扶梯问题解法详解：逆行、顺行应用题3步解题技巧与练习题PDF下载
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：扶梯问题：逆行 原理
- 核心概念：想象一下，你在一部向上运行的扶梯上，突然决定要向下跑回起点，去捡你掉落的钥匙。这时，你就是一个“逆行者”！扶梯像一条懒洋洋向上蠕动的传送带，而你是努力向下奔跑的马拉松选手。你每往下跑一步，脚下的台阶（级）就被扶梯往上“拽”回去一点。最终，你走过的“真实级数”，等于你自己跑的级数，减去扶梯把你往回倒的级数。这就是阿星公式的精髓：你（相对于地面）实际到达目标所走过的级数，就是这两者的差值。如果目标是固定的楼层（比如从楼上到楼下），那么这个净走过的级数，就是可见的扶梯总级数，它是不变的！
- 计算秘籍：
- 设扶梯运行速度为 \(v_e\)（级/秒，向上为正），人在静止扶梯上行走速度为 \(v_p\)（级/秒，向下为正）。
- 当人逆着扶梯运行方向（向下）走时，人相对于地面的速度为 \(v = v_p - v_e\)。因为方向相反，所以是相减。
- 设从一端到另一端花费时间为 \(t\) 秒，则阿星公式为：\((v_p - v_e) \times t = N\)，其中 \(N\) 是扶梯可见部分的总级数，是一个固定值。
- 解题时，通常通过两种不同情境（如人走、扶梯自己运行）列出关于 \(v_p\)， \(v_e\)， \(N\) 的方程，联立求解。
- 阿星口诀：人逆电梯跑，级数相减找，总级不动摇，方程解烦恼。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：认为“人走的级数 + 电梯送的级数 = 总级数”。
✅ 正解：当逆行时，电梯是在帮倒忙，抵消你的努力。所以应该是人走的级数 - 电梯倒退的级数 = 总级数。用速度表示即 \((v_p - v_e) \times t = N\)。 - ❌ 错误2：把“速度（级/秒）”和“总级数”的单位混淆，或在计算时间时出错。
✅ 正解：牢记“级”是长度单位，速度和时间的单位要匹配。公式 \(N = v \times t\) 中，如果 \(v\) 是“级/秒”，\(t\) 必须是“秒”；如果 \(v\) 是“级/分”，\(t\) 必须是“分”。列方程前先统一单位。
🔥 三例题精讲
例题1：向上运行的自动扶梯，逆着扶梯向下走需要 \(30\) 秒到达另一端。如果扶梯停运，人向下走完需要 \(15\) 秒。问扶梯运行时，人站在扶梯上不动，从底端到顶端需要多久？
📌 解析：
- 设扶梯总级数为 \(N\)，人下行速度为 \(v_p\)（级/秒），扶梯上行速度为 \(v_e\)（级/秒）。
- 根据“逆行”情景：人逆着扶梯向下走，用时 \(t_1 = 30\) 秒。阿星公式：\((v_p - v_e) \times 30 = N\)。 ①
- 根据“扶梯停运”情景：人向下走，用时 \(t_2 = 15\) 秒。公式：\(v_p \times 15 = N\)。 ②
- 由②式得 \(v_p = \frac{N}{15}\)。代入①式：\((\frac{N}{15} - v_e) \times 30 = N\)，化简得 \(2N - 30v_e = N\)，所以 \(30v_e = N\)，即 \(v_e = \frac{N}{30}\)。
- 求“人不动，扶梯送”的时间 \(t_3\)：公式为 \(v_e \times t_3 = N\)，代入 \(v_e = \frac{N}{30}\)，得到 \(\frac{N}{30} \times t_3 = N\)，解得 \(t_3 = 30\)（秒）。
✅ 总结：经典的三情景对比题（逆行、纯人、纯梯）。核心是利用总级数 \(N\) 不变，建立两个方程解出速度比，再求第三种情况的时间。
