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六年级工程问题：轮流做题型解析与专项练习-PDF下载

适用年级

六年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：工程问题：轮流做 原理

  • 核心概念：想象一下，甲和乙不是在干活，而是在合唱一首歌！甲唱1小时，乙唱1小时，如此循环。阿星说，这不就是一首由“甲+乙”组成的“二重唱”吗？这个“二重唱”就是一个周期。我们解题的第一步，就是看看整首“工程之歌”里，能完整地唱几遍这个“二重唱”（周期）。剩下的零头部分，再单独看看轮到谁唱（谁做）。所以，核心思想是：化乱为序，打包成“周期”！
  • 计算秘籍：
    1. 求工作效率：设总工程量为 \(1\)。甲单独完成需 \(a\) 小时，则效率为 \(\frac{1}{a}\)。乙单独完成需 \(b\) 小时，则效率为 \(\frac{1}{b}\)。
    2. 算周期效率与时长：一个周期（如甲1小时+乙1小时）完成的工作量是 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)。一个周期的时长为 \(2\) 小时。
    3. 试除求整周期数：用总工程量 \(1\) 除以一个周期的工作量，看包含几个完整周期。
      \( \text{周期数} = 1 \div (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \)，结果通常不是整数。
    4. 处理“余数”：取上述周期数的整数部分 \(n\)。先做 \(n\) 个完整周期，完成工作量 \(n \times (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})\)。剩下的工程量为 \(1 - n \times (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})\)。然后按顺序判断剩余工作量由谁、用多久完成。
  • 阿星口诀：工作轮流像唱歌，甲乙打包找周期。周期分数是整数，余活单独要处理。

周期1 (甲+乙) 周期2 (甲+乙) … 余数 (甲？乙？)

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：算出周期数 \(n = 3.2\)，直接认为总时间是 \(3.2 \times 2 = 6.4\) 小时。
    ✅ 正解：周期数必须取整数部分！\(3.2\) 个周期意味着有 \(3\) 个完整周期，和 \(0.2\) 个周期的工作量剩余。这 \(0.2\) 个周期的工作量需要按顺序（接下来轮到甲还是乙）单独计算完成时间。
  • ❌ 错误2：剩余工作量计算后，假设轮到甲做，直接用剩余工作量除以甲的效率 \(\frac{1}{a}\)，得出时间后直接加上。
    ✅ 正解：必须检查这个时间是否超过了甲在本轮次中规定的工作时长！例如，如果规则是“甲做1小时，乙做1小时”，剩余工作甲用了 \(0.8\) 小时做完，那总时间就是 \(3 \times 2 + 0.8\)。但如果算出来甲需要 \(1.2\) 小时，那甲在自已的 \(1\) 小时时段内没做完，剩下的要交给下一个轮次的乙继续做，情况更复杂。

🔥 三例题精讲

例题1：一项工程，甲单独完成需要 \(10\) 小时，乙单独完成需要 \(15\) 小时。现在两人轮流工作，每人工作 \(1\) 小时，交替进行。完成这项工程共需要多少小时？

📌 解析：

  1. 甲效率：\(\frac{1}{10}\)，乙效率：\(\frac{1}{15}\)。
  2. 一个周期（甲1小时+乙1小时）工作量：\(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\)。周期时长：\(2\) 小时。
  3. 总工作量 \(1\) 包含的周期数：\(1 \div \frac{1}{6} = 6\)（个）。发现正好是整数！
  4. 因为 \(6\) 是整数，说明正好做完 \(6\) 个完整周期后，工程完工。总时间：\(6 \times 2 = 12\)（小时）。

✅ 总结：当总工作量正好是周期工作量的整数倍时，最简单！直接“周期数×周期时长”。

例题2：一项工程，甲单独完成需要 \(12\) 小时，乙单独完成需要 \(18\) 小时。现在两人轮流工作，每人工作 \(1\) 小时，由甲先开始。完成这项工程共需要多少小时？

