二次函数常数项c的作用详解：抛物线与y轴交点怎么求？深度解析与题型全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：c的作用 原理

• 核心概念：想象一下，抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 就像一个宏伟的拱门，而 \(c\) 就是这个拱门建在地面上的“门槛高度”。当你想知道这个拱门在正中间（也就是在 \(y\) 轴上，\(x=0\)）的位置时，把 \(x=0\) 代入公式：\(y = a\times0^2 + b\times0 + c = c\)。所以，点 \((0, c)\) 就是抛物线与y轴唯一的交点。阿星说：如果 \(c=0\)，门槛高度为0，意味着拱门直接从“原点”这个地面点开始建造；如果 \(c>0\)，门槛是抬高的；如果 \(c<0\)，门槛是向下挖深的。\(c\) 不改变拱门的形状（由 \(a\) 决定）和对称轴位置（由 \(a, b\) 共同决定），它只负责整体“托起”或“按下”整个抛物线。
• 计算秘籍：
  1. 求抛物线与y轴交点：令 \(x=0\)，则 \(y = a(0)^2 + b(0) + c = c\)。交点坐标恒为 \((0, c)\)。
  2. 已知图像过某点求 \(c\)：将点的坐标 \((m, n)\) 代入解析式 \(y=ax^2+bx+c\)，得到关于 \(a, b, c\) 的方程。若该点恰在y轴上或已知 \(a, b\)，则可直接解出 \(c\)。
• 阿星口诀：抛物门前有门槛，c值高低说了算。零过原点负下沉，正数托起上云端。

📐 图形解析

让我们通过图像直观感受“门槛” \(c\) 的作用。以下三个抛物线形状（开口、大小）完全相同，仅 \(c\) 值不同。

从图像可以清晰看到：抛物线 \(y=ax^2+bx+2\) 的“门槛”最高，与y轴交于 \((0,2)\)；\(y=ax^2+bx\) 的“门槛”为0，经过原点；\(y=ax^2+bx-1\) 的“门槛”在地下，与y轴交于 \((0,-1)\)。它们形状一致，只是整体上下平移了。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为 \(c\) 只决定抛物线的“高低”，与其他性质无关。
  ✅ 正解：\(c\) 直接决定函数在 \(x=0\) 时的函数值，这会影响求解析式、判断函数图像经过的象限、以及结合其他条件（如对称轴 \(x=-\frac{b}{2a}\)）解方程求参数。
• ❌ 错误2：在求抛物线与y轴交点时，去解方程 \(ax^2+bx+c=0\)。
  ✅ 正解：牢记y轴上的点，其横坐标 \(x=0\)。所以直接将 \(x=0\) 代入解析式，立刻得到交点 \((0, c)\)，无需解二次方程。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 抛物线 \(y=3x^2-4x+1\) 与y轴的交点坐标是______。
2. 抛物线 \(y=-x^2+5x\) 与y轴的交点坐标是______。
3. 若抛物线 \(y=2x^2-6x+c\) 经过点 \((0, 4)\)，则 \(c=\) ______。
4. 若抛物线 \(y=x^2+bx-3\) 经过点 \((0, -3)\)，则 \(b\) 可以是______（写一个满足的值）。
5. 抛物线 \(y=4x^2-7\) 与y轴的交点坐标是______。
6. 写出一个开口向下且与y轴交于点 \((0, 2)\) 的抛物线解析式：______。
7. 点 \(P(0, -5)\) 在抛物线 \(y=x^2+2x-5\) 上吗？为什么？
8. 抛物线 \(y=ax^2+2x-1\) 与y轴交于点 \((0, -1)\)，则 \(a=\) ______。
9. 将抛物线 \(y=2x^2+3x-1\) 向下平移2个单位，新抛物线的常数项是______。
10. 抛物线 \(y=-\frac{1}{2}x^2+4\) 与y轴的交点在第______象限。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题变式) 若抛物线 \(y=x^2-4x+c\) 的顶点到x轴的距离是2，则 \(c\) 的值为______。
2. 抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) \((a>0)\) 如图所示，判断 \(c\) 的符号______。
   
3. 已知抛物线 \(y=x^2+(m-1)x-m\) 恒过定点，则该定点的坐标是______。
4. 若抛物线 \(y=2x^2-4x+c\) 与直线 \(y=1\) 有且仅有一个公共点，求 \(c\) 的值。
5. 抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 上部分点的横纵坐标对应值如下表，则其与y轴交点的纵坐标是______。
   

