多项式排列（升幂降幂）解题技巧与易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：排列 原理

• 核心概念：想象一下，咱们要组织一场“字母大会”，所有的“项”（也就是单项式）就像一个个小朋友，它们身体里都藏着一个“王牌字母”（比如 \( x \) ）。这个王牌字母的“能量指数”（就是指数），决定了这个小朋友的“身高”。所谓“排列”，就是让这些小朋友按照“王牌字母”的身高来“排排坐”。
  • 降幂排列：就像运动会入场，让个子最高的“项”走在最前面，依次往后排。比如 \( x^3 + 2x^2 - x + 5 \) ，就是按 \( x \) 的指数从3到0降序坐好。
  • 升幂排列：就像小朋友做早操，让个子最矮的“项”站在排头，依次往后排。比如 \( 5 - x + 2x^2 + x^3 \) ，就是按 \( x \) 的指数从0到3升序站好。

  阿星敲黑板：“排排坐，分果果，指数从大（小）到小（大），一个不能错！”

• 计算秘籍：
  1. 识别“王牌字母”：看清楚题目要求按哪个字母（如 \( x, y \) ）进行排列。
  2. 逐个检查“身高”：找出每个项中该字母的指数。常数项（没有该字母的项）指数为 \( 0 \) 。
  3. 指挥“排队”：
     • 降幂：从指数最高的项开始写，依次写到指数为 \( 0 \) 的常数项。式子形如 \( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \) 。
     • 升幂：从常数项开始写，依次写到指数最高的项。式子形如 \( a_0 + a_1x + ... + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n \) 。
  4. 带好“行李”（系数）：排队时，每个项前面的数字符号（系数）必须原封不动地跟着它。
• 阿星口诀：“先定字母看指数，降幂从高走到低，升幂从低走到高，符号系数要带齐。”

📐 图形解析

排列本身是代数概念，但我们用“排排坐”的座位图来可视化这个过程。下面我们用座位高低代表指数大小。

📐 公式说明：\(x^3\)，\(2x^2\)，\(-x\)，\(x^3 + 2x^2 - x + 5\)

上图清晰地展示了将多项式 \( 5 - x + 2x^2 + x^3 \) 按字母 \( x \) 进行降幂排列的过程：指数为 \( 3 \) 的 \( x^3 \) 坐在最高的位置（最前面），依次是指数为 \( 2 \) 的 \( 2x^2 \) ，指数为 \( 1 \) 的 \( -x \) ，最后是指数为 \( 0 \) 的常数项 \( 5 \) 。最终结果是 \( x^3 + 2x^2 - x + 5 \) 。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只排字母，丢了系数。 例如，把 \( -3x^2 + 5x \) 按 \( x \) 降幂排成 \( x^2 + x \) 。
  ✅ 正解：“系数”是项的固有属性，排队时必须随身携带。正解应为 \( -3x^2 + 5x \) 。
• ❌ 错误2：看错指数或漏项。 例如，把 \( 4x - x^3 + 2 \) 按 \( x \) 降幂排成 \( x^3 + 4x + 2 \) ，漏了 \( -x^3 \) 的负号。
  ✅ 正解：逐项审视，分清指数和系数的正负。正解应为 \( -x^3 + 4x + 2 \) 。
• ❌ 错误3：面对多重字母多项式时，混淆“主元”。 例如，对 \( 2xy^2 + 3x^2y - y^3 \) ，若要求按 \( x \) 的降幂排列，却按 \( y \) 来排。
  ✅ 正解：牢牢锁定题目指定的字母（主元），只关心该字母的指数。按 \( x \) 降幂排列为：\( 3x^2y + 2xy^2 - y^3 \) （这里 \( -y^3 \) 不含 \( x \) ，指数为0，排在最后）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 将 \( 3x - 5 + x^2 \) 按 \( x \) 的升幂排列。
2. 将 \( -4 + 2y^3 - y \) 按 \( y \) 的降幂排列。
3. 将 \( a^4 - 2a^2 + 5a - a^3 \) 按 \( a \) 的降幂排列。
4. 将 \( 1 + t - t^2 \) 按 \( t \) 的升幂排列。
5. 将 \( 6m^2 - 3m^5 + m \) 按 \( m \) 的降幂排列。
6. 将 \( -z^2 + 4 - 3z \) 按 \( z \) 的升幂排列。
7. 将 \( 2p^3 - p + 7p^2 \) 按 \( p \) 的降幂排列。
8. 将 \( 9 - q^4 + 6q \) 按 \( q \) 的升幂排列。
9. 将 \( x^5 - 3x^2 + x^3 + 1 \) 按 \( x \) 的降幂排列。
10. 将 \( -2n + n^3 - 5 \) 按 \( n \) 的降幂排列，并指出它是几次几项式。

