多项式的项是什么？概念、易错点与深度解析（附例题训练）专项练习题库

💡 阿星精讲：多项式的项 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，多项式就像一个“数学旅行团”。这个旅行团里的每一位“成员”，也就是每一个单项式，都叫做一项。关键来了！出门在外，每个人都要“拖家带口”——这个“口”指的就是它前面紧跟着的符号（+或-）。比如在 \( 3x^2 - 5x + 7 \) 这个旅行团里，有三位成员：第一位是 \( +3x^2 \)，带着“+”号；第二位是 \( -5x \)，带着“-”号；第三位是 \( +7 \)，也带着“+”号（虽然平时我们省略不写）。所以，一个项是由符号和它后面的数字、字母部分共同组成的，符号是项的不可分割的一部分！
• 计算秘籍：
  1. 找“家庭成员”（识别项）：以加减号为“家庭分隔符”，把多项式拆开。例如：\( -2x^3 + xy - \frac{1}{2} \) 有三项，分别是 \( -2x^3 \)、\( +xy \)、\( -\frac{1}{2} \)。
  2. 认识“家长”（确定系数）：项的系数就是它“符号+数字”的部分。\( -2x^3 \) 的系数是 \( -2 \)，\( +xy \) 的系数是 \( +1 \) (即1)，\( -\frac{1}{2} \) 的系数是 \( -\frac{1}{2} \)。
  3. 看“行李重量”（确定次数）：一个项中所有字母的指数之和，就是这个项的次数。\( -2x^3 \) 次数是3，\( +xy \) (即 \( +x^1y^1 \))次数是 \( 1+1=2 \)，\( -\frac{1}{2} \) 没有字母，次数是0。
• 阿星口诀：多项式，旅行团，项是成员站一排。符号户口随身带，系数次数记心怀。

📐 图形解析

多项式的“项”本身不是一个几何概念，但我们可以用流程图来可视化它的结构，帮助理解“拖家带口”的含义。

公式解读：多项式 \( 3x^2 - 5x + 7 \) 被分解为三项，每一项都明确“携带”着自己的符号。这个符号是它身份的一部分，在后续的合并同类项、去括号运算中至关重要。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为 \( -x^2 + 3x - 5 \) 的第二项系数是 3，第三项系数是 5。
  ✅ 正解：“拖家带口”原则下，项是连同符号的整体。第二项是 \( +3x \)，系数是 \( +3 \)；第三项是 \( -5 \)，系数是 \( -5 \)。系数是包含符号的！
• ❌ 错误2：认为 \( 2x + 1 \) 只有一项，因为 \( +1 \) 没有字母。
  ✅ 正解：单项式可以是单独一个数（常数）。\( 2x + 1 \) 由 \( +2x \) 和 \( +1 \) 两项组成。常数 \( +1 \) 也是一个完整的“家庭成员”，不能忽略。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 多项式 \( 5y - 7 \) 有几项？分别写出每一项。
2. 写出多项式 \( -m + 0.5n - 8 \) 的第二项及其系数。
3. 在 \( \frac{x}{2} - 3y^2 + 9 \) 中，常数项是______。
4. 判断：多项式 \( 3x^2y \) 只有一项。 ( )
5. 多项式 \( -a^2 + bc - \frac{1}{4} \) 的次数最高的项是______。
6. 把 \( -(p-q) + 2r \) 写成不含括号的形式，并说出它有几项。
7. 如果一个多项式的项数是3，常数项是 -2，请写出一个符合条件的三项式______。
8. 多项式 \( 0.1t^3 - t + \pi \) 中，\( \pi \) 是(数字)，它是第____项，系数是____。
9. 阿星说：“项 \(-xy\) 的系数是 -1，次数是 2。”他说得对吗？
10. 请将“比 \( a \) 的平方的2倍小 \( b \) 的数”用代数式表示，并指出它是几项式。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题风格) 若多项式 \( 3x^{m-1} - (n+2)x + 4 \) 是关于 \( x \) 的二次三项式，则 \( m = \_\_\_\_， n = \_\_\_\_ \)。
2. 已知多项式 \( A = 2x^2 - 3xy \)，\( B = -x^2 + xy - 1 \)，求 \( A - 2B \) 的项数。
3. 若多项式 \( 5x^2 - 3x + k \) 与多项式 \( -x^2 + 2x - 1 \) 相加后不含一次项，求 \( k \) 的值。
4. 已知 \( a, b \) 互为相反数，\( c, d \) 互为倒数，\( |m|=2 \)，求多项式 \( (a+b)x^3 - cd \cdot x^2 + m^2x \) 的项数及常数项。
5. 多项式 \( (|a|-3)x^3 + (a-3)x^2 + x + 4 \) 是关于 \( x \) 的二次三项式，求 \( a \) 的值。
6. 已知一个三角形的三条边长分别用代数式表示为 \( 2x+1, x^2-2, x^2-2x+7 \)，求这个三角形的周长表达式，并判断它是几次几项式。
7. 已知 \( x^2 - 2x = 1 \)，求多项式 \( 2x^2 - 4x + 2025 \) 的值。
8. 多项式 \( 3x^2y - 2xy^2 + x^3 - y^3 \) 按字母 \( x \) 的降幂排列为______，此时第二项是______。
9. 若多项式 \( (k-1)x^2 + kxy - 2y^2 + 6xy - 9 \) 中不含 \( xy \) 项，则 \( k = \_\_\_\_ \)。
10. 已知 \( A = 3x^2 - 2x + 5, B = x^2 + kx - 7 \)，且 \( A+B \) 中不含 \( x \) 的一次项，求 \( A - B \) 的项数。

