多边形的定义是什么？内角和公式怎么算？图形判定易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：多边形的定义 原理

• 核心概念：想象一下，你有一把神奇的魔法棒（就是线段），你叫来了 \( n \) 个小伙伴，每人手里一根魔法棒。你们要玩一个“围地盘”的游戏。规则是：所有人必须手拉手（首尾顺次相接）站成一圈，并且魔法棒要紧紧地连在一起，不能有缝隙，中间就围出了一块属于你们的“领地”。这个领地就是一个封闭图形。在数学世界里，这个游戏的结果就叫“多边形”。所以，多边形就是由 \( n \) (\( n \geq 3 \)) 条线段首尾顺次相接，在平面内围成的封闭图形。 记住，圈圈必须封死，领地才成立！
• 计算秘籍：多边形的“身份证”信息主要由边数 \( n \) 决定。
  1. 命名：根据边数 \( n \) 直接命名，例如 \( n=3 \) 是三角形，\( n=4 \) 是四边形，\( n=5 \) 是五边形。
  2. 内角和：一个 \( n \) 边形的内角和度数有一个固定公式：\( (n-2) \times 180^\circ \)。比如，三角形的内角和是 \( (3-2) \times 180^\circ = 180^\circ \)。
  3. 对角线条数：从一个顶点出发，可以画出 \( (n-3) \) 条对角线；整个 \( n \) 边形总共有 \( \frac{n(n-3)}{2} \) 条对角线。
• 阿星口诀：线段首尾连成环，平面围出地一片。边数最少得是三，图形封闭是关键。

📐 图形解析

下图展示了一个标准的五边形 (\( n=5 \)) 是如何由5条线段（AB, BC, CD, DE, EA）首尾顺次相接，围成一个封闭区域的。同时，它也展示了一种常见的错误情况（虚线部分），帮助你理解“封闭”的重要性。

关键理解：五边形的内角和为 \( (5-2) \times 180^\circ = 540^\circ \)。它的对角线总数为 \( \frac{5 \times (5-3)}{2} = 5 \) 条。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为几条线段连在一起就是多边形。
  → ✅ 正解：必须严格满足“首尾顺次相接且封闭”。像上图虚线部分，P→Q→R→S，但S没有连回P，图形有“缺口”，这就不是多边形。
• ❌ 错误2：认为图形中有曲线或者线段交叉了也是多边形。
  → ✅ 正解：多边形的边必须是线段（直的），且整个图形是简单的，意味着任何两条边除了在公共顶点处相交外，不能在其他地方相交。像五角星⭐内部线段有交叉，它就不是一个“简单多边形”，我们通常称之为“星形多边形”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：由三条线段组成的图形叫做三角形。（ ）
2. 填空：最少用 \( \_\_\_ \) 条线段才能围成一个多边形。
3. 判断：一个图形有4条边，它就是四边形。（ ）
4. 请画出两个不同的四边形。
5. 填空：四边形的内角和是 \( \_\_\_ \) 度。
6. 判断：圆是一个多边形。（ ）
7. 数一数，下面的图形有几条边？它是几边形？
   
8. 填空：五边形有 \( \_\_\_ \) 条边，\( \_\_\_ \) 个顶点。
9. 一个多边形的边数是8，我们叫它 \( \_\_\_ \) 边形。
10. 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做 \( \_\_\_ \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 若一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ______。
2. 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为 \( 2520^\circ \)，则原多边形的边数是 ______。
3. 从九边形的一个顶点出发，可以画出 ______ 条对角线。
4. 已知一个正多边形的每个内角都是 \( 156^\circ \)，则这个正多边形是 ______ 边形。
5. 若一个多边形的边数增加1，则它的内角和增加 ______ 度。
6. 一个多边形的对角线共有27条，则这个多边形的内角和为 ______。
7. 在四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D = 1:2:3:4，则最大的内角是 ______ 度。
8. 判断：所有边长都相等的图形就是正多边形。（ ）
9. 一个多边形除了一个内角外，其余内角之和为 \( 2570^\circ \)，则这个内角的度数是 ______。
10. 如图所示，求 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F 的度数。
    

