二次函数开口方向a怎么判断？哭脸笑脸法求最值深度解析专项练习题库

好的，同学，我是你的数学专家顾问。今天，我将和助教阿星一起，为你深度解析二次函数中那个决定“心情”的关键系数——开口方向 \( a \)。准备好开启这场奇妙的数学之旅了吗？

💡 阿星精讲：开口方向(a) 原理

• 核心概念：想象一下，二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象是一条叫做“抛物线”的曲线。它就像一个人心情的起伏线！而系数 \( a \)，就是决定这个人心情基调的“心情开关”。阿星：当 \( a > 0 \)，抛物线开口向上，就像一个灿烂的笑脸😊。它先下降（心情变差）到最低点（心情谷底），然后一路上升（心情变好）。这个“最低点”就是它的最小值。当 \( a < 0 \)，抛物线开口向下，就像一个忧伤的哭脸😢。它先上升（心情变好）到最高点（心情顶峰），然后一路下降（心情变差）。这个“最高点”就是它的最大值。记住：\( a \) 的正负决定“哭”还是“笑”，\( a \) 的绝对值大小决定“嘴巴”张开的幅度（陡峭程度）。
• 计算秘籍：找到这个“心情转折点”（即顶点，对应最大值或最小值）是关键。对于一般式 \( y = ax^2 + bx + c \)，我们可以通过配方法找到顶点坐标。其顶点横坐标为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。将这个 \( x \) 值代回原函数，得到的 \( y \) 值就是最值。

  步骤演示：求 \( y = 2x^2 - 8x + 5 \) 的最值。

  1. 判断心情：\( a = 2 > 0 \)，是笑脸，有最小值。
  2. 找到顶点横坐标：\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2 \)
  3. 计算最小值：\( y_{min} = 2 \times (2)^2 - 8 \times 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3 \)

  所以，当 \( x = 2 \) 时，函数取得最小值 \( -3 \)。

• 阿星口诀：“a正向上笑，最低点来到；a负向下哭，最高点停住。”

📐 图形解析

让我们用SVG画出“笑脸”和“哭脸”抛物线，直观感受 \( a \) 的魔力。

对于函数 \( y = ax^2 \)，其顶点在原点 \( (0, 0) \)。下图展示了 \( a=0.5 \)（笑脸）和 \( a=-0.5 \)（哭脸）的情况。

左图（绿色实线）：\( a > 0 \)，开口向上如笑脸。绿色填充区域表示函数值 \( y \) 随着 \( x \) 远离对称轴而增大，顶点处 \( y \) 值最小。

右图（红色虚线）：\( a < 0 \)，开口向下如哭脸。红色填充区域表示函数值 \( y \) 随着 \( x \) 远离对称轴而减小，顶点处 \( y \) 值最大。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到二次函数就讨论最值，忽略了 \( a \) 是否为0。✅ 正解：必须首先确认它是二次函数！即 \( a \neq 0 \)。若 \( a = 0 \)，函数退化为一次函数 \( y = bx + c \)，它没有最大或最小值（除非定义域有限制）。
• ❌ 错误2：求最值时，误把顶点横坐标 \( x = -\frac{b}{2a} \) 直接当作最值答案。✅ 正解：顶点横坐标 \( x \) 是取得最值时的自变量。最值本身是函数值 \( y \)，必须将 \( x = -\frac{b}{2a} \) 代入原函数计算得出。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断函数 \( y = 5x^2 \) 的开口方向，并指出它有最大值还是最小值。
2. 判断函数 \( y = -x^2 + 3 \) 的开口方向，它的图象更像笑脸还是哭脸？
3. 若抛物线 \( y = ax^2 \) 开口向下，则 \( a \) ______ 0。（填“>”或“<”）
4. 求函数 \( y = x^2 - 4x + 1 \) 的最小值。
5. 求函数 \( y = -2x^2 + 8x - 5 \) 的最大值。
6. 函数 \( y = (k+1)x^2 \) 开口向上，则 \( k \) 的取值范围是______。
7. （多选）下列函数的图象开口向上的有（ ）A. \( y=3x-1 \) B. \( y=2x^2 \) C. \( y=-x^2+5 \) D. \( y=\frac{1}{2}x^2-3 \)
8. 已知抛物线顶点是最高点，则它的开口向______。
9. 从“最高点”和“最低点”中选择填空：对于 \( y=ax^2+bx+c \)，若 \( a>0 \)，则抛物线有______。
10. 请写出一个开口向下，且经过点 (0, 1) 的二次函数解析式（顶点式或一般式均可）。