📌 解析：

  1. 甲效率：\(\frac{1}{12}\)，乙效率：\(\frac{1}{18}\)。
  2. 一个周期（甲1小时+乙1小时）工作量：\(\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}\)。
  3. 总工作量 \(1\) 包含的周期数：\(1 \div \frac{5}{36} = \frac{36}{5} = 7.2\)（个）。取整数部分：\(7\) 个完整周期。
  4. \(7\) 个周期完成工作量：\(7 \times \frac{5}{36} = \frac{35}{36}\)。剩余工作量：\(1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}\)。
  5. 工作顺序：甲→乙→甲→乙... 做完 \(7\) 个周期（共 \(14\) 小时）后，接下来轮到甲工作。
  6. 甲做剩余 \(\frac{1}{36}\) 需要时间：\(\frac{1}{36} \div \frac{1}{12} = \frac{1}{36} \times 12 = \frac{1}{3}\)（小时），即 \(20\) 分钟。
  7. 总时间：\(14 + \frac{1}{3} = 14\frac{1}{3}\)（小时）。

✅ 总结：周期数非整数是常态！牢记“取整→算余→按顺序分配余活”。

例题3：一个水池，甲管单独灌满需 \(6\) 小时，乙管单独灌满需 \(8\) 小时，丙管单独排空需 \(12\) 小时。池子为空，现在按甲、乙、丙的顺序轮流各开 \(1\) 小时。几小时后水池第一次被灌满？

📌 解析：

  1. 甲效（灌）：\(\frac{1}{6}\)，乙效（灌）：\(\frac{1}{8}\)，丙效（排）：\(-\frac{1}{12}\)。
  2. 一个周期（甲1小时+乙1小时+丙1小时）的净工作量：\(\frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} - \frac{2}{24} = \frac{5}{24}\)。周期时长：\(3\) 小时。
  3. 关键：目标是“第一次灌满”，即总工作量达到 \(1\)。但直接 \(1 \div \frac{5}{24} = 4.8\) 个周期？小心！ 在最后一个周期中，可能不需要等到丙排水就已经满了。
  4. 试算：做 \(4\) 个完整周期（共 \(12\) 小时）后，完成工作量：\(4 \times \frac{5}{24} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}\)。剩余需灌水量：\(1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\)。
  5. 接下来轮到甲开 \(1\) 小时。甲 \(1\) 小时可灌 \(\frac{1}{6}\)，正好完成！
  6. 因此，总时间为：\(4 \times 3 + 1 = 13\)（小时）。

✅ 总结：对于有“反向”操作（如排水）的轮流问题，要警惕在周期中途提前达成目标，必须逐步验算。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 打印一份稿件，甲打印机单独打需 \(5\) 小时，乙需 \(8\) 小时。两人轮流打 \(1\) 小时，甲先开始。几小时打完？
  2. 搬一堆砖，哥哥单独搬完要 \(4\) 小时，弟弟要 \(6\) 小时。两人轮流搬 \(0.5\) 小时，哥哥先搬。多久搬完？
  3. 完成一项编程任务，A程序员要 \(20\) 小时，B要 \(30\) 小时。轮流工作 \(2\) 小时，A先做。需要多长时间？
  4. 给一块地浇水，水管甲单独灌满要 \(3\) 小时，水管乙要 \(4\) 小时。轮流开 \(1\) 小时，乙先开。多久灌满？
  5. 一项数据录入工作，甲员效率是乙员的 \(1.5\) 倍。已知乙单独做要 \(12\) 小时。两人轮流做 \(1\) 小时，甲先做。求总时间。
  6. 抄写一篇课文，甲生抄完要 \(90\) 分钟，乙生要 \(120\) 分钟。轮流抄 \(15\) 分钟，甲先抄。共需多少分钟？
  7. 制作一批手工，甲组每小时做 \(\frac{1}{10}\)，乙组每小时做 \(\frac{1}{15}\)。轮流做 \(2\) 小时，甲组先做。做完这批手工要多久？
  8. 一个工程，甲做 \(2\) 天完成一半，乙做 \(3\) 天完成全部。两人轮流做 \(1\) 天，甲先做。完成工程要几天？
  9. 整理图书馆书架，小张单独整理要 \(7\) 小时，小王要 \(10.5\) 小时。两人轮流整理 \(1\) 小时，小王先开始。需要几小时？
  10. 挖一条沟，甲队挖要 \(9\) 小时，乙队挖要 \(12\) 小时。两队轮流挖 \(1.5\) 小时，甲队先挖。几小时挖完？

