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多项式乘多项式怎么算？握手原则与面积模型深度解析专项练习题库

适用年级

初二

难度等级

⭐⭐⭐

资料格式

PDF 可打印

最近更新

2025-12-21

好的，同学。我是星火AI实验室的首席顾问。下面，我将联合我的助教「阿星」，为你打造一份关于「多项式乘多项式」的深度学习资料。我们将严格遵循你的要求，让知识变得生动、扎实。

💡 阿星精讲：多项式乘多项式 原理

  • 核心概念：阿星来啦！想象一下，你面前有两组朋友：第一组有 \( m \) 和 \( n \) 两个人，第二组有 \( a \) 和 \( b \) 两个人。现在他们要互相见面认识一下，见面礼就是——握手！规矩是：第一组的每个人，都必须去和第二组的每个人握一次手，不能冷落任何人。那么，一共会发生多少次握手呢？握手原则告诉我们：\( m \) 要和 \( a \)、\( b \) 握手（\( m \times a, m \times b \)），\( n \) 也要和 \( a \)、\( b \) 握手（\( n \times a, n \times b \)）。所以总次数是 \( ma + mb + na + nb \)。多项式乘法 \((m+n)(a+b)\) 就是这样一个“全面握手”的过程，确保“前一项的每一项都要去乘后一项的每一项，不能漏。”
  • 计算秘籍：
    1. 拆括号：运用“握手原则”，将第一个括号里的每一项，依次去乘第二个括号里的每一项。
    2. 做乘法：计算每一项的乘积，牢记“系数相乘，字母部分指数相加”。
    3. 合并同类项：将所有乘积项列出后，寻找并合并同类项。

    例如：计算 \( (2x + 3)(x - 4) \)
    第一步（拆&乘）：\( 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) \)
    第二步（计算）：\( 2x^2 - 8x + 3x - 12 \)
    第三步（合并）：\( 2x^2 + (-8x + 3x) - 12 = 2x^2 - 5x - 12 \)

  • 阿星口诀：括号对括号，项项要见面。先乘系数再乘幂，同类兄弟抱一团。

📐 图形解析

多项式乘法 \((m+n)(a+b)\) 的“握手原则”，可以用一个矩形面积模型来直观理解：

大矩形面积 = 长 × 宽 = \( (m+n) \times (a+b) \)

m n a b m×a n×a m×b n×b (m+n) (a+b)

这个大矩形被分成四个小矩形，它们的面积分别是 \( m \times a \), \( n \times a \), \( m \times b \), \( n \times b \)。四个小矩形面积之和等于大矩形面积，完美验证了：

\[ (m+n)(a+b) = ma + na + mb + nb \]

看，“握手”的结果，就是铺满了整个矩形！

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：漏乘。 只让第一项去握手，忘了第二项。如：\( (x+2)(x-3) = x^2 - 3x \)（漏了 \( +2x-6 \)）。
    ✅ 正解：严格执行“握手原则”，用一个箭头图或打钩法，确保每一项都参与了乘法。
  • ❌ 错误2：符号出错。 握手时没带好“情绪”（符号）。如：\( (x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x + 2 \)（最后一项应为 \( -2 \)）。
    ✅ 正解：把每一项（包括它前面的符号）看作一个整体去乘。口诀：“同号得正，异号得负”。
  • ❌ 错误3：合并同类项时“认错兄弟”。 把 \( x^2 \) 和 \( x \) 合并，或者常数项没合并。
    ✅ 正解：合并前先“标记”，只将字母部分完全相同的项进行系数加减。

🔥 三例题精讲

例题1：基础握手 计算 \( (3a + 1)(2a - 5) \)

📌 解析：

第一步（拆括号，握手开始）： \( 3a \times 2a + 3a \times (-5) + 1 \times 2a + 1 \times (-5) \)

第二步（计算每次握手结果）： \( 6a^2 - 15a + 2a - 5 \)

第三步（合并同类项 \( -15a \) 和 \( +2a \) ）： \( 6a^2 + (-15a+2a) - 5 = 6a^2 - 13a - 5 \)

✅ 总结：像主持人一样，有序地介绍双方队伍每个人认识，记录下每次交流的结果，最后把聊同一话题的人（同类项）聚到一起。

例题2：带负号的“复杂社交” 计算 \( (-2x + y)(x - 3y) \)

📌 解析：

把 \(-2x\) 和 \(+y\) 当作第一组的两个人，把 \(+x\) 和 \(-3y\) 当作第二组的两个人。握手时务必带上各自的“情绪”（符号）。

\[ \begin{aligned} &(-2x) \times (x) + (-2x) \times (-3y) + (y) \times (x) + (y) \times (-3y) \\ = &-2x^2 + 6xy + xy - 3y^2 \quad \text{(计算)} \\ = &-2x^2 + (6xy + xy) - 3y^2 \quad \text{(合并同类项 \(xy\))} \\ = &-2x^2 + 7xy - 3y^2 \end{aligned} \]

