多边形对角线数量公式推导与计算 易错点精讲 附中考真题训练专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：对角线数量 原理
- 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，你是一个多边形（比如五边形）的一个顶点，名叫“小A”。你想和其他顶点交朋友（连线），但你不能和自己连线（那叫自恋），也不能和紧挨着你的两个邻居连线（那已经是多边形的边了）。所以，你能自由连线的朋友，就只剩下 \( n-3 \) 个了！每一条这样的“交友线”都是一条对角线。当你从自己出发，给所有能交的朋友都连上之后，神奇的事情发生了：整个多边形被这些对角线切成了 \( n-2 \) 个三角形小蛋糕。这就是“连线公式”的奥秘！
- 计算秘籍：
- 单点出发：从一个顶点出发，可以引出 \( (n-3) \) 条对角线。
- 总数计算：因为有 \( n \) 个顶点，每个顶点都这样连一遍，你会得到 \( n \times (n-3) \) 条“连线意向”。
- 去除重复：每条对角线都被两个端点各数了一次，所以总数要除以 2。最终公式为：\( D_n = \frac{n(n-3)}{2} \)。
- 阿星口诀：“顶点交友要减三，连线分糕(n减二)，总数计算别忘除二，公式牢记心不慌！”
📐 图形解析
以六边形为例，观察从顶点 A 出发的对角线，以及它如何将六边形分割成三角形。
从顶点A出发的对角线条数：\( 6 - 3 = 3 \) 条。将六边形分成的三角形个数：\( 6 - 2 = 4 \) 个。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：计算十边形的对角线时，写成 \( 10 \times (10-2) = 80 \)。 → ✅ 正解：混淆了“三角形个数”和“单点对角线数”。单点对角线数是 \( n-3 \)，所以第一步是 \( 10 \times (10-3) = 70 \)，然后除以2得35。
- ❌ 错误2：认为从一个顶点出发的 \( n-3 \) 条对角线就是总对角线条数。 → ✅ 正解：这只是一个顶点的“贡献”，总对角线条数需要汇集所有顶点的贡献并去除重复，即 \( \frac{n(n-3)}{2} \)。
🔥 三例题精讲
例题1：一个凸五边形，它的所有对角线一共能把它分成多少个三角形？（提示：利用阿星的“分蛋糕”比喻）
📌 解析：阿星说过，从一个顶点出发画所有对角线，能把 \( n \) 边形分成 \( n-2 \) 个三角形。这里 \( n=5 \)。注意，这个结论是从一个顶点出发的所有对角线造成的分割效果。观察上图，从顶点A出发的对角线AC和AD，确实把五边形分成了3个三角形：△ABC， △ACD， △ADE。所以答案是 \( 5-2 = 3 \) 个。
✅ 总结：直接套用“分蛋糕”口诀：\( n-2 \)。
例题2：求一个凸八边形的对角线条数。
📌 解析：直接代入对角线总数公式 \( D_n = \frac{n(n-3)}{2} \)。
步骤1: 确定边数 \( n = 8 \)。
步骤2: 代入公式计算：\( D_8 = \frac{8 \times (8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)。
所以，一个八边形共有20条对角线。
✅ 总结：牢记终极公式 \( \frac{n(n-3)}{2} \)，两步计算（先乘后除），不易出错。
例题3：若一个凸多边形的对角线条数等于它的边数，求这个多边形的边数。
📌 解析：这是一个方程问题。设边数为 \( n \)。
步骤1: 根据题意列方程：对角线数 = 边数，即 \( \frac{n(n-3)}{2} = n \)。
步骤2: 解方程：
\( \frac{n(n-3)}{2} = n \)
两边同时乘以2：\( n(n-3) = 2n \)
展开：\( n^2 - 3n = 2n \)
移项：\( n^2 - 5n = 0 \)
因式分解：\( n(n-5) = 0 \)
解得：\( n_1 = 0 \) (舍去)，\( n_2 = 5 \)。
所以，这个多边形是五边形。
✅ 总结：将文字描述转化为等式 \( \frac{n(n-3)}{2} = n \)，求解时注意 \( n \) 代表边数，必须 \( n \ge 3 \)，要舍去不合理的根。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 从七边形的一个顶点出发，可以引 ____ 条对角线。
- 十二边形共有 ____ 条对角线。
- 一个多边形从一个顶点出发能引5条对角线，它是 ____ 边形。
- 一个多边形共有9条对角线，它是 ____ 边形。
- 从n边形的一个顶点出发，可以引 ____ 条对角线，这些对角线将多边形分成 ____ 个三角形。
- 六边形的所有对角线将它分成 ____ 个三角形（从一个顶点出发画线）。
- 判断：九边形的对角线条数是27条。（ ）
- 判断：一个顶点出发的对角线条数可以等于边数。（ ）
- 已知两个多边形的边数之比是2:3，它们对角线条数的比是 ____。
- 一个多边形内角和是其所有对角线条数的60倍，求边数。
第二关：中考挑战（10道）
- （改编）若一个正多边形的每个内角为156°，则从这个多边形的一个顶点出发可引的对角线条数为 ____。
- 一个多边形边数增加1，其对角线条数增加 ____ 条。
- 已知一个n边形的对角线条数与它的（n+1）边形的对角线条数相差17，求n。
- 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。如图（可配三角形、四边形、五边形序列图），观察并计算二十五边形的对角线条数。
- 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的对角线条数与原多边形对角线条数相等，求原多边形的边数所有可能值。
- 凸多边形中，锐角的个数最多有 ____ 个。
- 平面上有n个点，其中任意三点都不在同一直线上，连接这些点可以形成m条线段，若m=45，则n=____。
- 一个多边形除了一个内角外，其余内角和为2750°，且这个多边形的对角线条数为44，求这个多边形的边数及那个未知内角的度数。
- 从多边形的一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成10个三角形，则这个多边形的内角和为 ____ 度。
- 探究：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。三角形的对角线数为0，四边形的对角线数为2，五边形的对角线数为5……则n边形的对角线数为 \( \frac{n(n-3)}{2} \)。请证明该公式。
第三关：生活应用（5道）
- 【建筑设计】一个体育馆的屋顶设计为正十二边形钢结构，工程师需要计算连接不相邻钢梁节点（相当于顶点）的加固斜撑（相当于对角线）的数量来采购材料，请问需要多少根斜撑？
- 【网络布线】一个数据中心有15台核心交换机，计划在每两台非直连的交换机之间布置一条专用备份链路（即，如果两台交换机已经在同一个基础环上直连，则不再布置）。如果最初这15台交换机连接成了一个环形网络（15边形），那么需要布置多少条备份链路？
- 【比赛赛制】在单循环赛制中，每两支队伍之间都要比赛一场。如果有n支队伍，比赛总场次为 \( \frac{n(n-1)}{2} \)。这与多边形对角线公式 \( \frac{n(n-3)}{2} \) 形式相似。请解释它们的异同，并说明“对角线”在这种情境下对应什么？
- 【图形识别】计算机视觉中，识别一个不规则多边形轮廓时，有时会通过连接其角点（顶点）来分解形状。如果一个轮廓被识别出有20条对角线，那么这个轮廓最少有几个角点？
- 【园林规划】一个花坛被设计为凸多边形，园艺师想沿着所有可能的不相邻顶点的连线（对角线）铺设一条观赏小径。已知铺设了54条这样的小径，请问这个花坛是几边形？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：对角线数量 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：主要难在两个思维的转换上。一是从“数线段”的思维定式中跳出来，理解 \( n-3 \) 中“减3”的缘由（排除自身和两个邻点）。二是容易混淆“局部”（一个顶点出发的）和“整体”（所有对角线的）数量关系，忘记最后要“除以2”去重。阿星的“交友”和“分蛋糕”比喻，就是为了把这两个抽象步骤形象化。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是组合数学思想的启蒙。公式 \( D_n = \frac{n(n-3)}{2} \) 的推导（先按顶点计数，再除以2去重），是解决“握手问题”、“比赛场次问题”等经典组合计数问题的同一思想模型。它训练了有序、不重不漏的计数逻辑。此外，将多边形分割为 \( n-2 \) 个三角形，是后续推导多边形内角和公式 \( (n-2) \times 180^\circ \)**的几何基础，体现了化归思想。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：有！牢记“公式+验证”两步法。对于求总数，直接默写 \( D_n = \frac{n(n-3)}{2} \)。对于逆向求 \( n \) 的问题，就列方程 \( \frac{n(n-3)}{2} = \text{已知数} \)。在填空选择中，可以立刻用 \( n=4,5,6 \) 等简单情况验证你的理解：四边形有2条，五边形有5条，六边形有9条。记住这几个特例，能快速检验答案合理性。
答案与解析
第一关：
- 4。解析：\( 7-3=4 \)。
- 54。解析：\( D_{12} = \frac{12 \times 9}{2} = 54 \)。
- 八边形。解析：\( n-3=5 \)，得 \( n=8 \)。
- 六边形。解析：\( \frac{n(n-3)}{2}=9 \)，解得 \( n=6 \)（负值舍去）。
- \( n-3 \)，\( n-2 \)。
- 4。解析：\( 6-2=4 \)。
- ✓。解析：\( D_9 = \frac{9 \times 6}{2}=27 \)。
- ✗。解析：单点对角线条数为 \( n-3 \)，边数为 \( n \)。当 \( n-3=n \) 时，\( -3=0 \) 不成立。
- 2:5。解析：设边数为 \( 2k \) 和 \( 3k \)，对角线数比为 \( \frac{2k(2k-3)}{2} : \frac{3k(3k-3)}{2} = (2k-3):(4.5k-4.5) \) 简化后为 \( 2:5 \) (取 \( k=2 \) 验证：4边形有2条，6边形有9条，比值为2:9，更精确的通用比为 \( (2n_1-3):(2n_2-3) \)，此处若边数比为2:3，则对角线数比为 \( (4k-3):(6k-3) \)，不是固定简单比，除非k确定)。更正：设边数为 \( 2k, 3k \)。对角线数比为 \( [2k(2k-3)/2] : [3k(3k-3)/2] = k(2k-3) : (3k(3k-3)/2) = (2k-3) : ( (9k-9)/2 ) = 2(2k-3) : (9k-9) \)。当 \( k=2 \) 时，比为 \( 2:9 \)；\( k=3 \) 时，比为 \( 6:18=1:3 \)。所以比值不固定，原题有误，应为探究题。
- 解：内角和为 \( (n-2) \times 180 \)，对角线数为 \( \frac{n(n-3)}{2} \)。依题意：\( (n-2) \times 180 = 60 \times \frac{n(n-3)}{2} \)。化简：\( 180n-360 = 30n^2 - 90n \) -> \( 30n^2 - 270n + 360 = 0 \) -> \( n^2 - 9n + 12 = 0 \)。解得 \( n \approx 1.6 \) 或 \( 7.4 \) 非整数，无解。检查计算： \( 60 \times \frac{n(n-3)}{2} = 30n(n-3) \)。方程：\( 180(n-2) = 30n(n-3) \) -> 两边除以30： \( 6(n-2) = n(n-3) \) -> \( 6n-12 = n^2-3n \) -> \( n^2 -9n +12=0 \)，判别式 \( 81-48=33 \)，根非整数。可能原题数字设计有误。
第二关与第三关解析（篇幅所限，提供关键题思路）：
第二关第3题： \( D_n = \frac{n(n-3)}{2}, D_{n+1} = \frac{(n+1)(n-2)}{2} \)。相差17：\( \frac{(n+1)(n-2) - n(n-3)}{2} = 17 \)，分子化简得 \( (n^2 - n -2) - (n^2 -3n) = 2n-2 \)。所以 \( \frac{2n-2}{2} = n-1 = 17 \)，得 \( n=18 \)。
第三关第1题： 直接应用公式，\( D_{12} = \frac{12 \times 9}{2} = 54 \) 根。
第三关第4题： 设角点数为 \( n \)，则 \( \frac{n(n-3)}{2} = 20 \)，即 \( n^2-3n-40=0 \)，解得 \( n=8 \) (舍去-5)。所以最少有8个角点。
PDF 练习题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF