多个数相乘的符号怎么判断？奇负偶正口诀与深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：多个数相乘 原理

• 核心概念：阿星来啦！咱们可以把负号“-”想象成一个个调皮的小恶魔，它们总想把你积攒的正能量（正数）变成负能量。当我们做一连串的乘法时，这些小恶魔就会互相“打架”或“结盟”。规则很简单：奇数个小恶魔（奇数个负因数）因为势均力敌无法彼此抵消，最终结果就是“负”的；偶数个小恶魔（偶数个负因数）则可以两两抵消，同归于尽，剩下的就全是正能量啦，结果就是“正”的！所以，计算前，先别急着算数，瞪大眼睛数一数：有几个负号？
• 计算秘籍：
  1. 定符号： 数清所有因数中负号的个数 \( n \)。应用口诀：奇负偶正。若 \( n \) 是奇数，则结果符号为“-”；若 \( n \) 是偶数，则结果符号为“+”。
  2. 算数值： 忽略所有负号，将所有因数的绝对值相乘。即计算 \( |a| \times |b| \times |c| \times \ldots \)。
  3. 合二为一： 将第一步确定的符号，赋予第二步计算出的数值。
• 阿星口诀： 负号排队报个数，奇负偶正记清楚。绝对值来先相乘，最后再把符号附。

📐 图形解析

虽然乘法是代数运算，但我们可以用一个数轴上的“转向”来可视化“奇负偶正”的效果。把正数乘法看成沿数轴正方向移动，负数乘法看成“调转方向”。

以三个数相乘 \( (-2) \times 3 \times (-1) \) 为例，其符号确定过程为：负因数个数为2（偶数个），故结果为正。

上图示意：两个“负号小恶魔”（红色）相遇，它们互相抵消（打了叉的虚线），最终对结果符号的影响消失了，所以结果符号显示为绿色“+”。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： 看到第一个因数是负数，就认为结果是负数。
  → ✅ 正解： 符号由全体负因数的个数决定，与第一个数的正负无关。例如 \( (-2) \times (-3) = +6 \)。
• ❌ 错误2： 把负因数个数和所有因数的个数搞混。
  → ✅ 正解： 只数带“-”号的数。计算 \( 2 \times (-3) \times (-4) \times 5 \) 时，因数是4个，但负因数只有 \( -3 \) 和 \( -4 \) 这2个。
• ❌ 错误3： 计算数值时，忘记取绝对值，带着负号直接乘。
  → ✅ 正解： 定符号和算数值是两步独立操作。算数值时，应使用 \( |-2|=2, |-3|=3 \) 等绝对值进行计算。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( (-1) \times (-1) \times (-1) = ? \)
2. \( 2 \times (-3) \times 4 = ? \)
3. \( (-5) \times 0.2 \times (-10) = ? \)
4. \( (-1) \times 2 \times (-3) \times 4 = ? \)
5. \( \frac{1}{2} \times (-\frac{2}{3}) \times (-\frac{3}{4}) = ? \)
6. 判断积的符号：\( (-7) \times 6 \times (-8) \times (-0.5) \)
7. 判断积的符号：\( 10 \times (-2) \times 3 \times (-1) \times (-1) \)
8. 计算：\( (-2)^3 \) （提示：\( (-2)^3 = (-2)\times(-2)\times(-2) \)）
9. 计算：\( (-1)^{100} \) （提示：100个-1相乘）
10. 若 \( a, b, c \) 均为负数，则 \( a \times b \times c \times d \) 的积为正数，请问 \( d \) 是正数还是负数？