例题2：商场扶梯匀速上行，小明逆着扶梯从顶走到底，走了 \(100\) 级；小红则顺着扶梯从底走到顶，走了 \(50\) 级。已知小明速度（在静止扶梯上）是小红的 \(3\) 倍，扶梯运行时露出的部分有多少级？
📌 解析：
- 设扶梯总级数为 \(N\)，上行速度为 \(v_e\)（级/单位时间）。设小红在静止扶梯上的速度为 \(v\)，则小明速度为 \(3v\)。
- 对小明（逆行）：他相对于地面的速度为 \(3v - v_e\)，走的（净）级数为 \(100 = N\)。所用时间 \(t_1 = \frac{N}{3v - v_e}\)。但注意，他自己脚步迈下的级数是 \(3v \times t_1 = 100\) 吗？不，题目给的“走了 \(100\) 级”通常指相对于地面看到的级数，即净级数，所以 \(N = 100\)？且慢！仔细读题：“走了 \(100\) 级”是他自己数的脚步，还是看到的？这类题通常指他本人走过的级数。我们按此理解。
- 小明逆行：自己走了 \(100\) 级，时间 \(t_1 = \frac{100}{3v}\)。在此期间，扶梯将他向上送回了 \(v_e \times t_1\) 级。阿星公式：他走的级数 - 电梯送回级数 = 总级数，即 \(100 - v_e \times \frac{100}{3v} = N\)。 ①
- 对小红（顺行）：她自己走了 \(50\) 级，时间 \(t_2 = \frac{50}{v}\)。在此期间，扶梯帮她向上送了 \(v_e \times t_2\) 级。顺行公式：她走的级数 + 电梯送她级数 = 总级数，即 \(50 + v_e \times \frac{50}{v} = N\)。 ②
- 联立①式和②式：
\(100 - \frac{100v_e}{3v} = N\)
\(50 + \frac{50v_e}{v} = N\) - 两式相等：\(100 - \frac{100v_e}{3v} = 50 + \frac{50v_e}{v}\)。两边乘以 \(3v\)：\(300v - 100v_e = 150v + 150v_e\) => \(150v = 250v_e\) => \(v_e = \frac{3}{5}v\)。
- 代入②式：\(N = 50 + \frac{50 \times \frac{3}{5}v}{v} = 50 + 30 = 80\)（级）。
✅ 总结：区分“人自己走的级数”和“相对于地面移动的级数”是关键。逆行用“减”，顺行用“加”，总级数 \(N\) 是桥梁。
例题3：在地铁站，一部上行扶梯，小张逆着扶梯跑步下楼，每秒跑 \(3\) 级台阶，结果用了 \(20\) 秒到达楼下。小李也逆着扶梯步行下楼，每秒走 \(1\) 级台阶，结果用了 \(60\) 秒。如果扶梯停运，小张跑步下楼需要多少秒？
📌 解析：
- 设扶梯总级数为 \(N\)，扶梯上行速度为 \(v_e\)（级/秒）。
- 对小张（速度 \(3\) 级/秒）：逆行净速度 \(3 - v_e\)，时间 \(20\) 秒。公式：\((3 - v_e) \times 20 = N\)。 ①
- 对小李（速度 \(1\) 级/秒）：逆行净速度 \(1 - v_e\)，时间 \(60\) 秒。公式：\((1 - v_e) \times 60 = N\)。 ②
- 由①=②得：\((3 - v_e) \times 20 = (1 - v_e) \times 60\)。展开：\(60 - 20v_e = 60 - 60v_e\) => \(40v_e = 0\) => \(v_e = 0\)。
- 原来扶梯是坏的，根本没动！代入①得：\(N = (3-0) \times 20 = 60\) 级。
- 扶梯停运，小张跑步下楼（速度 \(3\) 级/秒）所需时间 \(t = \frac{N}{3} = \frac{60}{3} = 20\)（秒）。
