相似三角形对应比全解析：为什么高、中线、周长比都等于k？专项练习题库

💡 阿星精讲：对应比 原理

• 核心概念：嗨，我是阿星！想象一下，有两个“克隆”三角形，只是一个大一个小。它们之间有一个神秘的“基因指令”，叫做相似比 \( k \)。这个 \( k \) 就像一道神奇的魔法：“放大/缩小 \( k \) 倍！” 这个指令不仅对三角形的三条边有效，对三角形里的“重要员工”——高、中线、角平分线，甚至整个三角形的“外围保安”周长，也一视同仁！所以，记住阿星的话：对应高、中线、角平分线、周长的比都等于相似比 \( k \)。它们是一个“团队”，都服从 \( k \) 老板的指挥。
• 计算秘籍：
  1. 找老大：首先确定两个相似图形的相似比 \( k \)。通常是已知的一对对应边的比，比如 \( \frac{大三角形某边}{小三角形对应边} = k \)。
  2. 套公式：一旦知道 \( k \)，所有“对应比”问题迎刃而解。
     • 对应高之比：\( \frac{h_大}{h_小} = k \)
     • 对应中线之比：\( \frac{m_大}{m_小} = k \)
     • 对应角平分线之比：\( \frac{t_大}{t_小} = k \)
     • 周长之比：\( \frac{C_大}{C_小} = k \)
  3. 巧应用：已知任何一个“对应比”（比如高的比），就等于知道了相似比 \( k \)，可以反推其他量。
• 阿星口诀：相似图形克隆来，比例老大叫 \( k \)。高、中、角分、周长，统统听令等于 \( k \)！

📐 图形解析

下面这两个相似三角形 \( \triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘ \)，相似比 \( k = \frac{A’B‘}{AB} = 2 \)。看看它们的“重要员工”是如何按比例变化的：

从图中直观可见：\( \frac{高\ h‘}{高\ h} = \frac{底边\ a’}{底边\ a} = k \)。中线、角平分线同理。

让我们再画一个图，强调中线和角平分线：

在相似三角形中，所有这些彩色线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比，以及整个三角形周长 \( AB+BC+CA \) 的比，都等于相似比 \( k \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“所有”线段的比都等于 \( k \)。
  ✅ 正解：必须是对应的特殊线段（高、中线、角平分线）以及周长。任意画的线段不一定成比例。比如，小三角形里随便连的一条线，和大三角形里随便连的一条线，它们的比不一定等于 \( k \)。
• ❌ 错误2：在没证明或说明三角形相似的前提下，直接使用“对应比等于 \( k \)”。
  ✅ 正解：“对应比等于相似比”这个强大结论的前提是两个图形相似！解题时，第一步必须先明确或证明 \( \triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘ \)，然后才能说 \( \frac{对应高}{对应高} = \frac{对应中线}{对应中线} = k \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 若 \( \triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘ \)，且相似比 \( k=3 \)，\( \triangle ABC \) 的周长为 \( 12 \)，则 \( \triangle A’B‘C’ \) 的周长为 \_\_\_\_。
2. 两个相似三角形对应高的比为 \( 4:5 \)，则它们的相似比为 \_\_\_\_，周长比为 \_\_\_\_。
3. \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)，\( AB=6 \)，\( DE=9 \)，则 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle DEF \) 的周长比为 \_\_\_\_。
4. 已知两个相似三角形一组对应中线的长分别是 \( 8 \, cm \) 和 \( 6 \, cm \)，则它们的相似比是 \_\_\_\_。
5. 判断题：相似三角形的对应角平分线的比等于对应边的比。（ ）
6. \( \triangle ABC \sim \triangle ADE \)，且 \( D \)、\( E \) 分别在 \( AB \)、\( AC \) 上。若 \( AD=2 \)，\( DB=3 \)，则 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle ADE \) 的周长比为 \_\_\_\_。
7. 两个相似三角形的面积比为 \( 9:4 \)，则它们对应中线的比为 \_\_\_\_。
8. 若两个相似三角形的最大边长分别为 \( 10 \) 和 \( 6 \)，且小三角形的周长为 \( 18 \)，则大三角形的周长为 \_\_\_\_。
9. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( DE//BC \)，\( AD=3 \)，\( DB=2 \)，则 \( \frac{DE}{BC} = \) \_\_\_\_，\( \frac{C_{\triangle ADE}}{C_{\triangle ABC}} = \) \_\_\_\_。
   
10. 一个三角形的三边长分别是 \( 3 \)、\( 4 \)、\( 5 \)。与它相似的另一个三角形的最短边为 \( 6 \)，则后者的周长是 \_\_\_\_。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( D \)、\( E \) 分别是 \( AB \)、\( AC \) 上的点，且 \( DE//BC \)。若 \( AD:DB=2:1 \)，\( \triangle ADE \) 的面积为 \( 8 \)，则四边形 \( DBCE \) 的面积为 \_\_\_\_。
2. （中考真题改编）两个相似三角形的一组对应边的长分别是 \( 15 \) 和 \( 23 \)。若它们的周长差为 \( 32 \)，则这两个三角形的周长分别为 \_\_\_\_ 和 \_\_\_\_。
3. 已知 \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)，且 \( AB=2DE \)。若 \( \triangle ABC \) 的一条角平分线长为 \( 10 \)，则 \( \triangle DEF \) 中对应角平分线长为 \_\_\_\_。
4. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( D \) 在 \( AB \) 上，\( E \) 在 \( AC \) 上，且 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)。若 \( AD=4 \)，\( AB=10 \)，\( \triangle ABC \) 的周长为 \( 30 \)，则 \( \triangle ADE \) 的周长为 \_\_\_\_。
5. （综合题）平行四边形 \( ABCD \) 中，\( E \) 为 \( BC \) 延长线上一点，连接 \( AE \) 交 \( DC \) 于点 \( F \)。若 \( CF=2DF \)，\( CE=3 \)，\( BC=8 \)，求 \( BE \) 的长。（提示：找相似三角形）
6. 两个相似三角形对应高的比为 \( 3:\sqrt{2} \)，且大三角形的面积为 \( 27 \)，则小三角形的面积为 \_\_\_\_。
7. （网格题）如图，在 \( 4 \times 4 \) 的正方形网格中，\( \triangle ABC \) 和 \( \triangle DEF \) 的顶点都在格点上。判断它们是否相似。若相似，求出相似比及对应中线的比。
8. （动点问题）在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=6cm \)，\( AC=8cm \)，\( BC=10cm \)。动点 \( P \) 从 \( B \) 出发沿 \( BA \) 以 \( 1cm/s \) 向 \( A \) 移动，动点 \( Q \) 从 \( C \) 出发沿 \( CB \) 以 \( 2cm/s \) 向 \( B \) 移动。当 \( t \) 为何值时，\( \triangle BPQ \) 与 \( \triangle BAC \) 相似？此时，\( \triangle BPQ \) 与 \( \triangle BAC \) 的周长比是多少？
9. （构造相似）如图，\( ABCD \) 是矩形，\( AB=8 \)，\( BC=6 \)。\( E \) 是 \( AD \) 上一点，将 \( \triangle ABE \) 沿 \( BE \) 折叠，使 \( A \) 落在 \( CD \) 边上的 \( F \) 点。求 \( CF \) 的长。（提示：连接 \( BF \)，证明三角形相似）
10. （阅读理解）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应顶点所在的直线都交于同一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，该点称为位似中心。位似比就是相似比。请根据定义判断：位似三角形的对应高的比是否等于位似比？请说明理由。

第三关：生活应用（5道）

1. （测绘）为了测量河宽 \( AB \)，在河对岸选定一个目标点 \( C \)，再在河岸这边选点 \( D \)、\( E \)，使得 \( AD \perp DE \)，且 \( B \)、\( D \)、\( E \) 在一条直线上。测得 \( AD=20 \, m \)，\( DE=40 \, m \)，\( BE=60 \, m \)。请利用相似三角形原理计算河宽 \( AB \)。
2. （工程）施工队的图纸上，一个零件的一个三角形部分的三边长分别为 \( 3cm, 4cm, 5cm \)。实际制作中，这个三角形部分对应周长为 \( 1.2m \)。请问实际零件中，对应图纸上 \( 4cm \) 的那条边实际有多长？
3. （摄影）一张照片中，身高 \( 1.8m \) 的人像高 \( 2.7cm \)。照片中他身后的柱子人像高 \( 0.9cm \)。请问柱子的实际高度大约是多少？
4. （物理与数学）光在介质中发生折射时，入射角 \( i \) 和折射角 \( r \) 满足 \( \frac{\sin i}{\sin r} = n \)（常数）。当入射光线、折射光线与法线构成的两个直角三角形相似时，这个常数 \( n \) 会等于什么？（提示：若两直角三角形相似，则对应边的比相等，\(\sin\) 是边之比）
5. （设计）一位设计师需要将一幅边长为 \( 10cm \) 的正三角形图案按比例放大，放大后对应边上的高为 \( 20\sqrt{3} \, cm \)。请问放大后的图案周长是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 36 \) （周长比等于 \( k=3 \)，\( C‘ = 3 \times 12 = 36 \)）
2. \( 4:5 \)，\( 4:5 \) （对应高比即相似比，周长比等于相似比）
3. \( 2:3 \) （\( k = \frac{AB}{DE} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)）
4. \( 4:3 \) 或 \( 3:4 \) （需明确大小关系，通常说“相似比”指大比小或小比大皆可，但需一致。这里中线 \( 8:6 = 4:3 \)）
5. ✅ 正确
6. \( 5:2 \) （\( \frac{AB}{AD} = \frac{AD+DB}{AD} = \frac{5}{2} \)，此即相似比）
7. \( 3:2 \) （面积比为相似比的平方，故 \( k^2 = \frac{9}{4} \)，\( k = \frac{3}{2} \)）
8. \( 30 \) （相似比 \( k = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)，\( \frac{C_大}{18} = \frac{5}{3} \)，\( C_大 = 30 \)）
9. \( \frac{3}{5} \)，\( \frac{3}{5} \) （由 \( DE//BC \) 得 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)，\( k = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5} \)，\( DE:BC \) 和周长比都等于 \( k \)）
10. \( 24 \) （原三角形周长 \( 3+4+5=12 \)，相似比 \( k = \frac{6}{3} = 2 \)，新周长 \( = 12 \times 2 = 24 \)）

第二关、第三关及详细解析将在下一课展开。请同学们先独立完成，养成深入思考的习惯。