对应边与对应角全等三角形解题方法深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：对应边与对应角 原理

• 核心概念：哈喽！我是阿星。想象一下，你有两个完全一样的乐高机器人，他们是“双胞胎”或者说“克隆体”。现在，你要把他们并排站好，给每个零件都贴上标签。这时，一个关键的操作来了：一一映射！你必须规定，左边机器人的头对应右边机器人的头，左手对应左手，右脚对应右脚。在数学里，两个全等的图形就像这对双胞胎。我们用一个魔法符号“≌”来宣告它们全等，而写在符号两边的字母顺序，就是我们的“一一映射”规则。它明确地告诉你：字母A的对应伙伴是谁，字母B的对应伙伴是谁…… 一旦这个“伙伴关系”确定了，那么每一对“伙伴”所在的边（对应边）和角（对应角）就自动相等了。记住阿星的话：“全等之后，对应边相等，对应角相等。记得写全等符号≌时，字母顺序要对应！” 字母顺序就是你建立映射关系的“密码本”。
• 计算秘籍：
  1. 找对应： 首先根据题目给出的全等关系（或通过推导证明全等），确定顶点之间的对应关系。例如，已知 \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)，则 \( A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F \)。
  2. 写等式： 根据对应关系，写出边和角的等式。
     • 对应边：\( AB = DE, BC = EF, CA = FD \)。
     • 对应角：\( \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F \)。
  3. 代值计算： 将已知的边长或角度代入等式中，解出未知量。例如，若已知 \( AB = 5 \)，则立刻有 \( DE = 5 \)；若已知 \( \angle A = 60^\circ \)，则 \( \angle D = 60^\circ \)。
• 阿星口诀： 全等图形像克隆，字母顺序定对应。边边相等角角等，顺序乱写可不行！

📐 图形解析

下面这两个三角形是全等的。注意观察，从 \( \triangle ABC \) 到 \( \triangle A’B’C’ \)，顶点 \( A \) 映射到了 \( A’ \)，\( B \) 映射到 \( B’ \)，\( C \) 映射到 \( C’ \)。我们用虚线箭头和相同颜色标明了这种一一映射关系。因此，它们的全等关系应写作：\( \triangle ABC \cong \triangle A’B’C’ \)。

