多边形内角和公式怎么理解？(n-2)×180°口诀及例题深度解析专项练习题库

你好，undefined同学！我是星火AI实验室的首席顾问。今天，我的助教阿星将带领你，用一种超级形象的方式，彻底攻克“多边形内角和”这个知识点。准备好了吗？让我们开始这次深度学习的旅程吧！

💡 阿星精讲：内角和公式 原理

• 核心概念：想象一下，多边形就是一群“三角形兄弟”手拉手排排站！任何一个 \( n \) 边形（比如五边形、六边形），我们都可以从它的一个顶点出发，向其他不相邻的顶点画“邀请线”（对角线），把它分割成若干个三角形。阿星发现了一个惊天大秘密：分出来的三角形个数，总是比边数少2个！ 这就是公式中 \( (n-2) \) 的由来。每个三角形的内角和是 \( 180^\circ \)，那么 \( n \) 边形的内角和自然就是 \( (n-2) \) 个 \( 180^\circ \) 相加，即 \( (n-2) \times 180^\circ \)。阿星打了个比方：“这就叫‘累加’！多一条边，就相当于多边形大家庭里多了一个成员，整个家庭的内角和‘能量包’就得多增加一个 \( 180^\circ \) ！”
• 计算秘籍：
  1. 数边数 \( n \)： 确认图形是几边形。
  2. 套用公式： 内角和 \( S = (n-2) \times 180^\circ \)。注意：括号不能丢！ 是 \( (n-2) \) 乘以180，不是 \( n-2 \times 180 \)。
  3. 计算求解： 先算减法，再算乘法。
• 阿星口诀： “数边 n， 减个 2， 再乘 180， 和角就出世！”

📐 图形解析

下面这个SVG图，完美诠释了阿星的“累加”思想。看，从一个顶点出发画对角线，把多边形分割成若干个三角形。边数 \( n \) 每增加1，分出的三角形就多1个，总内角和就多一个 \( 180^\circ \)！

多边形内角和公式：\( S_{n} = (n-2) \times 180^\circ \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： 计算八边形内角和，写成 \( 8 - 2 \times 180 = 6 \times 180 = 1080 \)。 → ✅ 正解： 忘记括号是致命伤！ 正确应为 \( (8-2) \times 180 = 6 \times 180 = 1080 \)。虽然结果巧合相同，但过程错误。如果 \( n=3 \)，错误写法 \( 3-2\times180 = -357 \) 就暴露问题了。
• ❌ 错误2： 求十二边形的内角和，算成了 \( (12-2) \times 360 = 3600 \)。 → ✅ 正解： 把内角和公式 \( (n-2)\times180 \) 和外角和定理（恒为 \( 360^\circ \)）记混了。务必分清：内角和随边数变，外角和永远不变。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求六边形的内角和。
2. 求九边形的内角和。
3. 一个多边形的边数是12，它的内角和是多少度？
4. 内角和为 \( 720^\circ \) 的多边形是几边形？
5. 内角和为 \( 1800^\circ \) 的多边形是几边形？
6. 一个多边形的内角和是 \( 540^\circ \)，则这个多边形是____边形。
7. 已知四边形ABCD中，\( \angle A = 80^\circ, \angle B = 95^\circ, \angle C = 105^\circ \)，求 \( \angle D \)。
8. 正五边形的每个内角是多少度？（提示：先求内角和，再除以5）
9. 正八边形的每个内角是多少度？
10. 一个多边形截去一个角后（不过顶点），形成的新多边形内角和为 \( 1440^\circ \)，求原多边形的边数。

第二关：中考挑战（10道）

1. 若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少 \( 180^\circ \)，求这个多边形的边数。
2. 一个多边形除了一个内角外，其余内角和为 \( 2570^\circ \)，求这个多边形的边数和那个除外内角的度数。
3. 两个多边形的边数之比是 \( 1:2 \)，内角和之比是 \( 1:3 \)，求这两个多边形的边数。
4. 如图，在四边形ABCD中，\( \angle A = \angle C = 90^\circ \)，BE平分 \( \angle ABC \)，DF平分 \( \angle ADC \)。求证：BE // DF。
   
