二次函数中b的作用是什么？左同右异判断对称轴位置深度解析专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：b的作用 原理
- 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊二次函数 \( y=ax^2+bx+c \) 里的“神秘嘉宾” \( b \)。很多同学觉得它神出鬼没，其实它的作用可简单了——它和 \( a \) 一起，决定了抛物线对称轴的“家庭住址”！想象一下，对称轴 \( x=-\frac{b}{2a} \) 是一个性格随和的“中立者”，它听 \( a \) 和 \( b \) 两个“发令官”的话。关键是看这两个发令官的“符号”是朋友还是敌人。左同右异： 如果 \( a \) 和 \( b \) 同号（都是正或都是负），它们“关系好”，对称轴就乖乖呆在 \( y \) 轴的左边；如果 \( a \) 和 \( b \) 异号（一正一负），它们“闹矛盾”，对称轴就被挤到 \( y \) 轴的右边。如果 \( b=0 \)，那它就是“隐形人”，对称轴没人打扰，正好就是 \( y \) 轴自己（\( x=0 \)）。所以，判断对称轴位置，不用死记公式，看一眼 \( a \) 和 \( b \) 的符号就够了！
- 计算秘籍：
- 先写出对称轴公式：\( x=-\frac{b}{2a} \)。
- 观察 \( a \) 和 \( b \) 的符号：同号（\( ab>0 \)）→ 公式中负号不变，分子分母同号，结果为负 → 对称轴在 \( y \) 轴左侧（\( x<0 \)）。异号（\( ab<0 \)）→ 公式中负号不变，分子分母异号，结果为正 → 对称轴在 \( y \) 轴右侧（\( x>0 \)）。\( b=0 \) → 公式为 \( x=0 \) → 对称轴就是 \( y \) 轴。
- 快速判断：心中默念“左同，右异，b零居中”。
- 阿星口诀：对称轴住哪儿？a、b符号定乾坤。同号携手左边站，异号分家右边蹲，b若归零轴中心。
📐 图形解析
下图展示了在 \( a>0 \) 的情况下，\( b \) 的符号变化如何影响对称轴的位置，完美诠释“左同右异”。
图形说明：当二次项系数 \( a>0 \) 时，三条抛物线开口都向上。
- 蓝色曲线：\( a>0, b>0 \)（同号），对称轴 \( x=-\frac{b}{2a}<0 \)，在y轴左侧。
- 绿色曲线：\( a>0, b=0 \)，对称轴 \( x=0 \)，即y轴本身。
- 橙色曲线：\( a>0, b<0 \)（异号），对称轴 \( x=-\frac{b}{2a}>0 \)，在y轴右侧。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：只看 \( b \) 的符号判断对称轴左右。例如，认为 \( b>0 \) 对称轴就在右。
✅ 正解：必须结合 \( a \) 的符号，依据“左同右异”规则判断。\( b>0 \) 时，若 \( a>0 \)（同号）则在左，若 \( a<0 \)（异号）则在右。 - ❌ 错误2：记忆对称轴公式 \( x=-\frac{b}{2a} \) 时，将分子分母位置记反，写成 \( x=-\frac{2a}{b} \)。
✅ 正解：对称轴公式的分母是 \( 2a \)，分子是 \( b \)，且前面有负号。可以联想二次函数标准式 \( y=ax^2+bx+c \)，\( b \) 在中间，所以它在分子上。
🔥 三例题精讲
例题1：不经过计算，判断下列二次函数图象的对称轴位于y轴的左侧、右侧还是与y轴重合？
(1) \( y=2x^2+3x+1 \)
(2) \( y=-x^2+5x-4 \)
(3) \( y=3x^2-7 \)
📌 解析：
(1) \( a=2>0 \)， \( b=3>0 \)。\( a \) 与 \( b \) 同号，根据“左同右异”，对称轴在y轴左侧。
(2) \( a=-1<0 \)， \( b=5>0 \)。\( a \) 与 \( b \) 异号，根据“左同右异”，对称轴在y轴右侧。
(3) \( a=3>0 \)， \( b=0 \)。根据口诀“b若归零轴中心”，对称轴与y轴重合。
✅ 总结：心法就是“左同右异b零中”，无需计算 \( -\frac{b}{2a} \) 的具体数值，快速定性判断。
例题2：已知二次函数 \( y=ax^2+bx+c \) (\( a \neq 0 \)) 的图象如下图所示，判断 \( a \) 和 \( b \) 的符号。
📌 解析：
1. 看图说话：抛物线开口向下，所以 \( a < 0 \)。
2. 定位对称轴：图中虚线为对称轴，位于y轴左侧。
3. 应用口诀：对称轴在左，说明 \( a \) 与 \( b \) 同号。
4. 综合判断：因为 \( a<0 \) 且 \( a \) 与 \( b \) 同号，所以 \( b < 0 \)。
✅ 总结：解这类题，顺序是关键：“先看开口定a符，再看左右判同异，最后结合得b符”。
例题3：已知抛物线 \( y=x^2-2ax+a^2-1 \) 的对称轴在y轴的右侧，求实数 \( a \) 的取值范围。
📌 解析：
