二次函数与一元二次方程的关系深度解析：零点、图像与判别式全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：二次函数与方程 原理

• 核心概念：想象一下，二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象是一条抛物线，就像一个在空中划出优美弧线的蹦床。而我们熟知的方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其实是在问：这个蹦床什么时候刚好和地面（x轴）亲密接触？阿星说：蹦床（抛物线）与地面（x轴）的每一次“亲吻点”，就是方程苦苦寻找的“根”或“零点”。所以，方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标！你解方程，就是在找这些“亲吻点”的位置。
• 计算秘籍：
  1. 判别式 \(\Delta\) 定“亲吻”次数：
     • 若 \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\)：方程有两个不相等的实根（蹦床两次接触地面）。
     • 若 \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\)：方程有两个相等的实根（蹦床顶点轻轻擦过地面）。
     • 若 \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\)：方程无实根（蹦床完全悬空，无法亲吻地面）。
  2. 求解“亲吻点”坐标：
     • 公式法： 直接使用求根公式：\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)。
     • 因式分解法： 将方程化为 \( (x - x_1)(x - x_2) = 0 \) 的形式，则 \( x_1, x_2 \) 即为根。
     • 图象法： 画出抛物线，观察其与x轴交点的横坐标（估算）。
• 阿星口诀：函数方程一家亲，图象相交就是根。判别式，定乾坤，求根公式解“亲吻”。

📐 图形解析

方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根（即零点）的三种情况，完全由对应的二次函数图象决定：

判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 的几何意义。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“抛物线与x轴的交点”就是“方程的根”，直接写坐标 \((x, 0)\)。
  
  ✅ 正解：方程的“根”或函数的“零点”特指交点的横坐标 \(x\)，是一个数值，而不是一个点。
• ❌ 错误2：在用判别式讨论方程根的情况时，忽略前提 \(a \ne 0\)。若 \(a = 0\)，方程就不是二次方程了。
  
  ✅ 正解：看到“二次方程”或“二次函数”，先确认二次项系数 \(a \ne 0\)，再讨论判别式 \(\Delta\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 函数 \(y = x^2 - 5x + 6\) 的图象与x轴交于点A和B，求A、B两点的横坐标。
2. 不解方程，判断 \(x^2 + 6x + 9 = 0\) 的根的情况。
3. 已知抛物线 \(y = ax^2 + bx + c\) 与x轴的交点为 \((-2,0)\) 和 \((4,0)\)，则方程 \(ax^2 + bx + c=0\) 的两根是？
4. 若方程 \(x^2 - kx + 4 = 0\) 有一个根是 \(x=2\)，求常数 \(k\) 的值。
5. 求函数 \(y = -2x^2 + 4x\) 的零点。
6. 画出 \(y = x^2 - 4\) 的草图，并标出其与x轴的交点。
7. 关于 \(x\) 的方程 \(x^2 + 2x + m = 0\) 有两个不相等的实根，求 \(m\) 的取值范围。
8. 已知一元二次方程两个根为 \(1\) 和 \(-3\)，请写出一个符合条件的方程。
9. 函数 \(y = (x-1)^2 - 4\) 的图象与x轴的交点坐标是？
10. 若 \(x=3\) 是方程 \(x^2 - 2x + c = 0\) 的一个根，求另一个根。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题) 若关于 \(x\) 的一元二次方程 \(x^2 + 2x - k = 0\) 没有实数根，则 \(k\) 的取值范围是______。
2. (中考真题) 已知二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）（图略：抛物线开口向上，顶点在第三象限，与y轴负半轴相交） A. \(a>0, b<0, c>0\) B. \(a>0, b<0, c<0\) C. \(a>0, b>0, c<0\) D. \(a<0, b<0, c<0\)
3. 已知抛物线 \(y = x^2 + bx + c\) 经过点 \((1,0)\) 和 \((-3,0)\)，求 \(b, c\) 的值。
4. 若关于 \(x\) 的方程 \(x^2 - (m+2)x + 2m = 0\) 的两根之差为1，求 \(m\) 的值。
5. 二次函数 \(y = x^2 - 2x - 3\) 的图象在 \(x\) 轴上截得的线段长度是多少？
6. 求证：无论 \(k\) 取何实数，方程 \(x^2 - (k+3)x + k = 0\) 都有两个不相等的实数根。
7. 已知 \(a, b\) 是方程 \(x^2 - 5x + 3 = 0\) 的两个根，求 \(a^2 + b^2\) 的值。
8. 若抛物线 \(y = x^2 + mx + 4\) 的顶点在x轴上，求 \(m\) 的值。
9. 已知二次函数 \(y = -x^2 + 2x + m\) 的图象与x轴有交点，求 \(m\) 的取值范围。
10. 方程 \(x^2 - |x| - 2 = 0\) 的实数根有多少个？

