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多项式乘多项式怎么算？从握手模型到中考应用深度解析专项练习题库

适用年级

初二

难度等级

⭐⭐⭐

资料格式

PDF 可打印

最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：多项式乘多项式 原理

  • 核心概念：想象一下，有两个代表团要来握手联谊！第一个代表团有两位成员：\( m \) 先生和 \( n \) 女士。第二个代表团也有两位成员：\( a \) 先生和 \( b \) 女士。为了充分交流，联谊会规定：第一个代表团的每一个人，都必须和第二个代表团的每一个人握一次手。那么，总共会发生多少次握手呢？我们用括号来表示一个代表团：\( (m+n) \) 和 \( (a+b) \)。整个握手过程就是 \( (m+n)(a+b) \)。让我们来数一数：\( m \) 先生要和 \( a \)、\( b \) 各握一次，记作 \( ma \) 和 \( mb \)；\( n \) 女士也要和 \( a \)、\( b \) 各握一次，记作 \( na \) 和 \( nb \)。所以总共的握手组合是：\( ma + mb + na + nb \)。看，这就是多项式相乘的结果！记住阿星的话：每一项都要乘一遍，最后合并同类项。
  • 计算秘籍：
    1. 将第一个多项式的每一项，去乘第二个多项式的每一项。
    2. 把得到的所有积相加。
    3. 检查并合并同类项。

    用算式表示就是：\( (m+n)(a+b) = m \cdot a + m \cdot b + n \cdot a + n \cdot b = ma + mb + na + nb \)

  • 阿星口诀：多项式相乘像握手，你我都得交朋友。前项后项乘个遍，同类合并再回首。

📐 图形解析

我们也可以用“面积模型”来可视化“握手”过程。假设一个长方形的长是 \( (m+n) \)，宽是 \( (a+b) \)，那么它的总面积等于四个小矩形的面积之和。

长方形总面积公式：\( S_{总} = (m+n) \times (a+b) \)

m n a b m·a n·a m·b n·b

总面积 = 左上面积 + 右上面积 + 左下面积 + 右下面积 = \( m \times a + n \times a + m \times b + n \times b \)。这完美印证了我们的握手模型！

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：漏“握手”。例如计算 \( (x+2)(x+3) \) 时只算出 \( x^2+3x+6 \)，漏了 \( 2x \)。

    ✅ 正解：确保“每项都乘一遍”。按顺序：\( x \)乘\( x \)、\( x \)乘\( 3 \)、\( 2 \)乘\( x \)、\( 2 \)乘\( 3 \)。即：\( x^2+3x+2x+6 \)。
  • ❌ 错误2：符号跟着走。例如计算 \( (x-2)(x+1) \) 时，将 \( -2 \) 乘 \( +1 \) 误算为 \( +2 \)。

    ✅ 正解：把每一项的符号看成它本身的一部分。“握手”时带着符号一起乘。正确过程：\( x^2 + x + (-2)\cdot x + (-2)\cdot1 = x^2 + x - 2x - 2 \)。

🔥 三例题精讲

例题1：计算 \( (2x + 3)(x - 1) \)

📌 解析：想象两个代表团握手：(\( 2x \), \( 3 \)) 和 (\( x \), \( -1 \))。

  1. \( 2x \) 分别与 \( x \)、\( -1 \) 握手：\( 2x \cdot x = 2x^2 \)， \( 2x \cdot (-1) = -2x \)。
  2. \( 3 \) 分别与 \( x \)、\( -1 \) 握手：\( 3 \cdot x = 3x \)， \( 3 \cdot (-1) = -3 \)。
  3. 记录所有结果：\( 2x^2 - 2x + 3x - 3 \)。
  4. 合并同类项 \( -2x \) 和 \( +3x \)：\( 2x^2 + x - 3 \)。

✅ 总结：步步为营，符号清晰，握手完毕再合并。

例题2：计算 \( (a - b)^2 \)

📌 解析：这是 \( (a-b)(a-b) \) 的握手。代表团成员都是 \( a \) 和 \( -b \)。

  1. \( a \) 与 \( a \)、\( -b \) 握手：\( a \cdot a = a^2 \)， \( a \cdot (-b) = -ab \)。
  2. \( -b \) 与 \( a \)、\( -b \) 握手：\( (-b) \cdot a = -ab \)， \( (-b) \cdot (-b) = b^2 \)。
  3. 记录结果：\( a^2 - ab - ab + b^2 \)。
  4. 合并同类项：\( a^2 - 2ab + b^2 \)。

重要结论：\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)，切勿错写为 \( a^2 - b^2 \)。

✅ 总结：完全平方公式源于握手，中间项是“两次握手”的和。

例题3：一个长方形花园，长增加 \( 3 \) 米，宽增加 \( 2 \) 米后，形成一个新的大长方形。已知原花园长为 \( x \) 米，宽为 \( y \) 米，求新花园的面积比原花园增加了多少？