根据全等关系 \( \triangle ABC \cong \triangle A’B’C’ \)，我们可以立即得到：
对应边：\( AB = A’B‘, \quad BC = B’C‘, \quad AC = A’C‘ \)。
对应角：\( \angle A = \angle A‘, \quad \angle B = \angle B’, \quad \angle C = \angle C‘ \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到两个三角形边长差不多，就认为某两条边是对应边。
  → ✅ 正解：对应边必须由顶点的一一对应关系决定。必须先明确（或证明）全等，并根据全等符号“≌”两边的字母顺序找到对应顶点，才能确定对应边。
• ❌ 错误2：写全等关系时，字母顺序随意写，例如写成 \( \triangle ABC \cong \triangle EFD \)，却认为 \( AB = EF \)。
  → ✅ 正解：字母顺序是“密码”！\( \triangle ABC \cong \triangle EFD \) 意味着 \( A \leftrightarrow E, B \leftrightarrow F, C \leftrightarrow D \)，因此 \( AB \) 的对应边是 \( EF \)，而不是 \( ED \)。必须严格按顺序匹配。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 若 \( \triangle DOG \cong \triangle CAT \)，且 \( DG = 12 \)，\( \angle O = 70^\circ \)，则 \( CT = \) ____，\( \angle A = \) ____。
2. 如图，\( \triangle ABC \cong \triangle DCB \)，若 \( \angle A = 65^\circ \)，\( \angle ACB = 45^\circ \)，求 \( \angle DBC \) 的度数。
3. 全等三角形中，对应边所对的角也是______角。
4. 已知 \( \triangle XYZ \cong \triangle FED \)，且 \( XY = 10 \)，\( YZ = 8 \)，\( ZX = 12 \)，则 \( \triangle FED \) 的周长是______。
5. 写出与 \( \triangle MNP \) 全等的三角形 \( \triangle QRS \) 的一种正确顶点对应方式（字母顺序正确）。
6. 若两个三角形全等，它们最多有______对对应边相等。
7. 判断题：全等三角形的面积和周长一定都相等。（ ）
8. 如图，两个三角形全等，其中一部分的边长已标出，求 \( x \) 的值。
9. 已知 \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)，\( \angle B = 50^\circ \)，\( \angle F = 70^\circ \)，求 \( \angle A \) 的度数。
10. 全等符号“≌”读作“______”。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考改编）如图，点 \( B, F, C, E \) 在同一直线上，\( AB = DE \)，\( AB \parallel DE \)，添加一个条件______，使得 \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)。并证明之。
2. 已知 \( \triangle ABC \cong \triangle ADE \)，\( \angle BAC = 85^\circ \)，\( \angle B = 40^\circ \)，求 \( \angle EDC \) 的度数。
3. 若两个全等三角形的某两边长分别为 \( 5 \) 和 \( 7 \)，则第三个边的长度可能是______。
4. 如图，\( \triangle ABE \cong \triangle ACD \)，\( \angle B = 50^\circ \)，\( \angle AEB = 65^\circ \)，求 \( \angle ADC \) 的度数。
5. 求证：全等三角形对应边上的中线相等。（要求写出已知、求证、证明）
6. 在平面直角坐标系中，\( \triangle ABC \) 与 \( \triangle DEF \) 关于原点成中心对称。若 \( A(2,3) \)，则点 \( D \) 的坐标是______，这两个三角形是______关系。
7. 已知 \( \triangle ABC \cong \triangle PQR \)，且 \( AB = 2x+1 \)，\( BC = 3x-2 \)，\( QR = x+7 \)，求 \( x \) 的值和 \( AC \) 的长。
8. 如图，已知 \( AC = BD \)，\( \angle CAB = \angle DBA \)。求证：\( \triangle ABC \cong \triangle BAD \)。并指出所有对应边和对应角。
9. 若两个直角三角形全等，除了直角相等外，还需要______个条件即可判定。
10. （综合）如图，\( AB = AC \)，\( AD = AE \)，\( \angle 1 = \angle 2 \)。求证：\( \triangle ABD \cong \triangle ACE \)。

