枚举法树形图解题技巧：小学奥数计数问题专项练习与答案解析-PDF下载

💡 阿星精讲：枚举法：树形图 原理

• 核心概念：想象一下，你是个预言家，要预测接下来几场球赛的所有胜负可能。这就像站在一棵神奇的“可能性大树”下。树根是“现在”，第一场比赛有两个结果（胜、负），就长出两根“树枝”。第二场比赛，每根树枝又会再分叉出两个新结果。这样一层层画下去，就像大树开枝散叶，所有可能的比赛结果都清清楚楚地挂在枝头，一个都不会漏掉！这就是树形图枚举法，把看不见的“可能性”，变成看得见的“路线图”。
• 计算秘籍：
  1. 定起点（树根）：明确要枚举的初始状态。比如，“比赛即将开始”。
  2. 画分支（树枝）：分析第一步有几种选择，就画出几根树枝。每场比赛有 \(2\) 种结果（胜/负），所以第一层就有 \(2\) 条分支。
  3. 层层长（分层）：在第一步的每一个结果下，继续分析第二步的选择，并画出分支。如果有 \(n\) 场比赛，树就有 \(n\) 层。
  4. 数叶子（结果）：所有分支的终点（树叶），就是全部的可能结果。总结果数等于各层分支数的乘积。\(n\) 场独立的两结果比赛，总可能性为 \(2^n\) 种。
• 阿星口诀：“事件分步走，树根是开头。一层一岔路，枝叶数全有。”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：重复或遗漏计数。 画图时顺序混乱，比如先考虑“胜负”，又考虑“负胜”，以为是不同情况。 → ✅ 正解：定序分层。 严格按照事件发生的固定顺序（如第一场、第二场…）来画树形图，保证每条路径唯一。
• ❌ 错误2：混淆“分支数”与“总结果数”。 直接拿每一层的分支数相加。 → ✅ 正解：步步相乘。 总结果数等于各步骤可能性数量的乘积，即乘法原理。例如 \(3\) 场比赛，每场 \(2\) 种结果，总数是 \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\) 种，不是 \(2+2+2=6\) 种。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 阿星和火火猜拳（石头、剪刀、布）两次，列出所有可能的出手组合。
2. 一场比赛有“胜”、“平”、“负”三种结果，预测两场比赛的所有结果组合。
3. 从3个不同奖品中选2个送给两个人（每人一个，可重复），有多少种送法？
4. 用1, 2, 3三张数字卡片能组成多少个不同的两位数？
5. 小红出门穿衣，有2件上衣和3条裤子可选，有多少种搭配？
6. 抛一枚硬币三次，列出所有正反面出现的顺序。
7. 从A地到B地有2条路，从B地到C地有3条路，从A地经B地到C地有几种走法？
8. 一个四局三胜制的比赛（赢三局结束），最多进行4局。用树形图表示所有可能局数（4局内）的比赛进程。
9. 小明早餐从包子、油条中选一种，饮料从豆浆、牛奶中选一种，共有几种套餐？
10. 掷一个骰子两次，第一次点数大于第二次点数的情况有多少种？（用树形图思考）

第二关：奥数挑战（10道）

1. 甲、乙、丙三人下象棋，每两人之间赛一场，没有平局。比赛结果可能出现多少种不同的胜负关系？（不考虑具体比分，只考虑谁赢了谁）
2. 用0, 1, 2, 3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
3. 一个楼梯有6级台阶，每次可以迈1级或2级，登上第6级有多少种不同的走法？
4. 五支球队进行单循环赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分。比赛结束后，所有球队的得分总和是多少？用树形图思路验证一种可能情况。
5. 从写有1, 2, 3, 4的四张卡片中依次取出两张，组成一个两位数。如果第一次取出的卡片放回，第二次再取，组成的两位数有多少个？如果不放回呢？
6. 甲、乙、丙、丁四人站成一排拍照，甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种站法？（用树形图分步思考）
7. 一个密码锁的密码由两个字母（A或B）后接两个数字（0-9）组成，例如AB12。有多少种可能的密码？
8. 三局两胜制比赛中，选手A每局获胜的概率是 \( \frac{2}{3} \)，用树形图列出A赢得比赛的所有可能路径，并计算其概率。
9. 有红、黄、蓝三面旗帜，每次升一面、两面或三面（顺序从上到下），共可以发出多少种不同的信号？
10. 从5名学生中选出2人分别担任正、副组长，有多少种选法？

