯一。

第三关：

1. 机器人实际速度 \( 1.2 + 0.8 = 2 \) 米/秒。时间 \( t = 60 / 2 = 30 \) 秒。自己跑的路程：\( 1.2 \times 30 = 36 \) 米。传送带送的路程：\( 0.8 \times 30 = 24 \) 米。验证阿星公式：\( 36 + 24 = 60 \) 米。
2. 这相当于“逆行”问题（人要追上远离的舱段）。设需要的最小奔跑速度为 \( V \) 米/秒。成功到达的条件是：人的相对速度（相对于核心舱）足以覆盖通道长度并在舱段离开前完成。更精确地，人在通道内相对于通道壁的速度是 \( V \)，但通道出口（舱段）在以 \( 0.5 \) 米/秒远离。所以人相对于舱段的速度是 \( V - 0.5 \)。要在通道长度 \( 30 \) 米内追上，需满足 \( (V - 0.5) \times t \ge 30 \)，且 \( t \) 是人跑过通道的时间 \( t = 30 / V \)（因为他在通道内跑了30米）。代入：\( (V - 0.5) \times (30 / V) \ge 30 \) -> \( 30 - 15/V \ge 30 \) -> \( -15/V \ge 0 \) -> 不可能。说明如果只跑通道的30米，永远追不上，因为舱段在远离。他必须跑超过30米。设需要跑的总路程为 \( S \)（从核心舱起点算起），此时舱段也移动了 \( 0.5t \)。追上条件：\( S = 30 + 0.5t \)，且 \( t = S / V \)。所以 \( S = 30 + 0.5 \times (S/V) \) -> \( S - 0.5S/V = 30 \) -> \( S(1 - 0.5/V) = 30 \) -> \( S = \frac{30}{1 - 0.5/V} \)。对于行走速度 \( V=1 \) 米/秒， \( S = 30 / (1 - 0.5) = 60 \) 米，但人只能跑通道的30米，所以无法到达。需要最小速度 \( V \) 使得在通道内跑完30米时，刚好追上舱段，即 \( S = 30 \)。代入 \( 30 = 30 + 0.5 \times (30/V) \) -> \( 0 = 15/V \) -> 无解。意味着只要通道长度固定，人跑完通道时，舱段已经离开了一段距离，永远差一点。因此，他需要的最小速度是无穷大（瞬间到达），或需要更长的通道（助跑距离）。实际问题中，宇航员可能需要从更早开始加速（在通道外就有初速度）。所以本题答案：以 \( 1 \) 米/秒行走无法到达。需要奔跑的速度满足在跑完 \( 30 \) 米时，相对舱段的速度能弥补舱段在这段时间内远离的距离 \( 0.5t \)。即满足 \( V \cdot t = 30 + 0.5t \) -> \( V = 30/t + 0.5 \)。由于 \( t = 30/V \)，代入得 \( V = V + 0.5 \) -> 矛盾。因此，只要通道长度固定，任何有限速度都无法在通道终点追上。除非速度无限大。所以本题设计可能意在让学生认识“相对速度”和“追及问题”的结合，发现矛盾。更合理的修改：舱段以小于人行走速度的速度远离，则可以在通道内追上。设需要的最小速度 \( V \)，满足 \( (V - 0.5) \times t = 30 \)，且 \( V \times t \ge 30 \)（跑完通道）。由第一式 \( t = 30/(V-0.5) \)，代入第二式 \( V \times 30/(V-0.5) \ge 30 \) -> \( V/(V-0.5) \ge 1 \)，恒成立（因为 \( V > 0.5 \)）。所以只要 \( V > 0.5 \)，就能在跑完大于30米后追上。但要在通道内（刚好30米）追上，需 \( V \times t = 30 \)，结合 \( (V-0.5)t=30 \)，解得 \( V=0.5 \) 矛盾。