第二关：中考挑战（10道）

1. （配方基础）将 \( y = x^2 - 6x + 5 \) 化为顶点式，并写出它的开口方向、顶点坐标和最值。
2. （含参讨论）已知关于 \( x \) 的二次函数 \( y = (m-1)x^2 + 2mx + 3m-2 \) 的图象开口向上，求 \( m \) 的取值范围。
3. （几何最值）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。设运动时间为 \( t \) 秒（0 < t < 4），△PBQ的面积为 \( S \) cm²。求 \( S \) 与 \( t \) 的函数关系式，并求出 \( S \) 的最大值。
4. （比较最值）不计算，直接比较下列函数的最值大小：\( y_1 = 2x^2 - 4x + 7 \)， \( y_2 = -x^2 + 2x + 5 \)。（提示：分别求出最值，再比较）
5. （实际应用）某商店销售一种进价为20元/件的商品，经调查发现，售价为30元/件时，每天可售出200件；售价每上涨1元，每天少卖10件。设售价为 \( x \) 元/件（\( x \ge 30 \)），每天利润为 \( y \) 元。求 \( y \) 关于 \( x \) 的函数关系式，并求每天利润的最大值。
6. （图象识别）已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象如图所示，判断下列式子的正负： \( a \) ______ 0, \( b \) ______ 0, \( c \) ______ 0。（图象需自行想象或简单绘制：一个开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴的抛物线）
7. （最值点特性）抛物线 \( y = x^2 - 2x + m \) 的顶点在直线 \( y = 3 \) 上，求 \( m \) 的值。
8. （范围最值）求二次函数 \( y = x^2 - 2x - 3 \) 在 \( 0 \le x \le 4 \) 范围内的最大值和最小值。
9. （多个函数）已知 \( y_1 = a_1x^2, y_2 = a_2x^2 \)，且 \( a_1 > a_2 > 0 \)。请问哪个函数的开口更宽（更平缓）？为什么？
10. （综合）若抛物线 \( y = x^2 + bx + c \) 的顶点在第二象限，则 \( b \) ______ 0, \( c \) ______ 0。（填“>”、“<”或“=”）

第三关：生活应用（5道）

1. （拱桥问题）一座抛物线型拱桥，桥洞离水面的最大高度为4米，跨度为10米。以水面为x轴，拱桥对称轴为y轴建立坐标系，求该抛物线的解析式，并判断一艘宽6米，顶部距水面2.5米的货船能否通过此桥洞。
2. （投篮轨迹）篮球出手后的运动轨迹可近似看作抛物线。若篮球出手点距地面2米，在离篮筐水平距离4米处达到最高点3.5米，篮筐高3.05米。不考虑空气阻力，该投篮能否命中？（建立坐标系求解）
3. （利润优化）一个生产茶杯的工厂，固定成本每天2000元，每生产一个茶杯成本增加5元。市场调查发现，茶杯单价 \( p \)（元）与日销量 \( x \)（个）的关系为 \( p = 25 - 0.01x \)。要使工厂日利润最大，每天应生产多少个茶杯？最大利润是多少？
4. （光线反射）汽车前灯的反光镜面设计成抛物线形状，灯丝位于焦点处，发出的光经反射后成为平行光。已知某反光镜面方程为 \( y^2 = 8x \)，求灯丝（焦点）的位置。
5. （面积最大）农场主想用一面旧墙（足够长）和总长为60米的篱笆围成一个矩形养殖场。如何设计矩形的长和宽，才能使养殖场的面积最大？最大面积是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 开口向上，有最小值。
2. 开口向下，像哭脸。
3. \( a < 0 \)
4. 解：\( a=1>0 \)，有最小值。 \( x = -\frac{-4}{2\times1}=2 \)， \( y_{min}=2^2-4\times2+1=-3 \)。
5. 解：\( a=-2<0 \)，有最大值。 \( x = -\frac{8}{2\times(-2)}=2 \)， \( y_{max}=-2\times(2)^2+8\times2-5=3 \)。
6. \( k > -1 \)（由 \( k+1 > 0 \) 解得）
7. B, D（A是一次函数，C开口向下）
8. 下
9. 最低点
10. 答案不唯一，如 \( y = -x^2 + 1 \)（满足 \( a<0 \) 且 \( c=1 \) 即可）。