5. 一个多边形所有内角与其中一个外角的和是 \( 1300^\circ \)，求这个多边形的边数。
6. 小华从多边形的一个顶点出发，连接了15条对角线，那么这个多边形的内角和是多少？
7. 正 \( n \) 边形的一个内角比正 \( 2n \) 边形的一个内角小 \( 45^\circ \)，求 \( n \) 的值。
8. 在五边形ABCDE中，\( \angle A = \angle B = 120^\circ \)，\( \angle C = \angle D \)，\( \angle E = 90^\circ \)，求 \( \angle C \) 的度数。
9. 凸 \( n \) 边形的 \( n \) 个内角中，锐角最多有多少个？
10. 如图，求 \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F \) 的度数。
    

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑设计） 蜂巢的底部由许多正六边形构成。计算一个正六边形蜂房单个底面的内角和，并解释这种结构为什么稳定、省料。
2. （瓷砖铺设） 小明家浴室想用两种正多边形瓷砖进行无缝铺贴（不留空隙）。其中一种选了正三角形（内角 \( 60^\circ \)），另一种正多边形的内角是 \( 120^\circ \）。请问另一种是正几边形？请用内角和公式验证。
3. （游戏设计） 在一款策略游戏中，有一种“魔法阵”被设定为内角和恰好是 \( 2340^\circ \) 的多边形。玩家需要画出这个魔法阵，它应该是几边形？
4. （测量计算） 测绘员测量了一块不规则五边形土地的四个内角，分别为 \( 85^\circ, 110^\circ, 95^\circ, 150^\circ \)。他不需要测量第五个角就能知道它是多少度，请问是多少？
5. （艺术创作） 一位艺术家想用铜线弯折一个内角和为 \( 1980^\circ \) 的多边形框架作为雕塑主体。他至少需要准备多少条等长的铜线？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (6-2)\times180 = 720^\circ \)
2. \( (9-2)\times180 = 1260^\circ \)
3. \( (12-2)\times180 = 1800^\circ \)
4. \( (n-2)\times180=720 \Rightarrow n-2=4 \Rightarrow n=6\)，六边形。
5. \( (n-2)\times180=1800 \Rightarrow n-2=10 \Rightarrow n=12\)，十二边形。
6. \( (n-2)\times180=540 \Rightarrow n-2=3 \Rightarrow n=5\)，五边形。
7. 四边形内角和 \( 360^\circ \)，\( \angle D = 360 - 80 - 95 - 105 = 80^\circ \)。
8. 正五边形内角和 \( 540^\circ \)，每个内角 \( 540 \div 5 = 108^\circ \)。
9. 正八边形内角和 \( 1080^\circ \)，每个内角 \( 1080 \div 8 = 135^\circ \)。
10. 截去一个角（不过顶点）边数增加1。设新多边形边数为 \( m \)，则 \( (m-2)\times180=1440 \Rightarrow m=10 \)。原多边形边数为 \( 10-1=9 \)。

