二次函数怎么学？像投篮一样理解抛物线！初三数学提分指南 | 星火网专项练习题库

例题 1：基础巩固

题目：已知投篮的抛物线轨迹（二次函数）为 \( y = -2x^2 + 8x - 5 \)，请求出这个“投篮”的最高点（顶点）坐标以及对称轴方程。

📌 阿星解析：

1. 这题考察对顶点公式的直接应用。公式为 \( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)。
2. 从函数 \( y = -2x^2 + 8x - 5 \) 可得：\( a = -2, b = 8, c = -5 \)。
3. 代入计算：顶点横坐标 \( h = -\frac{8}{2 \times (-2)} = 2 \)。顶点纵坐标 \( k = \frac{4 \times (-2) \times (-5) - 8^2}{4 \times (-2)} = \frac{40 - 64}{-8} = 3 \)。
4. 对称轴方程为过顶点且垂直于x轴的直线：\( x = 2 \)。

✅ 答案：顶点坐标为 \( (2, 3) \)，对称轴为直线 \( x = 2 \)。

例题 2：能力提升

题目：小明投篮，篮球经过的路线是一条抛物线。当球在水平距离出手点2米时达到最大高度3米（即顶点为(2,3)），并且在水平距离4米处落地（即与x轴交于点(4,0)）。请你帮小明求出这条抛物线的函数解析式。

📌 阿星解析：

1. 已知顶点，优先设顶点式：\( y = a(x - h)^2 + k \)，其中 \( h=2, k=3 \)。所以 \( y = a(x - 2)^2 + 3 \)。
2. 再代入另一个已知点(4, 0)来求解 \( a \)。得到方程：\( 0 = a(4 - 2)^2 + 3 \) → \( 0 = 4a + 3 \)。
3. 解得：\( a = -\frac{3}{4} \)。
4. 因此，抛物线的解析式为 \( y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + 3 \)。

✅ 答案：\( y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + 3 \) 或化为一般式 \( y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x \)。

例题 3：压轴突破

题目：一场篮球赛中，某球员在距篮筐水平距离4米处跳投，篮球出手后运动的路线可以看作抛物线 \( y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x + 2 \)（以出手点为原点建立坐标系，x轴为水平方向，y轴为竖直方向）。已知篮筐中心在水平距离出手点4.5米，高度为3.05米。

1. 此球能否直接投中篮筐？请说明理由。
2. 篮球出手后，在水平距离多少米处达到最大高度？最大高度是多少米？

📌 阿星解析：

1. 问题(a)是判断点是否在抛物线上。将篮筐的横坐标 \( x = 4.5 \) 代入解析式，计算y值：
   $$ y = -\frac{1}{5} \times (4.5)^2 + \frac{8}{5} \times 4.5 + 2 = -\frac{1}{5} \times 20.25 + 7.2 + 2 = -4.05 + 9.2 = 5.15 $$
   得到 \( y = 5.15 \) 米 > 3.05 米。这意味着当球飞到篮筐正上方时，它的高度远高于篮筐，所以不能直接投中（球会从篮筐上方飞过）。
2. 问题(b)是求顶点。对于 \( y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x + 2 \)，顶点横坐标 \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8/5}{2 \times (-1/5)} = 4 \)。
   代入得纵坐标 \( y = -\frac{1}{5} \times 16 + \frac{8}{5} \times 4 + 2 = -3.2 + 6.4 + 2 = 5.2 \)。

✅ 答案：(a) 不能，理由如上。(b) 在水平距离4米处达到最大高度，最大高度为5.2米。