✅ 总结：本题有个小陷阱。通过联立方程发现扶梯速度为零，问题瞬间简化。验证了无论是否逆行，只要扶梯不动，时间只取决于人自己的速度和总级数。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 逆着上行扶梯向下走，\(20\) 秒走完。顺着他向上走，\(60\) 秒走完。人不动，扶梯送上去要多久？
- 扶梯上行，逆着走到底用了 \(100\) 级台阶、\(50\) 秒。扶梯自己运行，从底到顶用了 \(100\) 秒。扶梯可见部分有几级？
- 逆行下楼需 \(30\) 秒，顺行上楼需 \(90\) 秒。人速度是扶梯速度的几倍？
- 在静止扶梯上，从上到下走需要 \(40\) 步。扶梯运行时，逆着走下来共数出自己走了 \(60\) 步。问扶梯自己运行，会移动多少级？
- 两部相同扶梯并行上行。小华在左梯逆行向下，每秒走 \(2\) 级，用 \(24\) 秒到底。小红在右梯不动，多久被送到顶？（假设单部扶梯数据相同）
- 逆行速度是顺行速度的 \(\frac{1}{3}\)，扶梯自己运行的速度是 \(1\) 级/秒。求人的速度。
- 从扶梯顶逆行跑下，数出自己跑了 \(80\) 级；以同样速度顺行跑上，数出自己跑了 \(40\) 级。求扶梯总级数。
- 逆行 \(12\) 秒走完，顺行 \(36\) 秒走完。若人速度加快一倍，逆行需要几秒？
- 扶梯每秒上行 \(1\) 级，人每秒下行 \(2\) 级。若扶梯突然故障停运，人走完剩余路程还需 \(10\) 秒。问此时人已走了多少级？
- 已知逆行总时间比顺行总时间少 \(40\) 秒，人速是梯速的 \(2\) 倍。求扶梯自己运行的时间。
第二关：奥数挑战（10道）
- （杯赛真题）自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走 \(2\) 级台阶，女孩每 \(2\) 秒向上走 \(3\) 级台阶。结果男孩用 \(40\) 秒到达楼上，女孩用 \(50\) 秒到达楼上。该扶梯共有多少级？
- 在向上扶梯上，逆着向下跑，每秒跑 \(4\) 级，结果 \(10\) 秒跑到底。以同样速度在向下扶梯上逆着向上跑（即对抗向下扶梯向上跑），\(20\) 秒跑到顶。问静止时扶梯有多少级？
- 逆行时，单位时间内走的级数比顺行时多走 \(8\) 级。人速度是扶梯速度的 \(3\) 倍。求扶梯总级数。
- 阿星先逆着上行扶梯向下走，走到一半时发现东西掉了，立刻以原来速度的 \(1.5\) 倍逆着扶梯向上返回起点，总共用了 \(80\) 秒。若他正常逆行到底只需 \(60\) 秒。求扶梯自己运行全程的时间。
- 已知顺行所数台阶数是逆行所数台阶数的一半，且顺行时间是逆行时间的 \(2\) 倍。求人速与梯速之比。
- 扶梯漏电，每隔固定级数就有一级台阶有电。小明逆行，每步跨 \(2\) 级，刚好避开所有带电台阶，数出自己走了 \(63\) 步到达。小红顺行，每步跨 \(3\) 级，也刚好避开所有带电台阶，数出自己走了 \(42\) 步到达。求扶梯总级数。（提示：最小公倍数）
- 两部扶梯 A（上）、B（下）平行相对。小东在 A 梯上逆行向下，同时小西在 B 梯上逆行向上（对抗 B 梯向下）。两人速度相同，同时出发又同时到达另一端。若 A 梯速度是 B 梯速度的 \(2\) 倍，且静止时 A 梯总级数比 B 梯多 \(20\) 级。求每部扶梯的级数。
- 在总长为 \(N\) 级的扶梯上，阿星逆行，从顶开始，当他走完前 \( \frac{1}{4} N \) 级（自己脚步数）时，他相对于地面的位置在何处？（用占总级数的比例表示）
- 扶梯上行，人逆行向下。若人速减少 \(20\%\)，则总用时增加 \(25\%\)。求原来人速与梯速之比。
- 已知逆行时，人单位时间相对地面移动的级数，是扶梯单位时间移动级数的 \( \frac{1}{5}\)。顺行时，人单位时间移动的级数（自己脚步）是扶梯的 \(3\) 倍。求顺行与逆行总用时之比。