第二关：中考挑战

1. 设边数为 \( n \)。外角和恒为 \( 360^\circ \)。方程：\( (n-2)\times180 = 3\times360 - 180 \)，解得 \( n=7 \)。
2. 设边数为 \( n \)，除外角为 \( x^\circ \) (\( 0 < x < 180 \))。则 \( (n-2)\times180 = 2570 + x \)。\( 2570 \div 180 = 14...50 \)，所以 \( n-2=15 \)，\( n=17 \)。\( x = 15\times180 - 2570 = 130 \)。
3. 设两个多边形边数分别为 \( k \) 和 \( 2k \)。则 \( \frac{(k-2)\times180}{[(2k)-2]\times180} = \frac{1}{3} \)，解得 \( k=4 \)。所以是四边形和八边形。
4. 在四边形ABCD中，\( \angle ABC + \angle ADC = 360 - 90 - 90 = 180^\circ \)。∵ BE、DF平分这对角，∴ \( \angle ABE + \angle ADF = 90^\circ \)。在 \( \triangle ABE \) 中，\( \angle AEB = 90 - \angle ABE \)。又 \( \angle ADF = 90 - \angle ABE \)，∴ \( \angle AEB = \angle ADF \)，∴ BE // DF（同位角相等）。
5. 设边数为 \( n \)，那个外角为 \( \alpha \) (\( 0 < \alpha < 180 \))。则 \( (n-2)\times180 + \alpha = 1300 \)。\( 1300 \div 180 = 7...40 \)，所以 \( n-2=7 \)，\( n=9 \)。\( \alpha = 40^\circ \)。
6. 从一个顶点出发可连 \( (n-3) \) 条对角线。\( n-3=15 \Rightarrow n=18 \)。内角和 \( = (18-2)\times180 = 2880^\circ \)。
7. 正 \( n \) 边形内角：\( \frac{(n-2)\times180}{n} \)；正 \( 2n \) 边形内角：\( \frac{(2n-2)\times180}{2n} = \frac{(n-1)\times180}{n} \)。列方程：\( \frac{(n-1)\times180}{n} - \frac{(n-2)\times180}{n} = 45 \)，解得 \( \frac{180}{n}=45 \)，\( n=4 \)。
8. 设 \( \angle C = \angle D = x^\circ \)。五边形内角和 \( 540^\circ \)。列方程：\( 120+120+x+x+90=540 \)，解得 \( 2x=210， x=105^\circ \)。
9. 凸多边形外角和为 \( 360^\circ \)。若有4个或以上的内角是锐角（外角为钝角），则这些外角之和将超过 \( 360^\circ \)，矛盾。所以锐角最多有3个。
10. 图形可看作两个三角形叠合。连接AD，将图形分为两个四边形ABFD和ACDE。所求角度和等于两个四边形内角和减去 \( \angle BAD \) 与 \( \angle CDA \) 之和（公共部分）。更简便的观察：所求的和等于四边形BCEF的内角和 \( 360^\circ \) 加上 \( \triangle ADE \) 的内角和 \( 180^\circ \) 再减去重叠部分？实际上，通过构造辅助线或转化为三角形和四边形，可快速得出答案为 \( 360^\circ \)。（解析：连接BE，利用“8字形”模型或三角形外角定理，可证 \( \angle A+ \angle F = \angle CBE + \angle BEF \)，同理转化其他角，最终归结为四边形BCEF的内角和 \( 360^\circ \)）。

第三关：生活应用

1. 正六边形内角和 \( 720^\circ \)，每个内角 \( 120^\circ \)。多个 \( 120^\circ \) 的角可以完美拼接（\( 3\times120=360 \)），无缝隙，结构稳定且用料最省（蜂蜡），这是自然界最优解的体现。
2. 设另一种是正 \( m \) 边形。内角 \( \frac{(m-2)\times180}{m} = 120 \)，解得 \( m=6 \)。是正六边形。验证：正三角形内角 \( 60^\circ \)，正六边形内角 \( 120^\circ \)，在一个顶点处，可以拼成 \( 60+120+120+60=360^\circ \)（多种拼法），实现无缝铺贴。
3. \( (n-2)\times180 = 2340 \Rightarrow n-2=13 \Rightarrow n=15 \)。十五边形。
4. 五边形内角和 \( 540^\circ \)。第五个角 \( = 540 - 85 - 110 - 95 - 150 = 100^\circ \)。
5. 框架边数即多边形边数 \( n \)。\( (n-2)\times180 = 1980 \Rightarrow n-2=11 \Rightarrow n=13 \)。至少需要13条铜线。