第三关：生活应用（5道）

1. 【桥梁设计】某抛物线形拱桥的跨度（两桥墩间的距离）为20米，拱高为4米。以桥面中心为原点建立坐标系，求该抛物线的函数表达式。
2. 【利润最大】某商店销售一种商品，每件进价40元。经调查发现，若售价为50元，每天可售出100件；售价每降低1元，每天可多售出10件。设售价为 \(x\) 元，日销售利润为 \(y\) 元。求 \(y\) 关于 \(x\) 的函数关系式，并求出日销售利润为2240元时的售价。
3. 【喷泉轨迹】公园里的一个喷泉，喷出的水流呈抛物线形。在离喷口水平距离1米处，水流达到最大高度3米。水流落地点离喷口5米。求水流轨迹的抛物线方程（以喷口为原点）。
4. 【围栏面积】用长为24米的篱笆，一面靠墙围成一个矩形花圃。问如何设计矩形的长和宽，才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？
5. 【小球反弹】一个小球从离地面10米高处自由落下，每次触地后反弹的高度是前一次下落高度的 \(\frac{2}{5}\)。假设小球每次从最高点下落到触地的时间相等，忽略空气阻力。请建立第 \(n\) 次触地后反弹高度 \(h\) 与 \(n\) 的函数模型（这是一个可化为二次型的数列问题，思考其“零点”的物理意义）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 【解析】解方程 \(x^2 - 5x + 6=0\)，得 \((x-2)(x-3)=0\)，\(x_1=2, x_2=3\)。
2. 【解析】\(\Delta = 6^2 - 4\times1\times9 = 0\)，方程有两个相等的实数根。
3. 【解析】交点横坐标即为根，\(x_1 = -2, x_2 = 4\)。
4. 【解析】将 \(x=2\) 代入方程：\(2^2 - 2k + 4 = 0\)，解得 \(k=4\)。
5. 【解析】令 \(y=0\)：\(-2x^2 + 4x = 0\)，即 \(-2x(x-2)=0\)，零点为 \(x=0\) 和 \(x=2\)。
6. 【解析】函数 \(y = x^2 - 4\) 是顶点在 \((0, -4)\)，开口向上的抛物线。令 \(y=0\)，得 \(x^2=4\)，\(x=\pm2\)。所以与x轴交点为 \((-2,0)\) 和 \((2,0)\)。
7. 【解析】有两个不等实根，则 \(\Delta > 0\)。\(\Delta = 2^2 - 4\times1\times m = 4-4m > 0\)，解得 \(m < 1\)。
8. 【解析】根据根与系数的关系：\(x_1+x_2=1+(-3)=-2\)，\(x_1x_2=1\times(-3)=-3\)。构造方程：\(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2=0\)，即 \(x^2 + 2x - 3 = 0\)。（答案不唯一）
9. 【解析】令 \(y=0\)：\((x-1)^2 - 4 = 0\)，\((x-1)^2=4\)，\(x-1=\pm2\)，得 \(x_1=-1, x_2=3\)。交点坐标为 \((-1,0)\) 和 \((3,0)\)。
10. 【解析】法1：利用根与系数关系，设另一根为 \(x_2\)，则 \(3 + x_2 = 2\)，得 \(x_2 = -1\)。法2：将 \(x=3\) 代入求 \(c\)：\(9-6+c=0\)，\(c=-3\)。原方程为 \(x^2-2x-3=0\)，解得另一根为 \(-1\)。

第二关：中考挑战

1. 【解析】无实根则 \(\Delta < 0\)。\(\Delta = 2^2 - 4\times1\times(-k) = 4+4k < 0\)，解得 \(k < -1\)。
2. 【解析】B。开口向上 \(a>0\)；对称轴 \(x=-\frac{b}{2a}<0\)，因 \(a>0\)，故 \(b>0\)；与y轴交点（即 \(x=0\) 时的 \(y\) 值）在负半轴，故 \(c<0\)。因此选C。（注意：题解与选项B的描述不符，需根据图像判断。题目文字描述顶点在第三象限，则对称轴为负，且顶点的y值为负，配合开口向上，可得 \(a>0, b>0, c<0\)，应为C。此处保留解析过程，但答案更正为C）
3. 【解析】交点横坐标为根，即 \(1\) 和 \(-3\) 是方程 \(x^2+bx+c=0\) 的两根。由韦达定理：\(1+(-3)=-b\)，得 \(b=2\)；\(1\times(-3)=c\)，得 \(c=-3\)。
4. 【解析】设两根为 \(x_1, x_2\)，则 \(x_1 - x_2 = 1\)。又 \((x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2\)。由韦达定理：\(x_1+x_2 = m+2\)，\(x_1x_2=2m\)。代入得：\(1^2 = (m+2)^2 - 4\times(2m)\)，化简得 \(m^2 -4m+3=0\)，解得 \(m=1\) 或 \(m=3\)。
5. 【解析】“在x轴上截得的线段长度”即两个零点之间的距离。解 \(x^2-2x-3=0\) 得 \(x_1=-1, x_2=3\)。距离为 \(|3 - (-1)| = 4\)。
6. 【解析】证明 \(\Delta > 0\)。\(\Delta = [-(k+3)]^2 - 4\times1\times k = k^2+6k+9 -4k = k^2+2k+9 = (k+1)^2 + 8\)。因为 \((k+1)^2 \ge 0\)，所以 \(\Delta = (k+1)^2 + 8 \ge 8 > 0\) 恒成立。故方程总有两个不等实根。
7. 【解析】由韦达定理：\(a+b=5, ab=3\)。\(a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2\times3 = 25 - 6 = 19\)。
8. 【解析】顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，\(\Delta = 0\)。\(\Delta = m^2 - 4\times1\times4 = m^2 - 16 = 0\)，解得 \(m = \pm 4\)。
9. 【解析】图象与x轴有交点，即方程 \(-x^2+2x+m=0\) 有实数根，\(\Delta \ge 0\)。\(\Delta = 2^2 - 4\times(-1)\times m = 4+4m \ge 0\)，解得 \(m \ge -1\)。
10. 【解析】分类讨论：①当 \(x \ge 0\)，方程为 \(x^2 - x - 2 = 0\)，解得 \(x=2\) 或 \(x=-1\)（舍去负值），得 \(x=2\)。②当 \(x < 0\)，方程为 \(x^2 + x - 2 = 0\)，解得 \(x=-2\) 或 \(x=1\)（舍去正值），得 \(x=-2\)。故共有2个实数根。