第三关：生活应用（5道）

1. （古埃及测高）如图，利用标杆和影子测量金字塔高度。已知人的身高 \( CD = 1.8 \) 米，影长 \( DE = 2.4 \) 米，金字塔的影长 \( BE = 120 \) 米（点 \( A, C, E \) 共线，\( AB \perp BE \)，\( CD \perp BE \)）。请用全等三角形的原理说明如何求出金字塔高 \( AB \)，并计算。
2. （工程安装）要安装一个三角形支架，设计师给出的图纸上三角形三边分别为 \( 3 \) 米，\( 4 \) 米，\( 5 \) 米。工人师傅现场裁切了三根钢管，长度分别为 \( 300 \) 厘米，\( 400 \) 厘米，\( 500 \) 厘米。请问他能拼出与设计图全等的支架吗？为什么？
3. （艺术设计）一个对称的蝴蝶图案由两个全等的“翅膀”组成。已知一个翅膀上某特征线段长度为 \( 5 \) cm，其与对称轴的夹角为 \( 30^\circ \)。那么另一个翅膀上对应特征线段的长度是______ cm，其与对称轴的夹角是______度。
4. （地图比例）在地图上，两个全等的小区规划图 \( A \) 和 \( B \)。已知图 \( A \) 上一条道路长 \( 4 \) cm，对应实际长度 \( 200 \) 米。那么图 \( B \) 上与它对应的道路实际长度是______米。
5. （零件替换）某机器上有两个可以互换的全等三角形零件 \( P \) 和 \( Q \)。零件 \( P \) 上标记了三个角分别为 \( \alpha \)，\( \beta \)，\( \gamma \)。现在零件 \( Q \) 上的标记模糊了，只看到一个角是 \( \beta \)，与这个角相邻的两条边长分别是 \( m \) 和 \( n \)。为了确认这是零件 \( Q \) 的正确安装位置，你需要测量并验证哪两个条件？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( CT = DG = 12 \)；\( \angle A = \angle O = 70^\circ \)。（对应关系：\( D \leftrightarrow C, O \leftrightarrow A, G \leftrightarrow T \)）
2. 由 \( \triangle ABC \cong \triangle DCB \) 得 \( \angle A = \angle D = 65^\circ \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ABC = 180^\circ - 65^\circ - 45^\circ = 70^\circ \)。对应角 \( \angle ABC = \angle DCB = 70^\circ \)。在 \( \triangle DCB \) 中，\( \angle DBC = 180^\circ - \angle D - \angle DCB = 180^\circ - 65^\circ - 70^\circ = 45^\circ \)。
3. 对应
4. 周长 \( = XY+YZ+ZX = 10+8+12 = 30 \)。
5. 例如：\( \triangle MNP \cong \triangle QRS \)（则对应为 \( M \leftrightarrow Q, N \leftrightarrow R, P \leftrightarrow S \)）。
6. 3
7. √（全等则一切对应部分相等，故面积周长必等）
8. 由图形全等可知，左边三角形的边“x”对应右边三角形的边“9”，故 \( x = 9 \)。
9. 由对应关系 \( \angle B = \angle E = 50^\circ \)，\( \angle F = \angle C = 70^\circ \)，所以 \( \angle A = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ \)。
10. 全等于

第二关：中考挑战

1. 条件：\( \angle A = \angle D \) 或 \( BC = EF \) 或 \( \angle ACB = \angle DFE \) 等。证明略（根据平行得内错角相等，用SAS、ASA或AAS均可）。
2. 由全等及内角和，\( \angle C = 180^\circ - 85^\circ - 40^\circ = 55^\circ = \angle AED \)。\( \angle EDC = \angle AED - \angle A = 55^\circ - 40^\circ = 15^\circ \)（外角定理）。
3. 设第三边为 \( x \)，由三角形构成条件 \( |5-7| < x < 5+7 \)，即 \( 2 < x < 12 \)。又因为两个三角形全等，它们的三边长度一致，所以第三边只能是 \( 5 \) 或 \( 7 \) 或介于之间的某个唯一确定值。但题目说“可能”，故答案在 \( 2 \) 到 \( 12 \) 之间的任意一个数都可能吗？不，因为全等，三边固定。若已知两边为5和7，第三边不能确定一个三角形（SSA不唯一），但一旦两个三角形全等，则它们的第三边必相等。所以，第三边长度是一个确定值，但根据题目已知条件无法求出，只能说它的范围是 \( 2 < x < 12 \)。常见答案是：\( 2 < x < 12 \) 且 \( x \neq 5, x \neq 7 \) 吗？不，如果三角形是等腰，第三边可以是5或7。所以最准确是：第三边长 \( x \) 满足 \( 2 < x < 12 \)。
4. 由全等，\( \angle ADC = \angle AEB = 65^\circ \)。
5. 已知：\( \triangle ABC \cong \triangle A’B’C’ \)，\( AD, A’D’ \) 分别是 \( BC, B’C’ \) 边上的中线。求证：\( AD = A’D’ \)。证明：由全等知 \( AB = A’B’ \)，\( \angle B = \angle B’ \)，\( BC = B’C’ \) 故 \( BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}B’C’ = B’D’ \)。所以 \( \triangle ABD \cong \triangle A’B’D’ \) (SAS)，因此 \( AD = A’D’ \)。
6. \( D(-2, -3) \)；全等。
7. 由 \( BC = QR \) 得 \( 3x-2 = x+7 \)，解得 \( x = 4.5 \)。则 \( AB = 2*4.5+1=10 \)，\( BC = 3*4.5-2=11.5 \)，\( QR = 4.5+7=11.5 \)。由全等，\( AC = PR \)，但无法直接求，需要更多条件。实际上，已知三边对应相等，但未给出哪条边对应哪条。若默认字母顺序对应，则 \( AB=PQ, BC=QR, CA=RP \)。则 \( AC = RP \)，但 \( RP \) 未知。若三角形确定，则 \( AC \) 可由三边关系求出，但需验证是否构成三角形：\( 10, 11.5, ? \) 两边之和大于第三边……本题可能设计有歧义。更合理的解释是：由 \( BC=QR \) 和 \( AB=PQ \) 及字母顺序对应，可求。但题目只给了 \( AB, BC, QR \)，假设对应为 \( AB=PQ, BC=QR \)，则 \( x=4.5 \)，且 \( AC = PR \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=10, BC=11.5 \)，\( AC \) 的范围是 \( (1.5, 21.5) \)，无法确定具体值。所以本题仅能求 \( x=4.5 \)，无法求 \( AC \)。
8. 证明：在 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle BAD \) 中，\( AC = BD \) (已知)，\( \angle CAB = \angle DBA \) (已知)，\( AB = BA \) (公共边)，所以 \( \triangle ABC \cong \triangle BAD \) (SAS)。对应：\( A \leftrightarrow B, B \leftrightarrow A, C \leftrightarrow D \)。对应边：\( AB=BA, BC=AD, CA=DB \)。对应角：\( \angle CAB=\angle DBA, \angle ABC=\angle BAD, \angle BCA=\angle ADB \)。
9. 2（因为直角相等已占一个条件）
10. 证明：\( \because \angle 1 = \angle 2 \)，∴ \( \angle 1 + \angle DAE = \angle 2 + \angle DAE \)，即 \( \angle BAD = \angle CAE \)。在 \( \triangle ABD \) 与 \( \triangle ACE \) 中，\( AB = AC \) (已知)，\( \angle BAD = \angle CAE \) (已证)，\( AD = AE \) (已知)，∴ \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \) (SAS)。