第二关：中考挑战

1. 解：\( y = (x-3)^2 - 4 \)。开口向上，顶点坐标 \( (3, -4) \)，最小值 \( -4 \)。
2. 解：由题意，\( m-1 > 0 \)，解得 \( m > 1 \)。
3. 解：\( AP = t \)， \( BQ = 2t \)，则 \( PB = 6 - t \)。 \( S = \frac{1}{2} \times (6-t) \times 2t = -t^2 + 6t \)。 \( a=-1<0 \)，有最大值。 \( t = -\frac{6}{2\times(-1)}=3 \)， \( S_{max} = -(3)^2+6\times3=9 \) (cm²)。
4. 解：\( y_1 \) 最小值：\( a=2>0 \)， \( x_1=1 \)， \( y_{1min}=2-4+7=5 \)。 \( y_2 \) 最大值：\( a=-1<0 \)， \( x_2=1 \)， \( y_{2max}=-1+2+5=6 \)。所以 \( y_2 \) 的最大值 \( 6 \) > \( y_1 \) 的最小值 \( 5 \)。（注意比较对象）
5. 解：销量为 \( 200 - 10(x-30) = 500 - 10x \)。单件利润为 \( x-20 \)。 \( y = (x-20)(500-10x) = -10x^2 + 700x - 10000 \)。 \( a=-10<0 \)，有最大值。 \( x = -\frac{700}{2\times(-10)}=35 \)， \( y_{max} = -10\times(35)^2+700\times35-10000=2250 \)（元）。
6. \( a < 0 \)， \( b > 0 \)（左同右异：对称轴 \( -\frac{b}{2a}>0 \)， \( a<0 \)，故 \( b>0 \)）， \( c > 0 \)（与y轴交点）。
7. 解：顶点横坐标 \( x=1 \)，代入原函数得顶点纵坐标 \( y = 1-2+m = m-1 \)。由题意 \( m-1=3 \)，得 \( m=4 \)。
8. 解：\( y = (x-1)^2 - 4 \)，顶点(1,-4)。在 \( 0 \le x \le 4 \) 内，顶点在范围内。计算端点值：\( x=0 \)时 \( y=-3 \)； \( x=4 \)时 \( y=5 \)。比较得：最小值 \( -4 \)（在 \( x=1 \) 时），最大值 \( 5 \)（在 \( x=4 \) 时）。
9. 答：\( y_2 \) 的开口更宽。因为 \( |a| \) 越小，抛物线开口越大、越平缓。这里 \( a_2 < a_1 \)，所以 \( y_2 \) 的 \( |a| \) 更小（都为正数）。
10. 解：顶点 \( (-\frac{b}{2}, \frac{4c-b^2}{4}) \)。在第二象限，则横坐标 \( -\frac{b}{2} < 0 \) ⇒ \( b > 0 \)；纵坐标 \( \frac{4c-b^2}{4} > 0 \) ⇒ \( 4c > b^2 > 0 \) ⇒ \( c > 0 \)。所以 \( b > 0, c > 0 \)。

第三关：生活应用

1. 解：设解析式为 \( y = ax^2 + 4 \)。过点 (5,0)： \( 0 = a\times25+4 \) ⇒ \( a = -\frac{4}{25} \)。∴ \( y = -\frac{4}{25}x^2+4 \)。船宽6米，则当 \( x=3 \) 时，桥洞高度 \( y = -\frac{4}{25}\times9+4 = 2.56 \) (米) > 2.5米。所以能通过。
2. 解：以出手点为原点建立坐标系（出手点并非顶点）。设抛物线为 \( y = ax^2 + bx \)。已知顶点 (4, 1.5) （最高点3.5米减去出手点高度2米得1.5米）。由顶点横坐标公式： \( -\frac{b}{2a}=4 \) ⇒ \( b = -8a \)。又过(4,1.5)： \( 1.5 = 16a + 4b = 16a - 32a = -16a \) ⇒ \( a = -\frac{3}{32} \)， \( b = \frac{3}{4} \)。∴ \( y = -\frac{3}{32}x^2 + \frac{3}{4}x \)。篮筐位置：水平距离4米，即 \( x=4 \)，代入得 \( y = -\frac{3}{32}\times16 + \frac{3}{4}\times4 = -1.5 + 3 = 1.5 \)。加上出手点高度2米，球在篮筐水平位置时高度为 \( 1.5+2=3.5 \) 米 > 3.05米。因此，此轨迹为空心入筐（球在篮筐上方通过），但严格来说“命中”需要球心通过篮筐中心，这里轨迹高于篮筐，可能会命中（擦板或空心），也可能过高而不中。这题主要考察建模能力。
3. 解：日利润 \( y = \) 收入 - 成本 = \( px - (2000 + 5x) = (25 - 0.01x)x - 2000 - 5x = -0.01x^2 + 20x - 2000 \)。 \( a=-0.01<0 \)，有最大值。 \( x = -\frac{20}{2\times(-0.01)} = 1000 \)。 \( y_{max} = -0.01\times(1000)^2+20\times1000-2000 = 8000 \)（元）。应生产1000个，最大利润8000元。
4. 解：抛物线 \( y^2 = 8x \) 为标准形式 \( y^2 = 4px \)，其中 \( 4p=8 \)， \( p=2 \)。焦点坐标为 \( (p, 0) \)，即 \( (2, 0) \)。灯丝位于焦点(2,0)处。
5. 解：设垂直于旧墙的边长为 \( x \) 米，则平行于旧墙的边长为 \( 60 - 2x \) 米。面积 \( S = x(60-2x) = -2x^2 + 60x \)。 \( a=-2<0 \)，有最大值。 \( x = -\frac{60}{2\times(-2)} = 15 \)。此时长= \( 60-2\times15=30 \) 米。 \( S_{max} = -2\times(15)^2+60\times15 = 450 \) (平方米)。设计：宽15米，长30米，最大面积450平方米。