因此，永远无法“刚好在通道终点”追上，总需要多跑一点。所以本题答案可能是：需要速度大于 \( 0.5 \) 米/秒，且跑的距离超过 \( 30 \) 米。但题目问“至少多少速度奔跑”，如果通道无限长，则最小速度为 \( 0.5 \) 米/秒（等于舱段速度）即可无限接近但追不上；要实际追上，速度必须大于 \( 0.5 \) 米/秒，但没有上限。通常此类题会给出一个确解，可能原意是“人跑出通道时刚好接触舱段”，那就需要通道足够长或舱段速度为零。这里数据可能需调整。假设舱段速度 \( 0.5 \) 米/秒，人跑速度 \( V \)，通道长 \( L=30 \)。当人跑出通道时，舱段移动了 \( 0.5t \)，此时人相对于起点的位置是 \( L \)，舱段位置是 \( L + 0.5t \)。要追上，需 \( Vt = L + 0.5t \) -> \( t = L/(V-0.5) \)。人跑出通道时 \( Vt \ge L \)，代入得 \( V \cdot L/(V-0.5) \ge L \) -> \( V/(V-0.5) \ge 1 \) 恒成立。所以任何 \( V>0.5 \) 都可以，只是追上的地点在通道外。所以“成功进入该舱段”意味着在跑出通道瞬间接触，则需 \( Vt = L \) 且 \( Vt = L + 0.5t \)，联立得 \( L = L + 0.5t \) -> \( t=0 \)， \( V \) 无穷大。因此，本题可能期望学生得出“无法在通道内追上”的结论，或修改数据使 \( V \) 有解。例如，若舱段速度 \( 0.4 \) 米/秒，则 \( Vt=30 \)， \( (V-0.4)t=30 \) 解得 \( V=2 \) 米/秒。原题数据 \( 0.5 \) 和 \( 1 \) 可能用于比较。
3. 包裹与分拣员同起点。包裹静止在传送带上，相对于地面速度就是 \( 2 \) 米/秒。分拣员实际速度 \( v + 2 \)（顺行）。追及问题：路程差为 \( 0 \)（同起点），速度差为 \( (v+2) - 2 = v \)。追及时间 \( t = \frac{120}{v} \)（因为需要追上的距离是传送带长度120米，但这是相对于地面的距离）。在时间 \( t \) 内，包裹移动 \( 2t \)，分拣员移动 \( (v+2)t \)。追上的条件：\( (v+2)t = 120 + 2t \)？不对，因为同起点，分拣员需要比包裹多跑120米？实际上，包裹在终点静止（相对于地面），分拣员要从起点跑到终点。更清晰：设分拣员追上包裹的时间为 \( t \)，此时包裹位置距起点 \( 2t \)。分拣员位置距起点 \( (v+2)t \)。追上条件：\( (v+2)t = 2t \)？这要求 v=0。显然不对。因为包裹在传送带上，终点是固定的地面位置（120米处）。分拣员要赶在包裹到达120米处之前追上它。包裹到达终点的时间 \( T_c = 120 / 2 = 60 \) 秒。分拣员要在 \( t \le 60 \) 秒内，跑到包裹所在的位置。设 t 秒时，包裹位置 \( x_c = 2t \)，分拣员位置 \( x_w = (v+2)t \)。追上条件 \( x_w = x_c \)，即 \( (v+2)t = 2t \) -> \( v=0 \)。这显然不对。说明“追上”不是指位置相同，而是指分拣员“抓住”包裹，此时包裹还在传送带上。他们相对于传送带的位置？我们考虑相对运动：以传送带为参照物，包裹是静止的（在起点）。分拣员相对于传送带的速度就是他自己的奔跑速度 \( v \)。他要跑完传送带的长度 \( 120 \) 米才能到达包裹的位置（因为包裹在传送带终点）。所以所需时间 \( t = 120 / v \)。这个时间必须小于包裹被送到地面终点的时间（即传送带运行时间 \( 60 \) 秒）。所以条件：\( 120 / v < 60 \) -> \( v > 2 \) 米/秒。