第三关：生活应用

1. 原理：\( \triangle CDE \) 与 \( \triangle ABE \) 相似（实际可视为太阳光平行照射下形成的两个直角三角形，对应角相等）。更简单地，可以认为在某一时刻，所有物体与其影子构成的三角形都相似。但题目要求用全等原理，此处需构造全等。可以通过使人的头顶、脚底和金字塔顶、底在一条直线上的方式来构造全等三角形，但描述复杂。实际上古埃及方法更接近相似。若强行用全等，可假设人走到一个位置，使其影长等于金字塔影长的一部分，然后通过全等三角形测量人的身高对应的金字塔部分高度，再按比例计算。但原题描述的方法本质是相似。计算：由相似，\( \frac{AB}{BE} = \frac{CD}{DE} \)，即 \( \frac{AB}{120} = \frac{1.8}{2.4} \)，解得 \( AB = 90 \) 米。
2. 能。因为 \( 3 \) 米= \( 300 \) 厘米，\( 4 \) 米= \( 400 \) 厘米，\( 5 \) 米= \( 500 \) 厘米。三边分别相等，根据SSS，两个三角形全等。
3. \( 5 \) cm；\( 30^\circ \)。（轴对称图形中，对应部分全等）
4. \( 200 \) 米。（全等图形对应部分的实际大小相同）
5. 需要验证：① 与 \( \beta \) 角相对的那条边的长度是否等于零件 \( P \) 中 \( \beta \) 角所对的边长；或者 ② 角 \( \beta \) 的另一条邻边的长度是否等于零件 \( P \) 中与 \( \beta \) 夹角为 \( \alpha \)（或 \( \gamma \)）的那条边的长度 \( m \)（或 \( n \)），并且要确认夹角关系。更保险的是验证 ASA：已知一角 \( \beta \) 和它的两条邻边 \( m, n \)，检查是否与零件 \( P \) 中 \( \beta \) 角及其两条邻边对应相等。