第二关：奥数挑战（10道）

  1. 一项工程，甲做 \(10\) 天完成，乙做 \(15\) 天完成。他们按甲、乙、甲、乙……的顺序每人工作一天，但中途甲因故休息了 \(2\) 天，结果完成工程共用 \(11\) 天。问乙休息了几天？（提示：周期被打乱）
  2. 一个水池有甲、乙两进水管，单开甲管注满水需 \(10\) 小时，单开乙管需 \(15\) 小时。水池底部有一个排水管丙，单开丙管排光一池水需 \(12\) 小时。上午 \(8\) 点三个管同时打开，中间甲管因故障关闭了 \(2\) 小时，结果到下午 \(2\) 点水池被注满。问甲管在何时被关闭？
  3. 制作一批零件，甲单独做要 \(6\) 小时，乙单独做要 \(8\) 小时。现在两人合作，但每人都交替休息 \(1\) 小时。从甲开始工作，到完成这批零件共用了多少小时？
  4. 一项工程，甲、乙合作 \(12\) 小时完成，乙、丙合作 \(15\) 小时完成，甲、丙合作 \(20\) 小时完成。现在按甲、乙、丙的顺序各做 \(1\) 小时，循环进行。几小时可以完成？
  5. 一个水池，甲、乙两管同开 \(5\) 小时可注满，乙、丙两管同开 \(4\) 小时可注满。现在先开乙管 \(6\) 小时，然后关闭乙，再同时打开甲、丙两管 \(2\) 小时才将水池注满。问：乙管单独注满水池需几小时？

第三关：生活应用（5道）

  1. （AI训练）训练一个AI模型，使用GPU集群A需要 \(18\) 小时跑完一遍完整训练，集群B需要 \(24\) 小时。为了节能和散热，管理员决定让两个集群轮流工作，每工作 \(4\) 小时切换一次，从集群A开始。请问完成一遍训练需要多长时间？
  2. （卫星工程）地面站甲下载一颗卫星的全部数据需 \(14\) 小时，地面站乙需 \(21\) 小时。为保持卫星存储空间，需要尽快下载。计划让两个地面站轮流下载，每次连续工作 \(7\) 小时（卫星过顶时间），从甲站开始。下载全部数据需要多少小时？
  3. （网购系统）“双十一”期间，系统处理订单。服务器组A单独处理峰值订单需 \(6\) 小时，服务器组B需 \(9\) 小时。为防止任何一组过热，采用轮流值班制，每组连续处理 \(1.5\) 小时后切换。从A组开始，处理完峰值订单要多久？
  4. （清洁能源）一个微电网，风力发电机单独给电池充满电要 \(8\) 小时（有风时），太阳能板单独充满要 \(6\) 小时（晴天）。假设天气模式是“刮风 \(2\) 小时，晴天 \(2\) 小时”交替进行，且发电机和太阳能板只在对应天气下工作。从电池完全空开始，第一次充满电需要多少小时？
  5. （团队协作）一个跨国项目，亚洲团队（A）解决全部问题需 \(20\) 小时（按工作时区），欧洲团队（E）需 \(30\) 小时。为了 \(24\) 小时不间断推进，他们决定轮流工作，每班工作 \(8\) 小时。如果从亚洲团队开始，完成项目需要多长时间？（提示：周期是 \(8+8=16\) 小时）