第三关：生活应用（5道）

1. （AI路径规划）一个扫地机器人从客厅中心出发，要依次清扫卧室、厨房和书房（顺序固定），每个房间都有2个入口/出口可选。机器人从客厅到卧室有2条路径，从卧室到厨房有3条路径，从厨房到书房有2条路径。它完成整个清扫任务有多少种不同的行走路线？
2. （网购决策）你想买一部新手机，需要在品牌（苹果、华为、小米）和颜色（黑、白、银）中做出选择，并且决定是否购买碎屏险（买或不买）。你总共面临多少种不同的购买方案？
3. （航天发射）一次火箭发射任务，关键阶段分为：一级分离（成功/失败）、二级点火（成功/失败）、载荷部署（成功/失败）。假设每个阶段只有两种结果，且前一阶段失败则任务终止。用树形图表示这次任务所有可能的过程结果。
4. （密码安全）一个简单的密码由4位组成，每一位都可以是0-9的数字或a-z的小写字母。一位黑客用程序尝试所有组合（暴力破解）。请你计算，最多需要尝试多少次？（用树形图或乘法原理想象这个过程）
5. （交通预测）早高峰时段，阿星从家到公司会经过3个主要路口。每个路口遇到红灯的概率是独立的，且假设只有“通过”或“等待一次红灯”两种情况。请描述，用树形图如何预测他遇到0次、1次、2次、3次红灯的所有可能通勤情景。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. \( (石头,石头), (石头,剪刀), (石头,布), (剪刀,石头), (剪刀,剪刀), (剪刀,布), (布,石头), (布,剪刀), (布,布) \)，共 \(3 \times 3 = 9\) 种。
2. 共 \(3 \times 3 = 9\) 种。
3. 第一个人有 \(3\) 种选择，第二个人也有 \(3\) 种选择，共 \(3 \times 3 = 9\) 种。
4. 十位有 \(3\) 种选择，个位有 \(2\) 种选择（因为数字不同），共 \(3 \times 2 = 6\) 个。
5. \(2 \times 3 = 6\) 种。
6. \( (正,正,正), (正,正,反), (正,反,正), (正,反,反), (反,正,正), (反,正,反), (反,反,正), (反,反,反) \)，共 \(2^3=8\) 种。
7. \(2 \times 3 = 6\) 种。
8. （图略）可能进程：3局结束（AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB中的6种，因为谁先赢三局谁赢），或4局结束（如AABB等，需前三局打成2:1）。
9. \(2 \times 2 = 4\) 种。
10. 列表或树形图：共有 \(6 \times 6 = 36\) 种等可能情况。其中第一次>第二次的有：\( (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) \)，共 \(15\) 种。

第二关：奥数挑战
1. 三场比赛：AB, AC, BC。每场有2种结果，总关系有 \(2^3=8\) 种。
2. 个位是0或2。个位为0时，百位有3种选（1,2,3），十位有2种选，共 \(3 \times 2=6\) 个。个位为2时，百位有2种选（1,3，不能是0），十位有2种选（0和剩下的1个），共 \(2 \times 2=4\) 个。总计 \(6+4=10\) 个。
3. 走法数符合斐波那契数列：1级:1种，2级:2种，3级:3种，4级:5种，5级:8种，6级:13种。
4. 单循环赛共 \(C_5^2=10\) 场比赛。无论胜负平，每场比赛双方得分之和总是 \(2\) 分（胜/负：2+0=2；平：1+1=2）。所以总分为 \(10 \times 2 = 20\) 分。
5. 放回：\(4 \times 4 = 16\) 个。不放回：\(4 \times 3 = 12\) 个。
6. 所有站法：\(4! = 24\) 种。甲在排头：\(1 \times 3! = 6\) 种。乙在排尾：\(3! \times 1 = 6\) 种。甲在排头且乙在排尾：\(1 \times 2! \times 1 = 2\) 种。由容斥原理，符合条件的有：\(24 - 6 - 6 + 2 = 14\) 种。
7. \(2 \times 2 \times 10 \times 10 = 400\) 种。
8. A赢的路径：2:0 (AA)，或2:1 (ABA, BAA)。概率：\( (\frac{2}{3})^2 + C_2^1 \times (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9} + 2 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27} \)。
9. 升一面：\(3\) 种。升两面：先选两面 \(C_3^2=3\)，再排序 \(2!\)，共 \(3 \times 2=6\) 种。升三面：全排列 \(3! = 6\) 种。总计 \(3+6+6=15\) 种。
10. 先选正组长：\(5\) 种，再选副组长：\(4\) 种，共 \(5 \times 4 = 20\) 种。

第三关：生活应用
1. \(2 \times 3 \times 2 = 12\) 种。
2. \(3 \times 3 \times 2 = 18\) 种。
3. （图略）任务结果：成功（S,S,S）；部分成功（S,S,F；S,F；F）。
4. 每一位有 \(10+26=36\) 种选择，4位密码，最多尝试 \(36^4 = 1,679,616\) 次。
5. 每个路口是一个独立分支（通过G，红灯R）。三层树，共有 \(2^3=8\) 种情景。0次红灯：1种(GGG)；1次红灯：3种(RGG, GRG, GGR)；2次红灯：3种(RRG, RGR, GRR)；3次红灯：1种(RRR)。