1. 识别系数：函数为 \( y=x^2-2ax+a^2-1 \)，可知 \( a_{\text{二次项}}=1>0 \)， \( b=-2a \)。（注意：这里的 \( a \) 是参数，容易混淆，我们称参数为 \( m \) 更好：\( y=x^2-2mx+m^2-1 \)， 则 \( a=1, b=-2m \)）
2. 应用条件：对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”，说明 \( a \) 与 \( b \) 异号。即 \( ab < 0 \)。
3. 代入计算：\( a=1 \)， \( b=-2m \)，所以 \( 1 \times (-2m) < 0 \)。
4. 解不等式：\( -2m < 0 \) → \( m > 0 \)。
所以，实数 \( a \)（即 \( m \) ）的取值范围是 \( a > 0 \)。
✅ 总结：当题目中含有参数时，首要任务是正确识别标准二次项系数 \( a \) 和一次项系数 \( b \)，将“对称轴位置”的条件翻译成 \( a \) 与 \( b \) 符号关系的数学不等式。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 判断对称轴位置：\( y=3x^2+6x-2 \)
- 判断对称轴位置：\( y=-2x^2+4x+1 \)
- 判断对称轴位置：\( y=-x^2-5x \)
- 判断对称轴位置：\( y=\frac{1}{2}x^2-3 \)
- 若 \( y=ax^2+bx \) 对称轴为y轴，则 \( a, b \) 关系是？
- 抛物线 \( y=4x^2-8x+7 \) 的对称轴在y轴哪一侧？
- 已知 \( a>0, b<0 \)，则 \( y=ax^2+bx+c \) 对称轴在？
- 已知 \( a<0, b<0 \)，则 \( y=ax^2+bx+c \) 对称轴在？
- 函数 \( y=(k-1)x^2+2x \) 的对称轴是y轴，求 \( k \)。
- 根据“左同右异”，若对称轴在右，且 \( a>0 \)，则 \( b \) ___ 0。（填 >, <, =）
第二关：中考挑战（10道）
- (中考真题) 二次函数 \( y=ax^2+bx+c \) 的图象如图所示，则一次函数 \( y=bx+a \) 的图象大致是（ ）。【此处描述图像：开口向上，对称轴在y轴左侧】
- 已知抛物线 \( y=ax^2-2x+1 \) (\( a \neq 0 \)) 的对称轴在y轴左侧，则 \( a \) 的取值范围是______。
- 若点 \( A(2, m) \), \( B(6, m) \) 都在抛物线 \( y=x^2+bx+c \) 上，则该抛物线的对称轴是直线 \( x= \) ______。
- 已知 \( ab<0 \)，则函数 \( y=ax^2 \) 与 \( y=ax+b \) 在同一坐标系中的图象可能是（ ）。
- 抛物线 \( y=x^2+bx+c \) 的对称轴为直线 \( x=1 \)，且经过点 \( (-1, 0) \)，则 \( b+c= \) ______。
- 对于二次函数 \( y=-2x^2+4x-5 \)，下列说法正确的是（ ）A.对称轴在y轴右侧 B.有最大值 C.顶点在第一象限 D.与y轴交于负半轴
- 若抛物线 \( y=x^2-2x+m \) 与x轴有两个交点，且交点都在y轴右侧，则m的取值范围是______。
- 已知 \( y=(t-1)x^2+(t+1)x+1 \) 是关于x的二次函数，其图象恒过定点 ______。
- 如图，抛物线 \( y=ax^2 \) 与直线 \( y=bx+c \) 的两个交点分别为 \( A(-1, m) \), \( B(2, n) \)，则不等式 \( ax^2 > bx+c \) 的解集是______。【需配简图示意抛物线开口向上，与直线两交点】
- 已知二次函数 \( y=ax^2+bx+c \) 中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x -1 0 1 2 3 y 10 5 2 1 2 该函数图象的对称轴是直线 \( x= \) ______。
第三关：生活应用（5道）
- （桥拱问题）一座抛物线形拱桥，桥洞离水面的最大高度为4米，跨度为10米。以桥洞顶部为坐标原点建立直角坐标系，如图所示。求该抛物线对应的函数解析式，并判断其对称轴位置。
- （喷泉问题）广场上的一个喷泉，喷出的水柱形状可近似看作抛物线。测量发现，水柱最高点离地面2米，在离喷口水平距离1米处达到最高，喷口离地面0.5米。求水柱所在抛物线的解析式，并说明其对称轴。
- （利润问题）某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每天可卖出300件。市场调查发现：售价每降低1元，每天可多卖出20件。设降价 \( x \) 元，每天利润为 \( y \) 元。写出 \( y \) 关于 \( x \) 的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？此时函数的对称轴有什么实际意义？
- （隧道问题）某隧道的截面由抛物线和矩形构成（如图）。隧道顶部抛物线拱高为6米，路面宽 \( AB \) 为12米，矩形边 \( AD \) 高4米。以 \( AB \) 的中点为原点建立坐标系，求抛物线部分的函数解析式，并指出其对称轴。