第二关：中考挑战（10道）

1. 把 \( 2xy^3 - x^3y + 3x^2y^2 - y^4 \) 按字母 \( x \) 的降幂排列。
2. 把 \( 5a^2b - 3ab^2 + b^3 - 2a^3 \) 按字母 \( a \) 的升幂排列。
3. 多项式 \( 3m^4 - 2m^2n^2 + mn^3 - 5n^4 \) 按字母 \( m \) 的降幂排列是？
4. 已知多项式 \( A = 4x^2 - 3x + 1, B = -2x^2 + x - 5 \)，求 \( A + B \)，并将结果按 \( x \) 的降幂排列。
5. 将 \( (x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 5x - 1) \) 的结果按 \( x \) 的升幂排列。
6. 把 \( 0.5p^4 - \frac{2}{3}p^2 + p - \sqrt{2} \) 按 \( p \) 的降幂排列。
7. 若多项式 \( kx^3 - 2x^2 + 4x - 7 \) 按 \( x \) 的降幂排列，则常数 \( k \) 的取值范围是？
8. 把 \( (a-1)x^3 + (b+2)x^2 - cx + d \) 按 \( x \) 的降幂排列。
9. 将多项式 \( -y^2 + \frac{1}{3}y^5 - 2y + 8 \) 按 \( y \) 的降幂排列后，第三项的系数是？
10. 一个关于 \( x \) 的三次四项式，按 \( x \) 的降幂排列，第二项系数是 \( -3 \)，常数项是 \( 1 \)，请写出一个符合条件多项式。

第三关：生活应用（5道）

1. 【面积计算】一个长方形，长为 \( (2x+1) \) 米，宽为 \( (x-3) \) 米。将表示其面积的整式按 \( x \) 的降幂排列并化简。
2. 【利润模型】某商品每件利润为 \( (10-x) \) 元，预计销售 \( (100+5x) \) 件。将表示总利润的整式按 \( x \) 的降幂排列并化简。
3. 【行程问题】汽车以 \( (v+5) \) km/h的速度行驶 \( 2 \) 小时，再以 \( (v-10) \) km/h的速度行驶 \( 3 \) 小时。将表示总路程的整式按 \( v \) 的降幂排列并化简。
4. 【几何体积】一个圆柱底面半径是 \( r \) cm，高是 \( (2r+1) \) cm。将表示其体积的整式（\( V=\pi r^2 h \)）按 \( r \) 的降幂排列。
5. 【编程算法】在计算机图形学中，一条贝塞尔曲线的路径方程可能包含 \( t, t^2, t^3 \) 等项。若某段路径方程为 \( P(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 \)，将其按参数 \( t \) 的升幂排列（\( P_0, P_1, P_2 \) 为常数点坐标）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( -5 + 3x + x^2 \) （升幂：常数项，一次项，二次项）
2. \( 2y^3 - y - 4 \) （降幂：三次项，一次项，常数项）
3. \( a^4 - a^3 - 2a^2 + 5a \) （注意 \(-a^3\) 的负号）
4. \( 1 + t - t^2 \) （已是升幂）
5. \( -3m^5 + 6m^2 + m \) （注意 \( m \) 即 \( m^1 \)）
6. \( 4 - 3z - z^2 \) （升幂：常数项，一次项，二次项）
7. \( 2p^3 + 7p^2 - p \)
8. \( 9 + 6q - q^4 \) （升幂：常数项，一次项，四次项）
9. \( x^5 + x^3 - 3x^2 + 1 \) （注意 \( x^3 \) 在 \( x^2 \) 之前）
10. \( n^3 - 2n - 5 \) ，是三次三项式。

第二关：中考挑战

1. \( -x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 - y^4 \) （只看 \( x \) 的指数：3, 2, 1, 0）
2. \( b^3 - 3ab^2 + 5a^2b - 2a^3 \) （按 \( a \) 升幂：指数0, 1, 2, 3）
3. \( 3m^4 - 2m^2n^2 + mn^3 - 5n^4 \) （按 \( m \) 降幂：指数4, 2, 1, 0）
4. \( A+B = (4x^2-2x^2) + (-3x+x) + (1-5) = 2x^2 - 2x - 4 \)
5. 原式= \( x^2 - 3x + 4 - 2x^2 + 5x + 1 = -x^2 + 2x + 5 \)，升幂排列为 \( 5 + 2x - x^2 \)
6. \( 0.5p^4 - \frac{2}{3}p^2 + p - \sqrt{2} \) （系数形式保持原样）
7. \( k \ne 0 \)。（要使 \( kx^3 \) 是最高次项，其系数不能为0）
8. \( (a-1)x^3 + (b+2)x^2 - cx + d \) （括号内的整体看作系数）
9. 排列后为 \( \frac{1}{3}y^5 - y^2 - 2y + 8 \)，第三项是 \( -2y \)，系数是 \( -2 \)。
10. 答案不唯一。如 \( 2x^3 - 3x^2 + x + 1 \)。（满足降幂、四项、三次、第二项系数-3、常数项1）

第三关：生活应用

1. 面积 \( S = (2x+1)(x-3) = 2x^2 -6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3 \) （已是降幂）
2. 总利润 \( P = (10-x)(100+5x) = 1000 + 50x - 100x - 5x^2 = -5x^2 - 50x + 1000 \)
3. 总路程 \( S = 2(v+5) + 3(v-10) = 2v+10 + 3v-30 = 5v - 20 \)
4. 体积 \( V = \pi r^2 \cdot (2r+1) = 2\pi r^3 + \pi r^2 \) （按 \( r \) 降幂）
5. \( P(t) = (1-2t+t^2)P_0 + (2t-2t^2)P_1 + t^2P_2 = P_0 + (-2P_0+2P_1)t + (P_0-2P_1+P_2)t^2 \)