原长 x +3 原宽 y +2 原花园

📌 解析：

  1. 新花园的长为 \( (x+3) \) 米，宽为 \( (y+2) \) 米。
  2. 新花园面积：\( S_{新} = (x+3)(y+2) \)。
  3. 用“握手”模型展开：\( S_{新} = x\cdot y + x\cdot 2 + 3\cdot y + 3\cdot 2 = xy + 2x + 3y + 6 \)。
  4. 原花园面积：\( S_{原} = xy \)。
  5. 增加的面积：\( S_{增} = S_{新} - S_{原} = (xy + 2x + 3y + 6) - xy = 2x + 3y + 6 \)。

答：面积增加了 \( (2x + 3y + 6) \) 平方米。

✅ 总结：实际问题先建模，套用握手公式展开，最后结合题意求解。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. \( (x+1)(x+2) = ? \)
  2. \( (y-4)(y+5) = ? \)
  3. \( (2a+1)(a-3) = ? \)
  4. \( (3m - n)(m + 2n) = ? \)
  5. \( (p+7)(p-7) = ? \) （观察结果特点）
  6. \( (x+5)^2 = ? \)
  7. \( (2t - 1)^2 = ? \)
  8. 一个长方形边长分别为 \( (a+1) \) 和 \( (a+4) \)，用多项式表示其面积。
  9. 计算：\( (x + 0.5)(x - 2) \)
  10. 计算：\( (\frac{1}{2}a + 2)(a - 1) \)

第二关：中考挑战（10道）

  1. 化简：\( (2x-3)(x^2 + x - 1) \) （提示：和三项式“握手”）
  2. 已知 \( (x-2)(x+n) = x^2 + mx - 10 \)，求 \( m, n \) 的值。
  3. 若 \( a+b=5, ab=3 \)，求 \( (a+1)(b+1) \) 的值。
  4. 解方程：\( (x+3)(x-2) = (x-1)^2 \)
  5. 比较大小：设 \( A = 2023 \times 2025 \)， \( B = 2024^2 \)，不直接计算，判断 \( A \) 与 \( B \) 的大小关系。（提示：设 \( n=2024 \)）
  6. 计算：\( (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2) \)
  7. 一个正方形边长增加 \( k \) 后，面积增加 \( 44 \)，且新正方形边长为整数，求可能的 \( k \) 值。
  8. 化简求值：\( (3x+2)(2x-1) - (x-3)(6x+5) \)，其中 \( x = -\frac{1}{2} \)。
  9. 证明：两个连续奇数的积加上1，是一个完全平方数。
  10. 若 \( x^2 - 3x + 1 = 0 \)，求 \( (x-2)(x-1) \) 的值。

第三关：生活应用（5道）

  1. 【装修预算】你要铺设一间长方形房间的地砖。房间原长 \( a \) 米，原宽 \( b \) 米。你计划在长和宽的方向上都留出 \( 0.1 \) 米的踢脚线位置不铺砖。请写出实际需要铺设地砖的区域的面积表达式。
  2. 【购物优惠】某商品单价 \( p \) 元，买 \( m \) 件以上可享受每件减 \( c \) 元的优惠。你买了 \( (m+2) \) 件。请用多项式表示你实际支付的总金额。
  3. 【运动场扩建】一个原长为 \( (3x+10) \) 米，宽为 \( (2x+5) \) 米的操场，计划在四周修建宽度均为 \( y \) 米的环形塑胶跑道。请用多项式表示塑胶跑道的总面积。
  4. 【纸箱制作】从一张边长为 \( s \) 厘米的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为 \( t \) 厘米的小正方形，然后折叠成一个无盖纸盒。求这个纸盒的容积表达式。
  5. 【利润预测】生产一个零件的成本是 \( (50 - 0.1x) \) 元，销售单价是 \( (80 + 0.05x) \) 元，其中 \( x \) 是生产数量（\( x < 500 \)）。写出销售 \( x \) 个零件所获总利润的表达式。

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：多项式乘多项式 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点主要有两个。一是“漏项”，即没有做到“每项都乘一遍”，本质是对乘法分配律 \( a(b+c) = ab + ac \) 的连续运用不熟练。从 \( (m+n)(a+b) \) 到 \( m(a+b) + n(a+b) \)，再到最终的 \( ma+mb+na+nb \)，步骤一多就容易丢。二是“符号”，负数参与运算时，极易在“握手”过程中弄错积的符号。解决的关键是慢下来，有条理地画出“握手路径”或“面积分区”，并坚决把每一项的符号看作一个整体。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是代数运算的基石之一。它直接通向几个关键领域：1. 公式推导：如完全平方公式 \( (a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2 \)、平方差公式 \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \)，都源于此。2. 因式分解：多项式乘法是其逆运算，熟练的乘法是进行因式分解的基础。3. 函数与方程：二次函数 \( y=ax^2+bx+c \) 与一元二次方程 \( ax^2+bx+c=0 \) 的研究中，经常需要将两根式 \( a(x-x_1)(x-x_2) \) 展开成一般式。4. 更复杂的代数式运算，如分式运算、多项式除法等，都以此为基础。

