对角线公式怎么推导？n边形对角线有几条？深度解析与题型大全专项练习题库

💡 阿星精讲：对角线公式 原理

• 核心概念：想象你有一个 \( n \) 边形的生日蛋糕，上面插着 \( n \) 颗糖代表顶点。现在你要从一个顶点（比如你面前的这颗糖）出发，用“小刀”（对角线）把蛋糕切成三角形。规则是：你不能切到挨着自己的两块蛋糕（相邻的两个顶点），也不能切自己（当前顶点）。所以，除了自己和左右邻居这 \( 3 \) 颗糖不能连，剩下的 \( n-3 \) 颗糖你都可以切过去。这就是“从一个顶点出发能引 \( (n-3) \) 条对角线”。那蛋糕总共被切了多少刀呢？每个顶点都能切 \( (n-3) \) 刀，\( n \) 个顶点就是 \( n(n-3) \) 刀。但是注意，每一刀（每条对角线）都被两个顶点各算了一次，就像从两端各切了一下，所以真正的刀数（对角线总数）要除以 \( 2 \)。
• 计算秘籍：对于一个 \( n \) 边形 (\( n \ge 3 \))：
  1. 从一个顶点出发的对角线数：\( n-3 \)。
  2. 所有顶点的对角线总数（未去重）：\( n \times (n-3) \)。
  3. 对角线总数公式：\( D_n = \frac{n(n-3)}{2} \)。
• 阿星口诀：“顶点出发，减去仨；总数计算，别忘除以俩！”

📐 图形解析

我们以七边形 (\( n=7 \)) 为例，演示“切蛋糕”的过程。从顶点 \( A \) 出发，看看它能“切”出多少条对角线。

如图所示，从顶点 \( A \) 出发，不能连接自己，也不能连接相邻的顶点 \( B \) 和 \( G \)（它们之间是边，不是对角线）。所以它能连接的对象只有剩下的 \( 7-3=4 \) 个顶点：\( C, D, E, F \)。这正好验证了公式 \( n-3 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：计算总对角线时，直接写 \( n(n-3) \)，忘记除以 \( 2 \)。
  ✅ 正解：记住“切蛋糕”的比喻：每条对角线都被它的两个端点各算作一次“出发”。所以，总“出发次数” \( n(n-3) \) 必须除以 \( 2 \) 才是真实的对角线条数。公式是 \( D_n = \frac{n(n-3)}{2} \)。
• ❌ 错误2：混淆“对角线”和“边”。认为从一个顶点能画出 \( n-2 \) 条线（连向其他所有顶点）。
  ✅ 正解：从一点出发，可以连向其他 \( n-1 \) 个点。但这 \( n-1 \) 条线里，有 \( 2 \) 条是边（通向相邻顶点），剩下的 \( n-3 \) 条才是对角线。牢记“减去3”指的是减去“自己”和“两个邻居”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个六边形，从一个顶点出发可引几条对角线？
2. 计算八边形的总对角线条数。
3. 一个多边形有 \( 9 \) 条边，它的一个顶点可以引出多少条对角线？
4. 已知十二边形，求 \( D_{12} \)。
5. 填空：五边形的对角线总数是 ____。
6. 从一个顶点出发可引 \( 5 \) 条对角线的多边形是 ____ 边形。
7. 三角形的对角线总数是 ____。
8. 四边形的对角线总数是 ____。
9. 若 \( n \) 边形的对角线总数为 \( 20 \)，求 \( n \)。
10. 判断：一个多边形边数增加 \( 1 \)，其对角线总数增加 \( n-2 \)。（请说明理由）

第二关：中考挑战（10道）

1. 一个多边形对角线的总条数等于它的边数，则这个多边形的边数是 ____。
2. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的 \( 3 \) 倍多 \( 180^\circ \)，求这个多边形的对角线总条数。
3. 过 \( m \) 边形的一个顶点有 \( 7 \) 条对角线， \( n \) 边形没有对角线， \( k \) 边形共有 \( k \) 条对角线，求 \( m - n + k \) 的值。
4. 若一个多边形的对角线共有 \( 14 \) 条，则这个多边形的边数是（ ）。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为 \( 2520^\circ \)，求原多边形的对角线总条数。
6. 观察规律并填空：
   • 四边形对角线总条数：\( 2 \)
   • 五边形对角线总条数：\( 5 \)
   • 六边形对角线总条数：\( 9 \)
   • 七边形对角线总条数：\( 14 \)
   • ……
   • 十边形对角线总条数：____
7. 一个多边形除了一个内角外，其余内角和为 \( 2750^\circ \)，且这个多边形的对角线共有 \( 44 \) 条。求这个多边形的边数及那个未知内角的度数。
8. 若凸 \( n \) 边形的任意三条对角线都不交于同一点（顶点除外），问这些对角线在形内最多有多少个交点？
9. 已知两个多边形的对角线总条数之比为 \( 7:5 \)，且它们的边数之比为 \( 3:2 \)，求这两个多边形的边数。
10. \( n \) 边形与 \( (n+1) \) 边形的对角线总条数相差 \( 18 \)，求 \( n \)。

第三关：生活应用（5道）

1. 【网络布线】某机房新添了若干台服务器。如果每两台服务器之间都需要用一根独立的网线连接（不能共用），一共用了 \( 45 \) 根网线。请问机房有多少台服务器？
2. 【握手问题】一次会议上，所有与会者两两握手一次，共握手 \( 66 \) 次。请问有多少人参加会议？

【地图着色】在一张地图上，有若干个国家两两相邻（有共同边界）。如果每个国家都用一个点表示，相邻的国家用线段连接，这样就构成了一个“图”。若这个图有 \( 6 \) 个顶点，且每个顶点都恰好引出 \( 3 \) 条线段，请问这个图总共有多少条线段？（提示：类比对角线公式的推导思想）

3. 【交通规划】一个区域新建了 \( 8 \) 个居民区。规划者希望在它们之间修建双向直通道路，使得从任何一个居民区都可以直接开车到其他任意一个居民区（无需经过第三个）。如果每条道路的造价相同，为了最大限度地节约成本但又要满足连通性，最少需要修建多少条道路？（提示：思考“边”和“对角线”的关系）
4. 【赛事安排】学校艺术节有琵琶、二胡、古筝、扬琴、笛子五项独奏比赛。每位报名者可以参加多项。统计发现，所有报名者中，恰好参加两项比赛的有 \( 10 \) 人。组委会想安排所有恰好参加两项比赛的选手进行一次交流会，如果要求每两个人都要恰好对话一次（仅限两人之间），总共需要安排多少次对话？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 6-3=3 \) (条)
2. \( D_8 = \frac{8\times5}{2}=20 \) (条)
3. \( 9-3=6 \) (条)
4. \( D_{12} = \frac{12\times9}{2}=54 \) (条)
5. \( D_5 = \frac{5\times2}{2}=5 \)
6. 由 \( n-3=5 \) 得 \( n=8 \)，是八边形。
7. \( 0 \) (三角形没有对角线)
8. \( D_4 = \frac{4\times1}{2}=2 \) (条)
9. 由 \( \frac{n(n-3)}{2}=20 \) 得 \( n(n-3)=40 \)，解得 \( n=8 \) (\( n=-5 \)舍去)。
10. 错误。\( D_n = \frac{n(n-3)}{2} \)， \( D_{n+1} = \frac{(n+1)(n-2)}{2} \)。两者相差 \( \frac{(n+1)(n-2)-n(n-3)}{2} = \frac{n^2 - n -2 - n^2 + 3n}{2} = \frac{2n-2}{2} = n-1 \)。所以应增加 \( n-1 \) 条。

第二关：中考挑战

1. 由 \( \frac{n(n-3)}{2}=n \) 得 \( n(n-3)=2n \)，解得 \( n=5 \) (\( n=0 \)舍去)。
2. 设边数为 \( n \)。内角和为 \( 180^\circ(n-2) \)，外角和恒为 \( 360^\circ \)。由题意：\( 180(n-2) = 3\times360 + 180 \)，解得 \( n=9 \)。对角线总条数 \( D_9 = \frac{9\times6}{2}=27 \) (条)。
3. 由 \( m-3=7 \) 得 \( m=10 \)。\( n \) 边形没有对角线，则 \( n=3 \)（三角形）。由 \( \frac{k(k-3)}{2}=k \) 得 \( k(k-3)=2k \)，解得 \( k=5 \)。所以 \( m-n+k=10-3+5=12 \)。
4. C。由 \( \frac{n(n-3)}{2}=14 \) 得 \( n(n-3)=28 \)，解得 \( n=7 \)。
5. 新多边形内角和为 \( 2520^\circ \)，由 \( 180^\circ(n-2)=2520^\circ \) 得 \( n=16 \)。截去一个角可能边数不变、增加一条或减少一条。原多边形边数可能为 \( 15, 16, 17 \)。分别计算对角线：\( D_{15}=90 \)， \( D_{16}=104 \)， \( D_{17}=119 \)。
6. 规律：后项减前项依次为 \( 3,4,5,\dots \)，所以十边形为 \( 14+6+7+8=35 \) 条。或用公式 \( D_{10}=35 \)。
7. 设边数为 \( n \)。由对角线 \( \frac{n(n-3)}{2}=44 \) 得 \( n(n-3)=88 \)，解得 \( n=11 \)。内角和为 \( 180^\circ\times9=1620^\circ \)。已知其余内角和为 \( 2750^\circ > 1620^\circ \)，矛盾。说明题目数据有误，应为“\( 2750^\circ \)”是“\( 2750^\circ \)”的笔误？若为 \( 275^\circ \) 则不可能。若改为常见题型“其余内角和为 \( 2570^\circ \)”，则未知内角为 \( 1620^\circ - 2570^\circ \) 为负，也不对。标准题型应为：内角和为 \( 2750^\circ \) 左右，且对角线 \( 44 \) 条。由 \( D_n=44 \) 得 \( n=11 \)，内角和 \( 1620^\circ \)，与 \( 2750^\circ \) 相差甚远。故此题为错题或需修改条件。解析重点在于联立方程的思路。
8. 思路：对角线在形内的交点，是由任意两条对角线（在形内）相交而成。且任意三条对角线不共点，所以每个交点唯一对应两条相交的对角线，也就是对应多边形的四个顶点（因为两条对角线需要四个端点）。所以交点总数等于从 \( n \) 个顶点中选取 \( 4 \) 个的组合数：\( C_n^4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \)。
9. 设两个多边形边数分别为 \( 3k \) 和 \( 2k \)。由题意：\( \frac{\frac{3k(3k-3)}{2}}{\frac{2k(2k-3)}{2}} = \frac{7}{5} \)，化简得 \( \frac{9k(k-1)}{4k(k-1.5)} = \frac{7}{5} \)，交叉相乘解得 \( k=3 \)。所以边数分别为 \( 9 \) 和 \( 6 \)。
10. 由题意：\( \frac{(n+1)(n-2)}{2} - \frac{n(n-3)}{2} = 18 \)。化简得 \( \frac{(n^2 - n -2) - (n^2 - 3n)}{2} = 18 \)，\( \frac{2n-2}{2}=18 \)，解得 \( n=19 \)。

第三关：生活应用

1. 设有 \( x \) 台服务器。题意等价于求 \( x \) 个点两两之间的连线数，即 \( C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2} = 45 \)。解得 \( x=10 \)。
2. 设有 \( x \) 人。握手次数为 \( C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2} = 66 \)。解得 \( x=12 \)。
3. 设有 \( 6 \) 个顶点，每个顶点引出 \( 3 \) 条线段。总“引出次数”为 \( 6 \times 3 = 18 \)次。每条线段被它的两个端点各计算一次，所以实际线段总数为 \( 18 \div 2 = 9 \) 条。
4. \( 8 \) 个居民区视为 \( 8 \) 个点。要求“从任何一个可以直接到其他任意一个”，即图是“完全图”，需要 \( C_8^2 = 28 \) 条道路。但题目要求“最少”，且满足“连通性”（任意两点可达，不一定直达）。连通图的最少边数是 \( n-1 = 7 \) 条（即生成树结构）。这是图论基础，与对角线公式思想（计算完全图的边数）形成对比。
5. 五项比赛，恰好参加两项的选手。将五项比赛看作 \( 5 \) 个点，每个选手参加的两项比赛对应一条连接两个点的线段。问题转化为：已知这个图（由选手构成的线段组成）中总共有 \( 10 \) 条线段（因为恰好有 \( 10 \) 人），求这 \( 10 \) 条线段之间最多可以构成多少个“两两对话”（即两条线段作为整体进行配对）。注意：对话是在选手（线段）之间进行，两条线段（两个选手）对话一次。所以问题就是：有 \( 10 \) 个对象，两两配对一次，总共对话次数为 \( C_{10}^2 = 45 \) 次。此问考察能否跳出“多边形”框架，运用组合计数的本质思想。