第三关：生活应用

1. 【解析】以拱桥顶点在y轴上建立坐标系。设抛物线方程为 \(y = ax^2 + 4\)。因跨度20米，当 \(x = \pm10\) 时，\(y=0\)。代入 \(0 = a\times(10)^2 + 4\)，解得 \(a = -\frac{1}{25}\)。故表达式为 \(y = -\frac{1}{25}x^2 + 4\) (\(-10 \le x \le 10\))。
2. 【解析】售价降低 \((50-x)\) 元，销量为 \(100 + 10(50-x) = 600 - 10x\) 件。单件利润为 \((x-40)\) 元。∴ \(y = (x-40)(600 - 10x) = -10x^2 + 1000x - 24000\)。令 \(y=2240\)，即 \(-10x^2+1000x-24000=2240\)，化简得 \(x^2 - 100x + 2624=0\)，\(\Delta = 10000 - 10496 = -496 < 0\)，方程无实数根。这意味着日销售利润不可能恰好为2240元，可能是题目数据设置问题，需检查。或者，先求最大利润：\(y = -10(x-50)^2 + 1000\)，最大利润为1000元。因此2240元无法达到。
3. 【解析】以喷口为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。水流轨迹为 \(y = ax^2 + bx + c\)。过 \((0,0)\) 得 \(c=0\)。由“离喷口1米处达最大高度3米”知，顶点为 \((1, 3)\)。故 \(-\frac{b}{2a} = 1\)，且 \(a\times1^2 + b\times1 = 3\)。又过落地点 \((5,0)\)，得 \(25a + 5b = 0\)。联立解方程组：由顶点得 \(b = -2a\)，代入 \(a+b=3\) 得 \(a - 2a =3\)，\(a=-3\)，则 \(b=6\)。验证：\(25\times(-3)+5\times6=-75+30=-45 \ne 0\)，矛盾。说明顶点横坐标应为水平距离中点？重新审题：喷口为原点，最大高度点在 \(x=1\)，落地点在 \(x=5\)，则对称轴应为 \(x=(0+5)/2=2.5\)，与 \(x=1\) 矛盾。因此题目数据可能应为“在离喷口水平距离1米处，水流达到最大高度3米”，且“水流落地点离喷口3米”，这样对称轴为 \(x=1.5\)？为符合常理，我们假设对称轴为 \(x=h\)，且过 \((0,0), (5,0)\)，则对称轴 \(x=2.5\)，顶点为 \((2.5, k)\)。再根据“离喷口1米处高度为3米”这个条件列方程求a。设 \(y = a(x-2.5)^2 + k\)，代入 \((0,0)\)：\(0 = 6.25a + k\)。代入 \((1,3)\)：\(3 = a(1-2.5)^2 + k = 2.25a + k\)。两式相减：\(-3 = 4a\)，\(a = -0.75\)，则 \(k = -6.25a = 4.6875\)。方程为 \(y = -0.75(x-2.5)^2 + 4.6875\)。这是一个自洽的修正。
4. 【解析】设垂直于墙的边长为 \(x\) 米，则平行于墙的边长为 \((24-2x)\) 米。面积 \(S = x(24-2x) = -2x^2 + 24x\)。这是一个二次函数，开口向下，在顶点处取得最大值。顶点横坐标 \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2\times(-2)} = 6\)。此时 \(S_{max} = -2\times6^2 + 24\times6 = 72\)（平方米）。故当宽为6米，长为12米时，面积最大为72平方米。
5. 【解析】高度构成等比数列。初始高度 \(h_0 = 10\)，公比 \(q = \frac{2}{5}\)。第 \(n\) 次触地后反弹的高度为 \(h_n = 10 \times (\frac{2}{5})^n\)。这个函数模型是指数函数 \(h(n) = 10 \times (\frac{2}{5})^n\)，\(n \in \mathbb{N}^*\)。其“零点”意味着高度为0，从数学上看，当 \(n \to \infty\) 时，\(h_n \to 0\)，但永远不会等于0。这体现了极限的思想，在现实中，由于能量损耗，小球最终会停止。