第二关：中考挑战（10道）

1. 计算：\( (-8) \times (-\frac{5}{4}) \times \frac{1}{5} \times (-\frac{1}{2}) \)
2. 在 \( -2, 3, -4, 5 \) 中任取三个不同的数相乘，所能得到的最大乘积是______。
3. 已知 \( |a|=3, |b|=2 \)，且 \( ab < 0 \)，求 \( a \times (-b) \) 的值。
4. 若 \( x, y, z \) 满足 \( x \times y \times z > 0 \), \( x + y + z < 0 \)，且 \( x, y, z \) 均不为0，则 \( x, y, z \) 中有几个正数？
5. 计算：\( (-1) \times (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{3}) \times \cdots \times (-\frac{1}{10}) \)
6. 定义一种新运算：\( a \otimes b = (-a) \times b \)，求 \( 2 \otimes (-3) \otimes 4 \) 的值。
7. 若 \( a+b>0 \)，且 \( ab<0 \)，则 \( a, b, -a, -b \) 这四个数中，最大的数是______。
8. 一串数按以下规律排列：\( 1, -2, 3, -4, 5, -6, \ldots \)，求前100个数的乘积的符号。
9. 已知 \( m, n, p \) 均为整数，且 \( m \times n \times p = -120 \)，\( m+n+p=-6 \)，求 \( |m|+|n|+|p| \) 的值。
10. 如图所示，数轴上有A，B，C，D四个点，其对应的有理数分别为 \( a, b, c, d \)，且 \( abcd > 0 \)，\( a+b=0 \)。试判断点C、D所对应的数的正负性。
    

第三关：生活应用（5道）

1. （温度变化）某冷库的测温仪每小时记录一次温度。连续6小时的记录显示温度变化为：\( -2℃, -3℃, +1℃, -4℃, +0.5℃, -1℃ \)。如果以开始的温度为基准（0℃变化），这6小时后，冷库温度总共下降了多少℃？（提示：变化量相加可视为带符号数相乘的拓展，思考总和符号的判断）
2. （财务记录）小明的妈妈用记账APP记录家庭开销，收入记为正，支出记为负。一周内，有3笔\(-100\)元的支出（买菜），2笔\(+200\)元的收入（兼职），和1笔\(-50\)元的支出（交通）。不考虑其他，这一周家庭的财务总变动是多少？（先看作多个数相加，再思考如何用乘法简化计算部分项）
3. （海拔高度）一个探险队从海拔0米处出发。他们先向上爬升了3个高度均为\(+150\)米的山坡，然后又向下走了2个深度均为\(-200\)米的山谷。他们最终的海拔高度是多少米？（用乘法表示重复的变化）
4. （信号放大）一个信号处理电路包含三级放大器。第一级将输入信号放大\(-2\)倍（即反向并放大2倍），第二级放大\(-1\)倍（即反向），第三级放大\(+3\)倍。若输入一个大小为\(+1\)单位的信号，最终输出的信号大小和方向如何？
5. （概率中的符号）在某种游戏中，连续完成3个任务，每个任务都有\( \frac{1}{2} \)的概率得到\(+10\)分，\( \frac{1}{2} \)的概率得到\(-10\)分。请问“三次得分相乘为负数”的事件概率是多少？（列出所有得分组合，应用“奇负偶正”判断乘积符号）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( -1 \)（3个负，奇负）
2. \( -24 \)（1个负，奇负）
3. \( +10 \)（2个负，偶正）
4. \( +24 \)（2个负，偶正）
5. \( +\frac{1}{4} \) 或 \( 0.25 \)（2个负，偶正）
6. 负（3个负因数：-7, -8, -0.5）
7. 负（3个负因数：-2, -1, -1）
8. \( -8 \)（3个负因数）
9. \( +1 \)（100个负因数，偶数个）
10. 正数（a,b,c共3个负，积为负。要使最终积为正，需再引入1个负，使总数变为4个（偶数）。故d为正数）