问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？

答：对于标准形式，最可靠的套路就是“有序握手列表法”。以 \( (2x-3)(x^2+x-1) \) 为例：

  1. 将第一个多项式 \( (2x-3) \) 的每一项列在左侧，第二个多项式 \( (x^2, +x, -1) \) 的每一项列在上方。
  2. 像填表格一样，计算每一项的交叉乘积：
    \( 2x \cdot x^2 = 2x^3 \)， \( 2x \cdot x = 2x^2 \)， \( 2x \cdot (-1) = -2x \)；
    \( (-3) \cdot x^2 = -3x^2 \)， \( (-3) \cdot x = -3x \)， \( (-3) \cdot (-1) = 3 \)。
  3. 将所有乘积相加：\( 2x^3 + 2x^2 - 2x - 3x^2 - 3x + 3 \)。
  4. 合并同类项：\( 2x^3 + (2x^2 - 3x^2) + (-2x - 3x) + 3 = 2x^3 - x^2 - 5x + 3 \)。

这个方法几乎可以杜绝漏项和符号错误。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( x^2+3x+2 \)
  2. \( y^2+y-20 \)
  3. \( 2a^2 -5a -3 \)
  4. \( 3m^2 +5mn -2n^2 \)
  5. \( p^2 -49 \) （平方差公式）
  6. \( x^2+10x+25 \)
  7. \( 4t^2 -4t+1 \)
  8. \( a^2+5a+4 \)
  9. \( x^2 -1.5x -1 \)
  10. \( \frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a - 2 \)

第二关：中考挑战

  1. \( 2x^3 + 2x^2 -2x -3x^2 -3x +3 = 2x^3 - x^2 -5x +3 \)
  2. 展开左边：\( x^2 + nx -2x -2n = x^2 + (n-2)x -2n \)。与右边对比得：\( n-2=m \)， \( -2n=-10 \)。解得 \( n=5, m=3 \)。
  3. \( (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=3+5+1=9 \)。
  4. 展开：\( x^2 +x -6 = x^2 -2x+1 \)。移项合并：\( 3x = 7 \)， \( x=\frac{7}{3} \)。
  5. 设 \( n=2024 \)，则 \( A=(n-1)(n+1)=n^2-1 \)， \( B=n^2 \)。故 \( A < B \)。
  6. 这是立方差公式形式：\( (2x-y)(4x^2+2xy+y^2) = (2x)^3 - y^3 = 8x^3 - y^3 \)。
  7. 设原边长为 \( a \)，则 \( (a+k)^2 - a^2 = 44 \)，得 \( 2ak + k^2 =44 \)，即 \( k(2a+k)=44 \)。\( k \) 和 \( (2a+k) \) 为整数且一奇一偶。分解44：\( 1×44, 2×22, 4×11 \)。因 \( 2a+k > k \)，且 \( a \) 为整数，检验得：\( k=2 \) 时，\( 2a+2=22 \)，\( a=10 \)；\( k=4 \) 时，\( 2a+4=11 \)，\( a=3.5 \)（舍）。故 \( k=2 \)。
  8. 原式 \( = (6x^2+x-2) - (6x^2 -13x -15) = 14x +13 \)。代入 \( x=-\frac{1}{2} \)，得 \( 14×(-\frac{1}{2})+13=6 \)。
  9. 设两奇数为 \( 2n-1, 2n+1 \)。积加1：\( (2n-1)(2n+1)+1 = 4n^2 -1 +1 = 4n^2 = (2n)^2 \)，是完全平方数。
  10. 由已知 \( x^2 = 3x-1 \)。\( (x-2)(x-1) = x^2 -3x +2 = (3x-1) -3x +2 = 1 \)。

第三关：生活应用

  1. 实际铺设区域长 \( a-0.2 \) 米，宽 \( b-0.2 \) 米。面积：\( (a-0.2)(b-0.2) = ab - 0.2a - 0.2b + 0.04 \)（平方米）。
  2. 优惠后单价为 \( (p-c) \) 元。总金额：\( (m+2)(p-c) = mp + 2p - mc - 2c \)（元）。
  3. 大长方形长 \( (3x+10+2y) \)，宽 \( (2x+5+2y) \)。跑道面积 = 大长方形面积 - 操场面积 = \( [(3x+10+2y)(2x+5+2y)] - [(3x+10)(2x+5)] \)。展开化简后结果为 \( (10x+35)y + 4y^2 \)（平方米）。
  4. 纸盒底为边长 \( (s-2t) \) 的正方形，高为 \( t \)。容积：\( (s-2t)^2 \cdot t = t(s^2 - 4st + 4t^2) = s^2t - 4st^2 + 4t^3 \)（立方厘米）。
  5. 单个利润为：\( [(80+0.05x) - (50-0.1x)] = 30 + 0.15x \)（元）。总利润：\( x(30+0.15x) = 30x + 0.15x^2 \)（元）。

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