   x	-2	-1	0	1	2
   y	5	2	1	2	5

6. 若二次函数 \(y=(k-1)x^2+2x+1\) 的图象与y轴交点的纵坐标大于1，则整数 \(k\) 可取的值是______。
7. 将抛物线 \(y=x^2-2x+3\) 绕其顶点旋转180度，求所得新抛物线的解析式。
8. 已知抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 满足 \(a-b+c=0\) 且 \(a+b+c>0\)，则该抛物线与y轴的交点在______（填“x轴上方”或“x轴下方”）。
9. 抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 与x轴交于 \(A(-1,0)\), \(B(3,0)\)，且经过点 \(C(0,-3)\)，求该抛物线的解析式。
10. 已知抛物线 \(y=x^2-2x+c\) 与坐标轴有两个交点，求 \(c\) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. 一座抛物线形拱桥，桥洞离水面的最大高度为4米，跨度为10米。若以水面为x轴，桥洞对称轴为y轴建立坐标系，拱桥刚好过原点，求该抛物线解析式中的常数项。
2. 投篮时，篮球的运动路线是抛物线。若球在出手点（坐标原点）的离地高度为2米，篮筐中心点坐标为 \((6, 3.05)\)，求该抛物线解析式中表示出手高度的项。
3. 某种商品第 \(t\) 天的销售利润 \(P\)（元）与天数 \(t\) 的关系为 \(P=-t^2+50t+c\)。已知第1天的利润为100元，求常数 \(c\) 并解释其经济意义。
4. 汽车刹车后，滑行距离 \(s\)（米）与时间 \(t\)（秒）的关系为 \(s=at^2+bt\)。若测得刹车后第1秒内滑行了10米，第2秒内滑行了8米，求函数关系式，并解释为什么没有常数项 \(c\)。
5. 公园喷泉喷出的水柱形状可视为抛物线。工程师测得水柱最高点离地2米，落地点离喷口中心4米。若以喷口中心在地面的投影为原点，求描述水柱形状的抛物线解析式中的常数项。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \((0, 1)\)。解析：令 \(x=0\)，\(y=1\)。
2. \((0, 0)\)。解析：令 \(x=0\)，\(y=0\)。
3. \(4\)。解析：经过点 \((0,4)\) 即 \(x=0\) 时 \(y=4\)，所以 \(c=4\)。
4. 任意实数（如 \(0\)）。解析：点 \((0,-3)\) 代入，得 \(-3 = 0 + 0 - 3\)，恒成立，\(b\) 可取任意值。
5. \((0, -7)\)。解析：令 \(x=0\)，\(y=-7\)。
6. 答案不唯一，如 \(y=-x^2+2\)。解析：开口向下需 \(a<0\)，与y轴交于 \((0,2)\) 即 \(c=2\)。
7. 在。解析：点P横坐标为0，代入解析式得 \(y=-5\)，与纵坐标相符。
8. 任意非零实数（题目隐含 \(a \neq 0\)）。解析：交点 \((0,-1)\) 与 \(a\) 无关，只要 \(a \neq 0\)。
9. \(-3\)。解析：向下平移2个单位，解析式变为 \(y=2x^2+3x-1-2 = 2x^2+3x-3\)，常数项为 \(-3\)。
10. 一。解析：交点 \((0,4)\) 在第一象限。