✅ 总结：负号是计算中的“陷阱”，但只要我们将其牢牢绑定在每一项身上，按照规则做乘法（同号得正，异号得负），就能顺利过关。

例题3：三项式与二项式的“大型聚会” 计算 \( (x^2 + x - 2)(x + 1) \)

📌 解析：

这是“三对二”的握手。第一组有 \(x^2, x, -2\) 三个人，第二组有 \(x, 1\) 两个人。需要更系统化地操作，避免混乱。

\[ \begin{aligned} &x^2 \times x + x^2 \times 1 \\ +&x \times x + x \times 1 \\ +&(-2) \times x + (-2) \times 1 \\ = &x^3 + x^2 + x^2 + x - 2x - 2 \quad \text{(计算)} \\ = &x^3 + (x^2 + x^2) + (x - 2x) - 2 \quad \text{(分组合并)} \\ = &x^3 + 2x^2 - x - 2 \end{aligned} \]

✅ 总结：面对项数多的乘法，可以分“轮次”进行。先把第一个多项式的第一项与第二个多项式的每一项相乘，写出结果；再处理第一项式的第二项...以此类推，最后统一合并。这就像有条不紊地安排一场大型联谊会。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 计算 \( (x+2)(x+3) \)
  2. 计算 \( (y-4)(y+1) \)
  3. 计算 \( (2m-1)(m+5) \)
  4. 计算 \( (3n+2)(2n-3) \)
  5. 计算 \( (a+b)(a-b) \) （留意结果，这是个重要公式）
  6. 计算 \( (p+7)(p-7) \)
  7. 计算 \( (2x+3y)(x-y) \)
  8. 计算 \( (5 - t)(2t + 1) \)
  9. 计算 \( (0.5k + 2)(4k - 1) \)
  10. 一个长方形长 \( (x+5) \) cm，宽 \( (x+2) \) cm，用多项式表示它的面积。

第二关：中考挑战（10道）

  1. 计算 \( (2x^2 - 3x + 1)(x - 2) \)
  2. 计算 \( (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) \)
  3. 化简求值：\( (3x+1)(2x-3) - (6x-5)(x-4) \)，其中 \( x = 2 \)。
  4. 已知 \( (x+a)(x+b) = x^2 + 5x + 6 \)，求 \( a \) 与 \( b \) 的值。
  5. 若 \( (x-3)(x+m) = x^2 + nx - 15 \)，求 \( m+n \) 的值。
  6. 计算 \( (x+1)(x+2)(x+3) \) 的展开式中 \( x^2 \) 项的系数。
  7. 解方程：\( (2y-1)(y+3) = 2y(y+1) + 5 \)
  8. 计算 \( (2a-b)^2 - (2a+b)(2a-b) \)
  9. 一个正方形边长增加 \( 3 \) cm后，新正方形的面积比原来增加了 \( (21x + 9) \) cm²。若原边长为 \( (2x) \) cm，求 \( x \) 的值。
  10. 证明：任意三个连续整数的乘积与中间那个数的和，一定是中间那个数的倍数。

第三关：生活应用（5道）

  1. 【花园设计】阿星想修一个长方形花坛，并在四周铺上宽度为 \( 1 \) 米的走道。花坛内部长为 \( (x+4) \) 米，宽为 \( x \) 米。请用多项式表示整个区域（花坛+走道）的面积。
    走道 (1米宽) 花坛 x 米 (x+4) 米
  2. 【商品利润】一种商品的单件成本是 \( (100 - 2p) \) 元，单件售价是 \( (120 - p) \) 元。若一天卖出 \( (p+10) \) 件，请用多项式表示这一天的总利润（总利润 = 销量 × (售价 - 成本)）。
  3. 【行程规划】汽车以 \( (v+10) \) km/h的速度行驶了 \( t \) 小时，然后以 \( (v-5) \) km/h的速度行驶了 \( (t+1) \) 小时。用多项式表示汽车行驶的总路程。
  4. 【材料计算】制作一个无盖长方体盒子，底面是边长为 \( a \) cm的正方形，高为 \( h \) cm。制作它需要多少面积的板材？用多项式表示。
  5. 【增收计划】某农场一块试验田，原长 \( m \) 米，宽 \( n \) 米。现计划将长增加 \( a \) 米，宽减少 \( b \) 米。用多项式表示新试验田的面积，并分析面积是增加还是减少了（用多项式减法表示变化量）。

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：多项式乘多项式 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难在“系统性”和“符号处理”。这不再是单项式乘法那样的“一对一”，而是“多对多”的复杂网络。难点一：漏项——思维不系统，没做到“全面握手”。难点二：符号错误——在计算如 \((-2x) \times (-3y)\) 时，对“负负得正”规则在乘法分配律中的应用不熟练。克服方法就是可视化（画箭头或面积图）和步骤化，把过程写全，不跳步。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是代数运算的基石之一。1. 公式基础：后续学习的完全平方公式 \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \)、平方差公式 \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) 都源于此。2. 方程与函数：解一元二次方程需要将方程化为 \( (x-p)(x-q)=0 \) 的形式；二次函数 \( y=ax^2+bx+c \) 的因式分解也依赖它。3. 更高级的代数：它是多项式理论、因式分解、二项式定理的起点。可以说，这是从“算术思维”迈向“代数结构思维”的关键一步。

