钝角三角形的高为什么在外部？画法与计算深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：高(钝角) 原理

• 核心概念：同学们，想象一下，钝角三角形就像一个尖顶歪向一边的“怪房子”。它的三条高（就是从顶点垂直掉到对边的线段）在玩“躲猫猫”呢！对于一个锐角三角形，三条高都乖乖地躲在三角形内部。但是钝角三角形就调皮多了——因为它有一个大于 \( 90^\circ \) 的“大钝角”。从锐角顶点出发，向钝角所对的边作高，这条高是乖宝宝，在三角形内部。但从钝角顶点出发，向它对边作垂线时，你会发现对边太“短”了，接不住这条垂线，垂足落在了对边的延长线上。所以，钝角三角形有两条高躲在了三角形的外部！画图时必须延长对边才能找到它们，这是绘图题的必考陷阱，也是理解面积计算 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \) 的关键，这里的“高”永远是顶点到对边所在直线的垂直距离。
• 计算秘籍：无论高在内部还是外部，求高的根本方法都是面积法。
  1. 已知两边及其夹角：先用公式 \( S = \frac{1}{2}ab\sin C \) 求出面积。
  2. 再根据所求高对应的底边，利用 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \) 反推。即：\( 高 = \frac{2S}{底} \)。
• 阿星口诀：钝角三角画高难，两条藏在外部玩。延长对边是关键，垂足落在外边站。面积公式是总缆，一除底边得高段。

📐 图形解析

下图清晰地展示了钝角三角形 \( \triangle ABC \)（其中 \( \angle A > 90^\circ \)）三条高的位置。注意：\( h_b \) 和 \( h_c \) 需要分别延长边 \( AC \) 和 \( AB \) 才能得到。

公式总结：三角形面积 \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h_a = \frac{1}{2} \times AC \times h_b = \frac{1}{2} \times AB \times h_c \)。对于 \( h_b \) 和 \( h_c \)，公式中的 \( AC \) 和 \( AB \) 指的是线段的长度，而非延长后的长度。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：从钝角顶点B画高时，直接往对边AC上画垂线，发现画不出来或者垂足不在线段上，就怀疑自己画错了。
  ✅ 正解：钝角顶点（如图中的A）向对边所作的高一定在三角形外部。正确步骤是：先延长对边，再过顶点作这条延长线的垂线。
• ❌ 错误2：计算钝角三角形面积时，误用“高在内部”的错觉，用错误的底和高代入公式 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \)。
  ✅ 正解：面积是唯一的。可以选用钝角所对的边（此时高在内部）作为底边进行计算，最为稳妥。或者使用两边及夹角的正弦公式 \( S = \frac{1}{2}ab\sin C \) 绕过找高的麻烦。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：任何三角形都有三条高，且三条高都在三角形内部。（ ）
2. 填空：钝角三角形有 ____ 条高在三角形外部，这些高是从 ____ 顶点出发，向它们的对边所作的垂线段。
3. 作图：画出以AB=5cm为底边，高为3cm（在内部）的钝角三角形ABC（∠C为钝角）的示意图。
4. 在 \( \triangle ABC \) 中，∠B=110°，AB=6，BC=4。则AC边上的高在三角形的 ____（内部/外部）。
5. 已知 \( \triangle ABC \) 面积为12，若BC=6，则BC边上的高为 ____。
6. 已知 \( \triangle ABC \) 中，∠A=100°，AC=8，AB=5，则 \( S_{\triangle ABC} = \) ____。（用含三角函数的式子表示）
7. 一个三角形的两边长为5和8，夹角为150°，则其面积为 ____。
8. 已知三角形三边为6, 8, 11，这个三角形是 ____（锐角/直角/钝角）三角形。
9. 接上题，长度为11的边所对的角是 ____ 角，该边上的高在三角形 ____（内部/外部）。
10. 简答：为什么钝角三角形有两条高在外部？用“点到直线的距离”概念解释。

第二关：中考挑战（10道）

1. （作图题）已知钝角 \( \triangle ABC \)，其中∠A是钝角。请用尺规作出从顶点B到边AC的高。
2. 在 \( \triangle ABC \) 中，AB=13， AC=15， BC=4。求AC边上的高BD的长度。
3. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle B = 120^\circ \)，\( AB = 6 \)，点D在AC上，且 \( AD = 2DC \)，\( BD \perp AB \)。求BC的长。
4. 若钝角三角形三边长均为整数，且两边长分别为7和10，则第三边可能为 ____。
5. 在平面直角坐标系中，O(0,0)，A(6,0)，B(3,4)。点P在y轴上，若 \( \triangle PAB \) 是钝角三角形，且∠P为钝角，求点P纵坐标的取值范围。
6. 证明：对于任意 \( \triangle ABC \)，有 \( S = \frac{abc}{4R} \)（其中R为外接圆半径）。并用此公式思考，钝角三角形中，最长边上的高与 \( R \) 的关系。
7. 在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=3， BC=4， CD=12。求对角线BD的长。（提示：连接BD，构造钝角三角形）
8. 已知 \( \triangle ABC \) 的面积为 \( 10\sqrt{3} \)，且 \( a=8 \)， \( \sin B : \sin C = 5:3 \)。求 \( \triangle ABC \) 的周长。
9. （动点问题）在矩形ABCD中，AB=8，AD=6。点P从A出发沿AD向D运动，速度为1单位/秒；点Q从C出发沿CB向B运动，速度为2单位/秒。当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形是钝角三角形？
10. 综合：阅读“阿星精讲”中面积法的内容，请你自行推导并总结，已知三角形两边及其中一边的对角，如何求该边上的高？（请分锐角、钝角对角两种情况讨论）