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑）蜂巢的截面是完美的正六边形，从力学和空间利用上解释这种结构的一个优点。
2. （艺术）许多文化中的窗花、地砖图案都用到了多边形镶嵌（不留缝隙也不重叠地铺满地面）。请举出两种能单独进行镶嵌的多边形。
3. （测量）一块土地的形状是一个五边形，测绘员已经测量了其中四个内角分别是 \( 85^\circ, 110^\circ, 95^\circ, 150^\circ \)，请你帮他计算第五个内角的度数。
4. （游戏）在一款策略游戏中，你需要用栅栏围起一片区域。你手里的栅栏可以做成每条边长度固定的正多边形区域。如果你想围成的区域面积尽可能大，在周长固定下，你会选择三角形、正方形还是正六边形？为什么？（定性思考）
5. （设计）设计师想用多边形瓷砖铺一个浴室墙面，他希望每种颜色的瓷砖都是同一种正多边形，并且每个顶点处都有相同规律的拼接。他发现用正三角形、正方形和正六边形可以实现。请问在这些情况下，每个顶点分别由几块瓷砖拼合而成？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ❌。必须是三条线段首尾相接围成的封闭图形。
2. \( 3 \)
3. ❌。还必须是一个封闭的图形。
4. 略（可画正方形、长方形、一般四边形等）。
5. \( 360 \)
6. ❌。圆的边不是线段。
7. \( 6 \) 条边，是六边形。
8. \( 5 \)，\( 5 \)
9. 八边形
10. 对角线

第二关：中考挑战

1. \( 6 \)（解析：设边数为 \( n \)，内角和 \( = (n-2)\times180 \)，外角和恒为 \( 360 \)。方程：\( (n-2)\times180 = 2\times360 \)，解得 \( n=6 \)。）
2. \( 15 \) 或 \( 16 \) 或 \( 17 \)（解析：新多边形内角和 \( 2520^\circ \)，代入公式 \( (n-2)\times180=2520 \) 得 \( n=16 \)。截去一个角，可能边数不变、增加一条或减少一条，故原多边形边数为 \( 15, 16, 17 \)。）
3. \( 6 \)（解析：从 \( n \) 边形一个顶点出发可画 \( (n-3) \) 条对角线，\( 9-3=6 \)。）
4. 十五边形（解析：每个内角 \( 156^\circ \)，则每个外角 \( 24^\circ \)。边数 \( n = 360 \div 24 = 15 \)。）
5. \( 180 \)（解析：\( [(n+1)-2]\times180 - [(n-2)\times180] = 180 \)。）
6. \( 1440^\circ \)（解析：对角线公式 \( \frac{n(n-3)}{2} = 27 \)，解得 \( n=9 \)。内角和 \( = (9-2)\times180 = 1260^\circ \)。）
7. \( 144^\circ \)（解析：设每一份为 \( k \)，则 \( k+2k+3k+4k = (4-2)\times180 = 360 \)，解得 \( k=36 \)。最大角 \( \angle D = 4k = 144^\circ \)。）
8. ❌。正多边形还必须满足所有内角都相等。
9. \( 130^\circ \)（解析：设边数为 \( n \)，内角和为 \( (n-2)\times180 \)。\( 2570^\circ < 内角和 < 2570^\circ + 180^\circ \)。解得 \( n=17 \) 时，内角和 \( = 2700^\circ \)，故所求角 \( = 2700 - 2570 = 130^\circ \)。）
10. \( 360^\circ \)（解析：将图形视为一个六边形，但缺少了内部一个顶点。连接BF，可将图形分为两个四边形ABFE和BCDF。两个四边形内角和之和为 \( 2 \times 360 = 720^\circ \)。但∠EBF和∠FBE被重复计算了一次，而它们正好构成一个平角 \( 180^\circ \)。故所求总和 \( = 720 - 180 = 540^\circ \)。更简便方法：图形可看作六边形，其内角和为 \( (6-2)\times180=720^\circ \)。观察发现，图中所有内角之和等于六边形内角和减去中间三角形（或一点）的内角和 \( 180^\circ \)，即 \( 720 - 180 = 540^\circ \)。题目所标六个角并非六边形全部内角，需注意。）（本题有多种解法，旨在锻炼图形分解能力）

第三关：生活应用

1. 正六边形结构能以最少的材料（周长）围出最大的面积，且受力均匀，稳定性强，多个正六边形可以紧密拼接不留空隙，最大限度地利用空间。
2. 正三角形、正方形、正六边形。（任意一种三角形、任意一种四边形实际上也能镶嵌，但题目要求“单独进行镶嵌”的常见正多边形就是这三种。）
3. \( 100^\circ \)（解析：五边形内角和 \( = (5-2)\times180 = 540^\circ \)。第五个角 \( = 540 - (85+110+95+150) = 100^\circ \)。）
4. 正六边形。因为在周长固定的情况下，边数越多，图形越接近圆形，面积越大。
5. 正三角形：每个顶点由 \( 6 \) 块拼合（内角60°，\( 360 \div 60 = 6 \)）。正方形：每个顶点由 \( 4 \) 块拼合（内角90°，\( 360 \div 90 = 4 \)）。正六边形：每个顶点由 \( 3 \) 块拼合（内角120°，\( 360 \div 120 = 3 \)）。