第三关：生活应用（5道）
- （快递分拣）快递分拣中心有一条长为 \(L\) 米的传送带以 \(v_c\) 米/秒匀速向右运行。分拣员小张需要从末端逆着传送带向左跑步到起点检查设备。他跑步速度是 \(v_w\) 米/秒（\(v_w > v_c\)）。他用 \(t_1\) 秒跑到起点。请问传送带的长度 \(L\) 是多少米？如果传送带突然加速到 \(2v_c\)，他需要多长时间跑到起点？
- （机场安检）机场自动人行道（水平）长 \(60\) 米，以 \(1\) 米/秒速度向前。你为了赶时间，以 \(2\) 米/秒速度逆着人行道反向奔跑。当你跑到另一端时，发现登机口还差 \(100\) 米。请问从你开始逆跑到抵达登机口（人行道另一端+\(100\)米），总共花了多少时间？
- （水流划船）阿星在一条笔直河段中，从上游码头逆水划船到下游码头。船在静水中速度恒定，水流速度恒定。此过程可类比为“扶梯逆行”。若已知逆流划下全程需 \(30\) 分钟，顺流划上全程需 \(90\) 分钟。问水流静止时，划完全程需多少分钟？
- （AI数据流）一个实时数据处理器，数据以恒定速率 \(r_d\) 条/秒流入（类似扶梯上行）。一个AI算法需要逆序处理这些数据，其处理速度是 \(r_a\) 条/秒（\(r_a > r_d\)）。从当前时刻开始处理，到处理完此刻之前积压的 \(N\) 条数据，需要多少秒？请写出表达式。如果算法升级，速度提升 \(50\%\)，处理时间会减少百分之几？
- （太空舱训练）宇航员在空间站一个环形舱内进行抗眩晕训练。环形舱内壁模拟一个“移动扶手”，以角速度 \(\omega\) 匀速旋转（类似扶梯）。宇航员以相对舱壁的线速度 \(v\) 逆着旋转方向行走。已知环形舱周长 \(C\) 米。求宇航员相对于空间站（固定参考系）走完一圈所需时间。若他顺着旋转方向走呢？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：扶梯问题：逆行 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点主要在于对“参考系”的理解混淆。学生容易分不清“人相对于扶梯的速度”、“人相对于地面的速度”和“扶梯相对于地面的速度”。阿星公式“人走级数 - 电梯倒退级数 = 总级数”正是将参考系统一到地面（静止参照物）的结果。另一个难点是“级数”的双重含义：有时指人脚步迈出的数量（相对扶梯），有时指地面观察者看到的级数变化（相对地面）。必须仔细审题，区分题目中给出的“走了多少级”是哪一种。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：扶梯问题是运动学中相对速度和行程问题的绝佳启蒙模型。它直接关联到初中的一元一次方程、二元一次方程组，以及高中的物理运动合成与分解。其核心思想 \(v_{\text{合}} = v_{\text{甲}} + v_{\text{乙}}\)（注意方向正负）是矢量运算的雏形。理解“总级数 \(N\) 不变”这一条件，本质是理解在匀速运动中 \(s = vt\) 这一基本关系，并学会用不变量（\(N\)）作为桥梁建立等量关系，这是未来学习更复杂函数和方程思想的基石。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！核心套路就是“设、列、解”。
- 设：设两个关键量——扶梯速度 \(v_e\)（级/时），人在静梯上的速度 \(v_p\)（级/时）。通常再设总级数 \(N\)。
- 列：根据不同情境（逆行、顺行、纯梯）列出关于 \(N\) 的方程。
- 逆行（对抗）： \(N = (v_p - v_e) \times t_{\text{逆}}\)
- 顺行（借助）： \(N = (v_p + v_e) \times t_{\text{顺}}\)