第三关：生活应用（5道）

1. （测量）为了测量一个池塘两岸A、B两点间的距离（AB线段穿过池塘，无法直接测量），测量员在池塘外选一点C，测得CA=80m，CB=60m，∠ACB=120°。请你帮测量员计算AB的距离。
2. （工程）一个屋顶的横截面是等腰三角形，其腰长为5米，底角为120°。需要在屋顶正中（顶点到底边中点的连线）安装一根支撑梁。请问这根支撑梁有多长？（结果保留根号）
3. （航海）一艘船从A岛出发，以30km/h的速度向北偏东20°方向航行2小时后到达B岛。然后立即改变航向，向北偏西80°方向航行。请问，从A岛看B岛和船改变航向后的位置C岛，∠ABC是多少度？若此时船需要紧急直线返回A岛，画出航线并说明最短返航路径（即高）的位置关系。
4. （物理）一个大小为10N的力，分解为两个分力。已知两个分力的夹角为150°，其中一个分力大小为6N。用作图法（定性）说明另一个分力的大小和方向，并解释在作力的三角形时，合力所对的角是钝角时，分力的三角形有什么特点。
5. （艺术设计）一位设计师想创作一个“隐藏的灯塔”图案：图案主体是一个钝角三角形代表山体，灯塔的光（一条垂直线）从三角形的一个锐角顶点射向钝角所对的边，光芒（高）必须画在三角形内部。而另一条从钝角顶点射向对面锐角边的光，则隐藏在三角形外部（用虚线表示）。请你帮设计师确定，这个钝角三角形的钝角至少需要大于多少度，才能确保第一条光（高）一定在内部，而第二条光（高）一定在外部？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 判断：错误。钝角三角形有两条高在外部。
2. 填空：两，钝角。
3. 作图：略。提示：先画AB=5cm，再在AB上方或下方作一条平行线，距离AB为3cm。由于∠C为钝角，顶点C不能落在以AB为直径的圆内（泰勒斯定理反用），应取在平行线上但比较远离AB中点的位置。
4. 内部。因为∠B=110°是钝角，它所对的边是AC。所以从钝角顶点B向对边AC作的高在外部。但本题问的是AC边上的高，即从AC所对的顶点B作的高，因此就是上一步提到的那条，在外部。（解析：仔细读题，“AC边上的高”意指以AC为底边的高，是从B点向AC作的垂线）
5. \( h = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 12}{6} = 4 \)。
6. \( S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 100^\circ = 20 \sin 100^\circ \)。
7. \( S = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 150^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \)。
8. 钝角。计算：\( 6^2+8^2=100 \)， \( 11^2=121 > 100 \)，最大边所对角为钝角。
9. 钝角，内部。（钝角所对的边上的高在三角形内部）
10. 点到直线的距离是垂直距离。对于钝角三角形的钝角顶点，其对边（一条线段）的两端和垂足构成的角中，垂足与线段两端形成的角都是锐角，因此垂足必然落在线段本身的两端之外，即延长线上。

（第二关、第三关详细解析因篇幅所限，此处提供关键题思路。）

第二关：关键题解析

2. 由边长知，\( 13^2+4^2=169+16=185 \)， \( 15^2=225 > 185 \)，故∠B为钝角。AC边上的高BD是从锐角顶点B向对边AC所作的高，应在外部。
先用海伦公式求面积：\( p=\frac{13+15+4}{2}=16 \)， \( S=\sqrt{16\times(16-13)\times(16-15)\times(16-4)}=\sqrt{16\times3\times1\times12}=\sqrt{576}=24 \)。
则 \( BD = \frac{2S}{AC} = \frac{2\times24}{15} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3.2 \)。

5. 思路：若∠P为钝角，则根据余弦定理，在 \( \triangle PAB \) 中，\( PA^2 + PB^2 < AB^2 \)。设P(0, y)。计算\( PA^2=36+y^2 \)， \( PB^2=9+(y-4)^2 \)， \( AB^2=25 \)。代入不等式解y的范围。

第三关：关键题解析

1. 直接应用余弦定理：\( AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \times CA \times CB \times \cos \angle ACB = 80^2+60^2 - 2\times80\times60\times\cos120^\circ = 6400+3600 - 9600 \times (-\frac{1}{2}) = 10000 + 4800 = 14800 \)。所以 \( AB = \sqrt{14800} = 20\sqrt{37} \) m。

5. 设三角形为 \( \triangle ABC \)，∠A为钝角。条件1：从锐角顶点B到对边AC的高在内部。这要求垂足D在线段AC上，等价于∠C和∠A都是锐角？不，因为∠A已经是钝角，所以∠C必为锐角。条件2：从钝角顶点A到对边BC的高在外部。这要求垂足E在线段BC的延长线上。对于固定的∠A，当边AB和AC的长度变化时，高的位置也会变。但题目问“至少需要大于多少度”。考虑一个临界情况：当从A作BC的高恰好经过点C时（即AC⊥BC），此时高在边上。若∠A再增大，C点会更“躺下”，垂足就会落到BC的延长线上。此时在 \( \triangle ABC \) 中，∠C=90°。所以∠A至少需要大于 \( 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)？不，此时∠A = \( 180^\circ - 90^\circ - \angle B \)，是一个锐角。这个思路有问题。更严谨的模型需要设定。一个更简单的思考：要使一条高一定在内部，另一条一定在外部，其实只要三角形是钝角三角形（∠A>90°），那么从A作的高一定在外部，从B、C作的高一定在内部。所以条件是∠A > 90°。但题目问“至少”，所以答案是大于90度即可。但设计情境可能要求“第一条光（从锐角顶点射向钝角对边）在内部”，这本身就是钝角三角形的性质，无需额外条件。