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：工程问题：轮流做 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难在“两步抽象”。第一步，要将甲、乙、丙等不同个体的工作效率抽象成数学分数，如 \(\frac{1}{a}\)。第二步，也是更关键的一步，是要把时间上的交替顺序，抽象成空间上可累加的“周期”概念。学生容易盯着“谁在什么时候做”，思路被时间线带着走，杂乱无章。阿星的“周期打包法”正是解决了这个痛点，把动态过程转化为静态的、可计算的模块。难点突破的关键在于，强迫自己先不去想“接下来谁做”，而是算“能完整地做几轮”。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这不仅仅是解工程题。它是“周期思想”和“模运算（取余思想）”的启蒙。在计算机科学中，这是处理循环任务的基础逻辑；在数列、周期函数中，你会看到相似的“取整周期，处理余项”的思想。同时，它训练了分步建模的能力：1. 定义单位“1”；2. 计算单元（周期）效率；3. 进行包含除 \(1 \div v_{周期}\)；4. 分离整数与余数；5. 对余数进行情景分析。这正是解决复杂问题的通用框架。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！严格遵循以下四步，可解绝大多数标准轮流做问题：
1. 设总工为1，求各人效： \(v_{\text{甲}} = \frac{1}{t_{\text{甲}}}, \quad v_{\text{乙}} = \frac{1}{t_{\text{乙}}}\)。
2. 定周期工效与长： \(v_{\text{周期}} = v_{\text{甲}} \times T_{\text{甲}} + v_{\text{乙}} \times T_{\text{乙}}, \quad T_{\text{周期}} = T_{\text{甲}} + T_{\text{乙}}\)。
3. 取整算余： \(n = \lfloor 1 \div v_{\text{周期}} \rfloor\), \(W_{\text{余}} = 1 - n \times v_{\text{周期}}\)。
4. 按序分配： 根据顺序判断余活 \(W_{\text{余}}\) 由谁在多久内完成，注意时长限制。
记住这个流程，就是记住了“阿星周期法”的灵魂。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. 解析：甲效 \(\frac{1}{5}\)，乙效 \(\frac{1}{8}\)。周期工作量 \(\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}\)。周期数 \(1 \div \frac{13}{40} \approx 3.0769\)，取整 \(3\)。\(3\)个周期完成 \(3 \times \frac{13}{40} = \frac{39}{40}\)，余 \(\frac{1}{40}\)。做完\(3\)周期（\(6\)小时）后轮到甲。甲做余量需 \(\frac{1}{40} \div \frac{1}{5} = \frac{1}{8}\)（小时）。总时间 \(6 + \frac{1}{8} = 6.125\) 小时。
  2. 解析：哥效 \(\frac{1}{4}\)，弟效 \(\frac{1}{6}\)。每人\(0.5\)小时，周期为\(1\)小时，工作量 \(\frac{1}{4} \times 0.5 + \frac{1}{6} \times 0.5 = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{5}{24}\)。周期数 \(1 \div \frac{5}{24} = 4.8\)，取整\(4\)。\(4\)周期（\(4\)小时）完成 \(4 \times \frac{5}{24} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}\)，余 \(\frac{1}{6}\)。第\(5\)周期哥哥先做\(0.5\)小时，完成 \(\frac{1}{8}\)，此时累计完成 \(\frac{5}{6}+\frac{1}{8}=\frac{20}{24}+\frac{3}{24}=\frac{23}{24}\)，仍余 \(\frac{1}{24}\)。轮到弟弟做\(0.5\)小时，可完成 \(\frac{1}{12}\)，大于 \(\frac{1}{24}\)，故弟弟只用 \(\frac{1}{24} \div \frac{1}{6} = 0.25\)（小时）即\(15\)分钟完成。总时间 \(4 + 0.5 + 0.25 = 4.75\) 小时。

（限于篇幅，仅展示前两题解析，其余题目遵循相同周期法可解。）

第二关 & 第三关解析略，供教师或自学深入研讨。

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