第二关：中考挑战

1. \( -1 \)（3个负因数：-8, -5/4, -1/2。数值：\( 8 \times \frac{5}{4} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = 1 \)）
2. \( 40 \)（取\( -2, -4, 5 \)或\( 3, -4, 5 \)，乘积均为\( 40 \)。最大乘积需偶数个负因数且绝对值大）
3. \( 6 \) 或 \( -6 \)。由 \( ab<0 \) 知a,b异号。若 \( a=3, b=-2 \)，则 \( a\times(-b)=3\times2=6 \)；若 \( a=-3, b=2 \)，则 \( a\times(-b)=(-3)\times(-2)=6 \)。
4. 1个正数。由 \( xyz>0 \) 知负因数有0个或2个。由 \( x+y+z<0 \) 可排除三个全正的情况，故只能是2负1正。
5. \( -\frac{1}{3628800} \)（10个负因数，偶数个，故结果应为正？注意：-1也是负因数！共10个负因数（-1和后面9个带负号的分数），偶数个，结果符号为正。数值为 \( \frac{1}{10!} = \frac{1}{3628800} \)）
6. \( 24 \)。按顺序计算：\( 2 \otimes (-3) = (-2) \times (-3) = 6 \)； \( 6 \otimes 4 = (-6) \times 4 = -24 \)。
7. \( a \)。由 \( ab<0 \) 知a,b异号。由 \( a+b>0 \) 知正数的绝对值大。若a>0, b<0，则 \( a>0, b<0, -a<0, -b>0 \)，且 \( -b = |b| < a = |a| \)，最大为a。若a<0, b>0，同理最大为b。综合两种情况，最大的数是a和b中正的那个。
8. 负号。前100个数中，奇数项为正，偶数项为负。故有50个负数（偶数个）。乘积符号为正。
9. \( 16 \)。由 \( mnp=-120<0 \) 知m,n,p中负因数个数为奇数（1个或3个）。尝试因式分解120，并满足和为-6。可得一组解：\( -10, 3, 4 \)。其绝对值之和为 \( 10+3+4=17 \)？校验：乘积 \( (-10)\times3\times4 = -120 \)，和 \( (-10)+3+4 = -3 \)，不符合和为-6。正确解应为：\( -10, -2, 6 \)。乘积 \( (-10)\times(-2)\times6=120 \) 符号不对。或 \( -10, 2, 6 \) 和 \( -6 \)。重新分析：120= \( 2^3 \times 3 \times 5 \)，三数和为-6。试出 \( -10, 4, 3 \) 和为 -3。\( -8, 5, 3 \) 和为0。\( -6, 5, 4 \) 和为3。均不符合。考虑含负数且积为负，则三数应为两正一负。设负数为 \(-a\) (a>0)，两正数为b, c。则 abc=120, 且 b+c - a = -6。枚举a: 若a=10, bc=12, b+c=4，解得b,c为2,6。成立。三数为 \( -10, 2, 6 \)。 \( |m|+|n|+|p| = 10+2+6=18 \)。
10. 点C对应负数，点D对应正数。由 \( a+b=0 \) 且A、B两点不同，知a,b互为相反数，一正一负。由 \( abcd>0 \) 知 \( ab \) 与 \( cd \) 同号。因为 \( ab \) 为负数（一正一负相乘），所以 \( cd \) 也为负数，故c,d异号。观察数轴，c在0附近左侧，d在右侧，故c为负，d为正。

第三关：生活应用

1. 总共下降 \( 8.5℃ \)。（将所有变化相加：\( (-2)+(-3)+1+(-4)+0.5+(-1) = -8.5 \)）
2. 总变动为 \( +150 \) 元。（用乘法简化：\( 3\times(-100) + 2\times(+200) + 1\times(-50) = -300 + 400 - 50 = 50 \)）
3. 最终海拔 \( +50 \) 米。（\( 3\times(+150) + 2\times(-200) = 450 - 400 = 50 \)）
4. 输出为 \( +6 \) 单位信号。（总放大倍数为 \( (-2) \times (-1) \times 3 = +6 \)，输入+1，输出+6）
5. 概率为 \( \frac{1}{2} \)。三次得分的所有等可能情况有 \( 2^3=8 \) 种。乘积为负（即负因数个数为奇数）的情况有：恰好得1个-10分（3种），恰好得3个-10分（1种），共4种。概率为 \( 4/8 = 1/2 \)。