- （投篮问题）篮球运动员投篮，篮球出手后运动的路线近似为抛物线。以篮筐中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系。测得篮球在离篮筐水平距离2米处到达最高点3.5米，篮筐高3.05米。求篮球运动轨迹的抛物线解析式（不考虑空气阻力），并判断其对称轴与y轴的位置关系。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：b的作用 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点主要在于混淆与抽象。第一，容易把参数 \( a, b, c \) 和变量 \( x, y \) 混淆。第二，单独记忆对称轴公式 \( x=-\frac{b}{2a} \) 是抽象的，学生不理解为什么它决定了位置。“左同右异”口诀将抽象的符号运算与直观的图形位置（左、右）绑定，降低了思维难度。第三，在动态函数（如含参数）或综合题中，无法灵活应用规则。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是函数性质分析的核心基础。1. 高中衔接： 为高中学习更复杂的函数（如指数、对数复合函数）的对称性（如轴对称 \( f(a-x)=f(a+x) \) 则对称轴为 \( x=a \)）打下直观基础。2. 数形结合： 深刻理解“系数决定图形特征”，这是解析几何的重要思想。3. 优化思想： 求顶点（最值）问题本质上就是找到对称轴 \( x=-\frac{b}{2a} \)，这是未来学习导数求极值前的重要铺垫。理解 \( b \) 的变化如何影响顶点横坐标，就是理解变量如何影响最优解。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：对于涉及对称轴位置的定性判断问题，请严格遵循以下三步法：
1. 定a符： 看开口方向，上正下负，定 \( a \) 符号。
2. 看左右： 看对称轴（或根据条件）相对于y轴的位置。
3. 用口诀： 将前两步信息代入“左同右异”，得出结论。例如，开口向上 (\( a>0 \))，对称轴在左 → “左同” → \( b>0 \)。
这个“看-想-判”的流程，能解决90%的相关选择题和填空题。
答案与解析
第一关：基础热身
- \( a=3>0, b=6>0 \)，同号在左。
- \( a=-2<0, b=4>0 \)，异号在右。
- \( a=-1<0, b=-5<0 \)，同号在左。
- \( a=\frac{1}{2}>0, b=0 \)，b=0，在y轴。
- 对称轴为y轴即 \( x=0 \)，代入公式 \( 0=-\frac{b}{2a} \)，得 \( b=0 \)。关系是 \( b=0 \)。
- \( a=4>0, b=-8<0 \)，异号在右。
- \( a>0, b<0 \) 异号，在右。
- \( a<0, b<0 \) 同号，在左。
- 对称轴是y轴，则 \( b=0 \)。此处 \( b=2 \)，但要求 \( b=0 \)？注意解析：对称轴是y轴，即 \( x=-\frac{b}{2a}=0 \)，所以 \( b=0 \)。此处 \( a=k-1, b=2 \)，所以 \( 2=0 \) 不成立。正确解法：由 \( -\frac{2}{2(k-1)}=0 \)，分子为0？不对。应令一次项系数 \( b=2=0 \)，无解。若函数是 \( y=(k-1)x^2+2x \)，对称轴是y轴，则必须满足 \( b=2=0 \)，这是不可能的。所以原题可能意在考察 \( b=0 \) 的条件，此处是一个错题或陷阱。正解思路应为：若对称轴是y轴，则一次项系数 \( b \) 必须为0。本题 \( b=2 \neq 0 \)，故不存在这样的 \( k \)。为训练目的，答案可写“无解”或“k不存在”。
- 对称轴在右，且 \( a>0 \)（异号），故 \( b < 0 \)。
第二关 & 第三关解析（略版框架）： 因篇幅所限，提供关键点。
第二关1： 开口上 \( a>0 \)，对称轴左 \( a, b \) 同号 → \( b>0 \)。所以 \( y=bx+a \) 是斜率、截距均正的一次函数，图象过一、二、三象限。
第二关2： \( a=a, b=-2 \)。对称轴在左，则 \( a, b \) 同号 → \( a \) 与 \( -2 \) 同号 → \( a<0 \)。且 \( a \neq 0 \)，所以 \( a<0 \)。
第三关1： 以拱顶为原点，设 \( y=ax^2 \)。点 \( (5, -4) \) 在图上，代入得 \( a=-\frac{4}{25} \)。解析式 \( y=-\frac{4}{25}x^2 \)。对称轴为 \( x=0 \) (y轴)。
第三关3： \( y=(60-40-x)(300+20x) = (20-x)(300+20x) = -20x^2+100x+6000 \)。化为 \( y=-20(x-2.5)^2+6125 \)。对称轴 \( x=2.5 \)，实际意义为：降价2.5元时，利润达到最大。售价为 \( 60-2.5=57.5 \) 元。
（注：为控制篇幅，以上仅展示部分解析，完整详细解析可另行提供。）
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