如果他的速度是 \( 3 \) 米/秒，那么相对于传送带，他需要跑 \( 120 \) 米，时间 \( t = 120 / 3 = 40 \) 秒。在这 \( 40 \) 秒内，传送带相对于地面移动了 \( 2 \times 40 = 80 \) 米。所以分拣员相对于地面跑的路程是：他自己跑的路程（相对于传送带）\( 120 \) 米 + 传送带送他的 \( 80 \) 米 = \( 200 \) 米？不对，他自己的速度 \( 3 \) 米/秒，时间 \( 40 \) 秒，相对于地面的路程是 \( (3+2) \times 40 = 5 \times 40 = 200 \) 米。而包裹相对于地面的路程是 \( 2 \times 40 = 80 \) 米。此时包裹还没到终点（120米）。分拣员在距离起点 \( 200 \) 米处抓住了包裹，这已经远远超过了传送带终点（120米）。这意味着他实际上是在传送带之外的区域追上的？这不合逻辑，因为传送带只有120米长。所以模型错误。正确模型：包裹在传送带起点，与分拣员同时出发。包裹以 \( 2 \) 米/秒向终点运动。分拣员以相对地面 \( v+2 \) 米/秒向终点运动。终点在120米处。追上的条件是分拣员在包裹到达终点前，与包裹在同一位置。设追上时间 \( t \)，位置 \( x \)。有 \( x = 2t \)（包裹）， \( x = (v+2)t \)（分拣员）。同样得到 \( v=0 \)。这说明如果同向且分拣员速度更快，他们永远不会在途中相遇，因为分拣员出发时已经和包裹在一起（同起点），之后分拣员速度更快，会立刻超过包裹，不存在“追上”的问题。他们始终在一起出发。所以题目可能意思是：分拣员从起点开始跑，要赶在包裹被传送到终点并掉下去之前，跑到终点接住它。这就是简单的比较时间：包裹到终点时间 \( 60 \) 秒。分拣员到终点时间 \( 120 / (v+2) \) 秒。需要 \( 120/(v+2) < 60 \) -> \( v+2 > 2 \) -> \( v > 0 \)。所以任何正速度都可以？因为 \( v+2 > 2 \)，所以分拣员总是比包裹先到终点？不对，分拣员速度是 \( v+2 \)，包裹速度是 \( 2 \)，只要 \( v>0 \)，分拣员速度就大于包裹速度，所以分拣员一定比包裹先到终点。那他就能在终点等包裹了。所以不存在“追上”，而是“先到并等待”。因此，第一问：他至少需要以 \( v > 0 \) 的速度奔跑即可，但通常认为他需要跑起来，所以 \( v > 0 \)。第二问：如果 \( v=3 \) 米/秒，他到终点的时间 \( t = 120 / (3+2) = 120/5 = 24 \) 秒。此时包裹才走到 \( 2*24=48 \) 米处。他需要等。他跑的路程（相对于地面）就是 \( 120 \) 米。所以答案可能很简单。可能题目设计有歧义。更经典的表述是：分拣员在包裹出发后一段时间才开始追，或者反向追及。这里按照“先到终点”理解：最小速度 \( v > 0 \)。当 \( v=3 \) 米/秒时，他到终点需 \( 24 \) 秒，跑的地面路程为 \( 120 \) 米。
4. 设扶梯静止长度 \( L \)。节能时：\( (V_p + V_1) \times t_1 = L \)。载客时：\( (V_p + V_2) \times t_2 = L \)。所以 \( L = (V_p + V_1)t_1 = (V_p + V_2)t_2 \)。
5. 算法推荐速度 \( V_t = 100 \) 点/分。博主A人速 \( V_{rA} = 200 \) 点/分。合力 \( = 300 \) 点/分。达到 \( 3000 \) 点时间 \( t_A = 3000 / 300 = 10 \) 分钟。博主B人速 \( V_{rB} = 100 \) 点/分。合力 \( = 200 \) 点/分。时间 \( t_B = 3000 / 200 = 15 \) 分钟。直观展示了“内容质量”（人速）的重要性。