问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？

答：有！可以总结为 “有序分配，逐项记录” 八字口诀。具体操作是：准备一张“握手记录表”。以 \((A+B+C)(D+E)\) 为例：

  • 第一轮：用 \(A\) 去乘 \(D\) 和 \(E\)，写下 \(AD\) 和 \(AE\)。
  • 第二轮：用 \(B\) 去乘 \(D\) 和 \(E\)，在下一行写下 \(BD\) 和 \(BE\)。
  • 第三轮：用 \(C\) 去乘 \(D\) 和 \(E\)，再写下 \(CD\) 和 \(CE\)。

最后，将所有结果对齐，合并同类项。这个方法强迫你进行系统化操作，极大降低漏乘概率。对于项数多的情况，尤其有效。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( x^2 + 5x + 6 \)
  2. \( y^2 - 3y - 4 \)
  3. \( 2m^2 + 9m - 5 \)
  4. \( 6n^2 - 5n - 6 \)
  5. \( a^2 - b^2 \) （平方差公式）
  6. \( p^2 - 49 \)
  7. \( 2x^2 + xy - 3y^2 \)
  8. \( -2t^2 + 9t + 5 \)
  9. \( 2k^2 + 7.5k - 2 \)
  10. 面积 = \( (x+5)(x+2) = x^2 + 7x + 10 \) （cm²）

第二关：中考挑战

  1. \( 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 \)
  2. \( a^3 - 8b^3 \) （这是立方差公式）
  3. 化简得：\( (6x^2 -7x -3) - (6x^2 -29x +20) = 22x - 23 \)，代入 \( x=2 \) 得 \( 44 - 23 = 21 \)。
  4. 由 \( (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \)，对比得 \( a+b=5, ab=6 \)。∴ \( a, b \) 为 \( 2 \) 和 \( 3 \)（顺序可互换）。
  5. 左边展开：\( x^2 + (m-3)x - 3m \)。对比右边得 \( n = m-3 \)，且 \( -3m = -15 \)。解得 \( m=5, n=2 \)。∴ \( m+n=7 \)。
  6. 先算 \( (x+1)(x+2)=x^2+3x+2 \)，再乘以 \( (x+3) \)。在 \( (x^2+3x+2)(x+3) \) 中，\( x^2 \) 项来源于 \( x^2 \times 3 \) 和 \( 3x \times x \)，即 \( 3x^2 + 3x^2 = 6x^2 \)。系数为 \( 6 \)。
  7. \( 2y^2+5y-3 = 2y^2+2y+5 \)，化简得 \( 3y = 8 \)，∴ \( y = \frac{8}{3} \)。
  8. 原式 = \( (4a^2 -4ab + b^2) - (4a^2 - b^2) = -4ab + 2b^2 \)。
  9. 新面积 \( (2x+3)^2 \)，原面积 \( (2x)^2 \)。依题意：\( (2x+3)^2 - (2x)^2 = 21x+9 \)。即 \( (4x^2+12x+9) - 4x^2 = 12x+9 = 21x+9 \)。解得 \( 9x=0 \)，即 \( x=0 \)。
  10. 设三个连续整数为 \( n-1, n, n+1 \)。乘积为 \( (n-1)n(n+1) \)。和与之相加：\( (n-1)n(n+1) + n = n[(n-1)(n+1) + 1] = n(n^2 - 1 + 1) = n \cdot n^2 = n^3 \)。是 \( n \) 的倍数。

第三关：生活应用

  1. 解析：整个区域的长为 \( (x+4) + 1 + 1 = x+6 \) 米，宽为 \( x + 1 + 1 = x+2 \) 米。

    面积 = \( (x+6)(x+2) = x^2 + 8x + 12 \) （平方米）。

  2. 解析：单件利润 = \( (120-p) - (100-2p) = 20 + p \) 元。

    总利润 = 销量 × 单件利润 = \( (p+10)(20+p) = p^2 + 30p + 200 \) 元。

  3. 解析：第一段路程：\( (v+10)t \) km。第二段路程：\( (v-5)(t+1) = vt + v -5t -5 \) km。

    总路程 = \( (v+10)t + (vt+v-5t-5) = 2vt + v + 5t - 5 \) km。

  4. 解析：无盖盒子有5个面：1个底面积 + 4个侧面积。

    底面积 = \( a^2 \)。一个侧面面积 = \( a \times h \)。

    总面积 = \( a^2 + 4 \times (a \times h) = a^2 + 4ah \) （cm²）。

  5. 解析：新面积 = \( (m+a)(n-b) = mn - mb + an - ab \)。

    原面积 = \( mn \)。

    面积变化量 = 新面积 - 原面积 = \( (mn - mb + an - ab) - mn = an - mb - ab \)。

    若此结果 > 0，则面积增加；若 < 0，则减少。具体取决于 \( a, b, m, n \) 的值。

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