第二关：中考挑战

1. \(6\) 或 \(2\)。解析：顶点纵坐标为 \(\frac{4c-(-4)^2}{4} = c-4\)。依题意 \(|c-4|=2\)，解得 \(c=6\) 或 \(c=2\)。
2. \(c>0\)。解析：图像与y轴交点在x轴上方，故 \(c>0\)。
3. \((1, 0)\)。解析：将解析式重新整理为关于 \(m\) 的方程：\(x^2+x-y + m(x-1)=0\)。令 \(x-1=0\) 即 \(x=1\)，代入得 \(1+1-y=0\)，解得 \(y=2\)。但更直接的方法：因式分解 \(y=(x-1)(x+m)\)，当 \(x=1\) 时，\(y=0\) 与 \(m\) 无关，故定点为 \((1,0)\)。（原计算有误，已修正）
4. \(c=3\)。解析：联立方程 \(2x^2-4x+c=1\)，得 \(2x^2-4x+(c-1)=0\)。有且仅有一个公共点，则判别式 \(\Delta = (-4)^2 - 4\times2\times(c-1)=0\)，解得 \(c=3\)。
5. \(1\)。解析：表中当 \(x=0\) 时，\(y=1\)，即为与y轴交点纵坐标。
6. \(k=2\)。解析：与y轴交点纵坐标为 \(1\)（令 \(x=0\)）。题目要求大于1，即 \(1>1\)，矛盾。故原题可能为“图象与y轴交点的纵坐标”就是 \(c=1\)，若要求大于1则无解。若将函数改为 \(y=(k-1)x^2+2x+(k+1)\)，则交点为 \((0, k+1)\)，由 \(k+1>1\) 得 \(k>0\)，且 \(k-1 \neq 0\)，整数 \(k\) 可取 \(2,3,4,...\)。
7. \(y=-x^2+2x+1\)。解析：原抛物线顶点为 \((1,2)\)。绕顶点旋转180度，开口方向改变，形状不变。新抛物线可视为将原抛物线关于顶点对称。设新抛物线为 \(y'=a'(x-1)^2+2\)，且 \(a' = -a = -1\)，故为 \(y=-(x-1)^2+2 = -x^2+2x+1\)。
8. x轴上方。解析：由 \(a-b+c=0\) 得 \(x=-1\) 时 \(y=0\)。由 \(a+b+c>0\) 得 \(x=1\) 时 \(y>0\)。抛物线对称轴可能在y轴左侧或右侧，但 \(x=0\) 时 \(y=c\)。取特值法，或结合对称性分析，可知 \(c>0\)，故交点在x轴上方。
9. \(y=x^2-2x-3\)。解析：由交点 \(A(-1,0), B(3,0)\)，设交点式 \(y=a(x+1)(x-3)\)。代入 \(C(0,-3)\) 得 \(-3 = a(0+1)(0-3)\)，解得 \(a=1\)。故解析式为 \(y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3\)。
10. \(c=0\) 或 \(c=1\)。解析：与坐标轴有两个交点，分情况：① 与x轴一个交点（顶点在x轴上），与y轴一个交点（但重合于原点），此时 \(\Delta=4-4c=0\) 得 \(c=1\)，交点为 \((1,0)\) 和 \((0,1)\)（不同）。② 与x轴两个交点，且过原点 \((0,0)\)，代入得 \(c=0\)，此时与x轴交于 \((0,0)\) 和 \((2,0)\)，与y轴交于原点，共三个交点？注意：当 \(c=0\) 时，抛物线与y轴交于原点 \((0,0)\)，与x轴也交于原点，这一点被重复计算，所以整个抛物线与坐标轴的交点只有两个不同的点：\((0,0)\) 和 \((2,0)\)。所以 \(c=0\) 符合。③ 与x轴无交点，只与y轴有一个交点，但此时总交点数为1，不符合。综上，\(c=0\) 或 \(c=1\)。

第三关：生活应用

1. \(0\)。解析：以水面为x轴，且拱桥过原点，即点 \((0,0)\) 在抛物线上，故常数项为 \(0\)。
2. \(2\)。解析：出手点为原点 \((0,0)\)，但题目说“出手点的离地高度为2米”，这意味着坐标系原点可能不在地面。假设以出手点正下方的地面点为原点，出手点坐标为 \((0, 2)\)。那么抛物线过 \((0,2)\)，故常数项为 \(2\)，即出手高度。
3. \(c=51\)。解析：第1天 \(t=1\)，利润 \(P=100\)。代入得 \(100 = -1 + 50 + c\)，解得 \(c=51\)。经济意义：\(c\) 可以理解为与天数无关的固定基础利润或初始投入成本（在本题语境下，代入第0天 \(t=0\) 得 \(P=51\)，可解释为初始状态下的某种利润或成本）。
4. \(s= -t^2 + 11t\)。解析：由题意，\(t=1\) 时 \(s=10\)；\(t=2\) 时 \(s=10+8=18\)。代入 \(s=at^2+bt\) 得方程组：\(a+b=10\)， \(4a+2b=18\)。解得 \(a=-1, b=11\)。没有常数项 \(c\) 是因为当时间 \(t=0\) 时，滑行距离 \(s\) 必然为 \(0\)（刚开始刹车），这符合物理事实，所以 \(c=0\)。
5. \(0\)。解析：以喷口中心在地面的投影为原点，则喷口在地面的投影点坐标为 \((0,0)\)，且该点在水柱轨迹上（是水柱的起点或对称点？通常这是落地点或发射点）。根据描述“落地点离喷口中心4米”，若喷口本身有高度，则原点不是喷口。更合理的解释：以投影为原点，则地面为x轴，水柱轨迹与x轴交于 \((-2,0)\) 和 \((2,0)\)（因为跨度4米）。最高点 \((0,2)\)。设 \(y=a(x-2)(x+2)\)，代入 \((0,2)\) 得 \(2=a(-4)\)，\(a=-\frac{1}{2}\)。解析式为 \(y=-\frac{1}{2}(x^2-4)=-\frac{1}{2}x^2+2\)。常数项为 \(2\)，表示原点处的水柱高度？这与“投影为原点”似乎矛盾。若喷口在地面，则常数项为0；若喷口离地，则常数项大于0。题目表述需更精确。根据“拱桥”模型，常见设拱顶在y轴，拱脚在x轴，此时常数项为0（水面）。本题类似，若视喷口为发射点且有一定高度，则原点不应是投影。根据“工程师测得”的通常建模习惯，以投影为原点时，地面点 \((0,0)\) 是水柱落地点之一（如果喷口水乎方向喷出），则常数项为0。若水柱从地面喷出，常数项为0。