- 纯梯： \(N = v_e \times t_{\text{梯}}\)
- 纯人： \(N = v_p \times t_{\text{人}}\)
- 解：联立方程（通常是二元一次方程组），消元求解。牢记 \(N\) 是相同的。
只要严格按照这个模式分析，绝大多数扶梯问题都能迎刃而解。
答案与解析
第一关解析精选：
- 解：设人速\(v_p\)，梯速\(v_e\)，总级数\(N\)。则 \((v_p - v_e) \times 20 = N\)， \((v_p + v_e) \times 60 = N\)。两式相等得 \(20v_p - 20v_e = 60v_p + 60v_e\) => \(-40v_p = 80v_e\) => \(v_p = -2v_e\)（负号表示方向相反，取绝对值比\(v_p : v_e = 2:1\)）。代入第一式， \(N = (2v_e - v_e) \times 20 = 20v_e\)。纯梯时间 \(t = \frac{N}{v_e} = \frac{20v_e}{v_e} = 30\)（秒）。
- 解：设人速\(v_p\)，梯速\(v_e\)。逆行：\( (v_p - v_e) \times 50 = N\) 且 \(v_p \times 50 = 100\) => \(v_p = 2\)（级/秒）。代入得 \((2 - v_e) \times 50 = N\)。纯梯：\(v_e \times 100 = N\)。联立：\((2 - v_e) \times 50 = 100v_e\) => \(100 - 50v_e = 100v_e\) => \(100 = 150v_e\) => \(v_e = \frac{2}{3}\)。则 \(N = \frac{2}{3} \times 100 = \frac{200}{3}\) 级（或约 \(66.\overline{6}\) 级）。
- 解：设人速\(v_p\)，梯速\(v_e\)。 \((v_p - v_e) \times 30 = N\)， \((v_p + v_e) \times 90 = N\)。两式相除：\(\frac{v_p - v_e}{v_p + v_e} = \frac{90}{30} = 3\)。解得 \(v_p - v_e = 3v_p + 3v_e\) => \(-2v_p = 4v_e\) => \(v_p = 2v_e\)。人速是梯速的 \(2\) 倍。
第二关解析精选（第1题）：
设扶梯速度为 \(v_e\) 级/秒，扶梯总级数 \(N\)。
男孩：实际速度 \(2 + v_e\)， \(N = (2+v_e) \times 40\)。
女孩：实际速度 \(\frac{3}{2} + v_e\)， \(N = (\frac{3}{2}+v_e) \times 50\)。
联立：\((2+v_e) \times 40 = (\frac{3}{2}+v_e) \times 50\)
展开：\(80 + 40v_e = 75 + 50v_e\)
\(5 = 10v_e\)
\(v_e = 0.5\) (级/秒)
代入：\(N = (2+0.5) \times 40 = 2.5 \times 40 = 100\) (级)。
第三关解析精选（第1题）：
- 根据“逆行”模型，小张相对于地面的速度是 \(v_w - v_c\)，所以传送带长度 \(L = (v_w - v_c) \times t_1\)。
- 传送带加速后，其速度为 \(2v_c\)，小张相对地面速度变为 \(v_w - 2v_c\)。所需时间 \(t_2 = \frac{L}{v_w - 2v_c} = \frac{(v_w - v_c) \times t_1}{v_w - 2v_c}\)。
PDF 练习题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF