有余数的除法 学习资料

知识要点

💡 核心概念：当我们把一些东西平均分，分到最后有剩余，而且剩下的不够再分一份时，剩下的部分就叫做“余数”。这种带有剩余的除法，就叫“有余数的除法”。比如，有7块糖，想每个小朋友分2块，只能分给3个小朋友，最后还会剩下1块。这剩下的1块就是余数。

📝 计算法则：

1. 一商：想被除数里面最多有几个除数，商就写几。
2. 二乘：用商和除数相乘，把乘得的积写在被除数下面。
3. 三减：用被除数减去乘得的积，所得的差就是“余数”。
4. 四比：比较余数和除数。一定要记住：余数必须比除数小。

🎯 记忆口诀：

分东西，平均分，分到最后有剩余。

除法算式记清楚，商要对着个位数。

一商二乘三要减，余数永远比除小。

🔗 知识关联：这和我们之前学过的“表内除法”是一家人，都是“平均分”。表内除法刚好分完（没有余数），比如 \( 12 \div 3 = 4 \)。有余数的除法是表内除法的延伸，当数字变大了，不能直接用乘法口诀算完时，就会产生余数。它也为我们以后学习更大的数的除法打下了基础。

易错点警示

• ❌ 错误1：余数比除数大。例如：\( 13 \div 4 = 2 \cdots 5 \) (因为余数5大于除数4)。

  ✅ 正解：余数必须比除数小。正确是 \( 13 \div 4 = 3 \cdots 1 \)，因为剩下的1比4小。

• ❌ 错误2：忘记写余数，或者把余数“0”也写在算式里。例如：\( 14 \div 7 = 2 \cdots 0 \)。

  ✅ 正解：如果刚好分完，没有剩余，就不写余数。直接写作 \( 14 \div 7 = 2 \)。

• ❌ 错误3：商的位置写错，没有和被除数的个位对齐。

  ✅ 正解：计算时，商要写在被除数个位的正上方。

例题精讲

🔥 例题1：有17支铅笔，每个笔袋放5支，可以放满几个笔袋？还剩几支？

5支

5支

5支

2支

剩

📌 第一步：列式。把17支铅笔，每5支分一份，求可以分几份，用除法： \( 17 \div 5 \) 。

📌 第二步：想口诀。想（ ）五十七？三五十五，四五四二十，二十比十七大，所以最多有3个5。

📌 第三步：计算。商是3，\( 3 \times 5 = 15 \)，\( 17 - 15 = 2 \)。余数2比除数5小，计算正确。

✅ 答案： \( 17 \div 5 = 3 \cdots 2 \)，可以放满3个笔袋，还剩2支。

💬 总结：解决平均分有剩余的问题，先列除法算式，再想乘法口诀找商，最后检查余数。

🔥 例题2：一个数除以6，商是4，余数最大是几？

📌 第一步：回忆关系。在有余数的除法里，余数必须比除数小。除数是6。

📌 第二步：找最大余数。比6小的数有：5，4，3，2，1。其中最大的是5。

✅ 答案：余数最大是5。

💬 总结：“余数比除数小”，所以最大余数就是“除数 - 1”。

🔥 例题3： \( \Box \div 7 = 4 \cdots \Delta \)，余数 \(\Delta\) 可能是哪些数？当余数最大时，被除数 \(\Box\) 是几？

📌 第一步：确定余数范围。除数是7，所以余数 \(\Delta\) 要比7小。\(\Delta\) 可能是 1, 2, 3, 4, 5, 6。

📌 第二步：求最大余数时的被除数。余数最大是6。根据“被除数 = 商 × 除数 + 余数”来计算：\( 4 \times 7 + 6 = 28 + 6 = 34 \)。

✅ 答案：余数可能是1，2，3，4，5，6。当余数最大时，被除数是34。

💬 总结：先根据“余数比除数小”确定余数范围，再根据数量关系“被除数 = 商 × 除数 + 余数”求出被除数。

练习题（10道）

1. 圈一圈，填一填。13个草莓，每4个装一盘。可以装（ ）盘，还剩（ ）个。算式： \( 13 \div 4 = \cdots \)
2. 直接写出下面各题的商和余数。 \( 19 \div 6 = \cdots \) \( 27 \div 5 = \cdots \) \( 40 \div 9 = \cdots \)
3. 用竖式计算。 \( 33 \div 7 \) \( 50 \div 6 \) \( 65 \div 8 \)
4. （ ）里最大能填几？ \( 4 \times ( ) < 25 \) \( 7 \times ( ) < 50 \) \( ( ) \times 8 < 65 \)
5. 有50颗纽扣，每件衬衫钉7颗，可以钉几件衬衫？还剩几颗纽扣？
6. 一辆游览车最多能坐8名游客，35名游客至少需要几辆这样的游览车？
7. 按照下面的规律穿珠子，第28颗珠子是什么颜色？ ●●○○●●○○……
8. 一个数除以9，商是6，余数最大是（ ），这时被除数是（ ）。
9. 在算式 \( \Box \div 5 = 7 \cdots \Delta \) 中，余数 \(\Delta\) 可能是（ ），当余数最大时，被除数 \(\Box\) 是（ ）。
10. 小马虎在计算一道除法题时，把除数6看成了9，结果商是4，余数是5。请问正确的答案应该是多少？

奥数挑战（10道）

1. 有一堆围棋棋子，按“二黑三白”的顺序排列起来（●●○○○●●○○○…）。请问第31颗棋子是黑色还是白色？
2. 一些苹果，不到30个。平均分给4个小朋友或平均分给7个小朋友，都剩下2个。这些苹果有多少个？
3. 已知： \( \text{★} + \text{★} + \Box + \Box + \Box = 37 \)， \( \text{★} + \text{★} + \Box + \Box + \Box + \Box + \Box = 53 \)。 求： \( \text{★} = ( ) \)， \( \Box = ( ) \)。
4. 在算式 \( 32 \div \Box = \Delta \cdots 4 \) 中，除数和商各是多少？（请写出所有可能）
5. 一个三位数除以8，余数最大是7。这个三位数最小是多少？
6. 有一列数：2，5，8，11，14，17，20……请问第50个数是多少？
7. 在下面算式的（ ）里填上相同的数，使等式成立。 \( ( ) \div ( ) = 5 \cdots 5 \)
8. 一个数除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？
9. 小明有一盒巧克力，总数在40-50块之间。如果每7块包一袋，还剩3块；如果每8块包一袋，也剩3块。这盒巧克力有多少块？
10. 有一串彩灯，按“红、黄、蓝、绿、紫”的顺序循环排列。第50盏灯是什么颜色？前50盏灯中，蓝色的灯一共有多少盏？

生活应用（5道）

1. （高铁座位）一列“复兴号”高铁有8节车厢，每节车厢有90个座位。今天有650名乘客乘坐，这列高铁的座位够吗？如果够，还剩几个空座位？
2. （航天分组）航天小学二年级有45名学生参加“太空营”活动。老师计划每6名学生组成一个“宇航员小队”，最多可以组成几个完整的小队？剩下的同学怎么办？
3. （AI绘图）一个人工智能程序生成了100张精美的星空图片。如果每9张图片合成一个动态视频，最多能合成多少个视频？最后会剩下几张图片无法使用？
4. （环保回收）“环保小卫士”小队一周内收集了53个塑料瓶。每个回收袋最多可以装8个塑料瓶。他们至少需要准备多少个回收袋才能全部装完？
5. （网购包装）李阿姨的网店今天要发出72件商品。一个大快递箱能装9件商品，一个小快递箱能装6件商品。如果她想全部用大箱子来装，需要几个箱子？会空出多少位置？