第三关：生活应用（5道）

1. 购物预算：小星去文具店，买了 \( x \) 支单价为 5 元的笔，一个 \( (y+2) \) 元的笔记本，老板给了 9 折优惠。请写出小星应付金额的代数式，并说出该式化简后有几项。
2. 行程问题：汽车以每小时 \( v \) 公里的速度行驶了 \( t \) 小时，又以每小时 \( (v-10) \) 公里的速度行驶了 2 小时。求总路程的表达式，并指出其项数。
3. 几何拼接：如图所示，用两个大小不同的正方形和两个大小相同的长方形拼成一个新图形。大正方形边长为 \( a \)，小正方形边长为 \( b \)，长方形长为 \( a \)，宽为 \( b \)。请写出整个图形面积的代数式，并判断它是几项式。
   
4. 利润计算：某商品每件成本 \( (2m - n) \) 元，现售价每件 \( (3m + 2n) \) 元。若一个月售出 \( k \) 件，请写出月利润的代数式，并问当 \( m, n, k \) 为已知数时，该式是几项式？
5. 数字游戏：一个三位数，百位数字是 \( a \)，十位数字是 \( b \)，个位数字是 \( c \)。请写出这个三位数的代数表达式。若交换百位和个位数字，得到的新数与原数的差用代数式表示为______，该式化简后是几项式？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 两项。分别是 \( +5y \) 和 \( -7 \)。
2. 第二项是 \( +0.5n \)，系数是 \( +0.5 \)。
3. 常数项是 \( +9 \)。
4. 正确。它是一个单项式，单独一个单项式也被视为一项。
5. \( -a^2 \) 和 \( +bc \) 次数都是2，都是次数最高的项。
6. \( -p + q + 2r \)，有三项。
7. 答案不唯一，如 \( x^2 + y - 2 \)。
8. \( \pi \) 是数字（无理数），它是第三项，系数是 \( +\pi \)。
9. 对。\( -xy = (-1) \times x^1 y^1 \)，系数-1，次数1+1=2。
10. 代数式：\( 2a^2 - b \)。它是二项式。

第二关：中考挑战

1. 因为是二次三项式，所以最高次项 \( 3x^{m-1} \) 的次数 \( m-1=2 \)，得 \( m=3 \)。项数是3，所以 \( -(n+2)x \) 这一项必须存在，即 \( n+2 \neq 0 \)，\( n \neq -2 \)。（注：常见陷阱是认为 \( n+2=0 \)，那样就变成二次二项式了）。
2. \( A - 2B = (2x^2-3xy) - 2(-x^2+xy-1) = 2x^2-3xy+2x^2-2xy+2 = 4x^2 - 5xy + 2 \)，共三项。
3. \( (5x^2-3x+k) + (-x^2+2x-1) = 4x^2 - x + (k-1) \)。不含一次项，则一次项系数为0，即 \( -1 = 0 \)？矛盾？仔细看，合并后一次项是 \( (-3+2)x = -x \)，系数为-1，不可能为0。原题应修正为“相加后不含 \( x^2 \) 项”或“不含常数项”。若为“不含常数项”，则 \( k-1=0, k=1 \)。
4. 由条件，\( a+b=0, cd=1, m^2=4 \)。代入多项式得：\( 0 \cdot x^3 - 1 \cdot x^2 + 4x = -x^2 + 4x \)。故项数为2，常数项为0（即没有常数项）。
5. 是关于 \( x \) 的二次三项式，所以三次项系数 \( |a|-3 = 0 \) 且二次项系数 \( a-3 \neq 0 \)。由 \( |a|-3=0 \) 得 \( a=3 \) 或 \( a=-3 \)。又 \( a-3 \neq 0 \)，所以 \( a \neq 3 \)。故 \( a = -3 \)。
6. 周长 \( P = (2x+1)+(x^2-2)+(x^2-2x+7) = 2x^2 + 6 \)。它是一个二次二项式。
7. 由 \( x^2 - 2x = 1 \)，得 \( 2x^2 - 4x = 2 \)。原式 \( = 2 + 2025 = 2027 \)。
8. 按 \( x \) 降幂：\( x^3 + 3x^2y - 2xy^2 - y^3 \)。第二项是 \( +3x^2y \)。
9. 原式 \( = (k-1)x^2 + (k+6)xy - 2y^2 - 9 \)。不含 \( xy \) 项，则 \( k+6=0 \)，\( k=-6 \)。
10. \( A+B = (3x^2-2x+5)+(x^2+kx-7)=4x^2+(-2+k)x-2 \)。不含一次项，则 \( -2+k=0, k=2 \)。则 \( A-B = (3x^2-2x+5)-(x^2+2x-7)=2x^2-4x+12 \)，共三项。

第三关：生活应用

1. 应付金额：\( 0.9 \times [5x + (y+2)] = 0.9(5x + y + 2) = 4.5x + 0.9y + 1.8 \)。化简后有三项。
2. 总路程：\( S = v \cdot t + (v-10) \times 2 = vt + 2v - 20 \)。有三项。
3. 总面积：\( S = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2 \)。它是三项式。
4. 利润 = \( [ (3m+2n) - (2m-n) ] \times k = (m+3n) \times k = mk + 3nk \)。当 \( m, n, k \) 为已知数时，该式是二项式。
5. 原数：\( 100a + 10b + c \)。新数：\( 100c + 10b + a \)。差：\( (100c+10b+a) - (100a+10b+c) = 99c - 99a = 99(c-a) \)。化简后可以看作一项（一个整体乘积），但根据系数为 \( 99 \)，字母部分为 \( (c-a) \)，它也是一个单项式（一项）。