对顶角定义性质及典型例题深度解析 初中数学几何必考知识点专项练习题库

💡 阿星精讲：对顶角 原理

• 核心概念：来，想象一下你手中的剪刀。当我们把剪刀张开时，上下刀刃就形成了两条相交的直线。瞧！两条“刀刃”相交的地方，是不是像剪刀的“嘴”一样，出现了四个角？其中，位置相对的、像在“互相对峙”的那两个角，就是对顶角！它们就像剪刀嘴上、下两个刀尖角一样，一个张开，另一个必然跟着一起动，所以 “对顶角一定相等！”。这不是魔法，而是数学的必然。
• 计算秘籍：证明对顶角相等，核心是找到“中间人”——共用平角。
  • 设两条直线相交于一点 \( O \)，形成四个角 \( \angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4 \)。
  • 看 \( \angle 1 \) 和它的邻角 \( \angle 2 \)，它们构成一个平角，所以 \( \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \)。
  • 再看 \( \angle 2 \) 的对顶角 \( \angle 4 \)，它和 \( \angle 2 \) 的邻角 \( \angle 3 \) 也构成一个平角，所以 \( \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ \)。
  • 于是，我们发现 \( \angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3 \)。
  • 等号两边同时减去 \( \angle 2 \)，就得到 \( \angle 1 = \angle 3 \)。同理可证 \( \angle 2 = \angle 4 \)。
• 阿星口诀：两条直线来相交，四个角儿绕一周。你我对顶面对面，大小永远一样圆！

📐 图形解析

两条直线 \( AB \) 与 \( CD \) 相交于点 \( O \)，像剪刀的上下刀刃张开。形成的两对对顶角是： \( \angle AOC \) 与 \( \angle BOD \)， \( \angle AOD \) 与 \( \angle BOC \)。它们分别相等。

如图所示，红色区域的两个角 \( \angle 1 \) 和 \( \angle 3 \) 是对顶角，\( \angle 1 = \angle 3 \)。蓝色区域的两个角 \( \angle 2 \) 和 \( \angle 4 \) 是对顶角，\( \angle 2 = \angle 4 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为只要顶点相对的角就是对顶角。例如，两个三角形共用一个顶点，它们也有相对的角，但这不是对顶角。
  ✅ 正解：对顶角必须由两条直线相交直接形成，两个角必须有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线。“剪刀嘴”的比喻强调了“两条直线”这个前提。
• ❌ 错误2：在复杂图形中，只看到对顶角相等，而忽略了它们所在的平角（\( 180^\circ \)）或周角（\( 360^\circ \)）关系，导致无法求出具体角度。
  ✅ 正解：牢记“剪刀嘴”的四个角是一个整体。利用对顶角相等 (\( \angle 1 = \angle 3, \angle 2 = \angle 4 \)) 和邻补角互补 (\( \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \)) 两个关系列方程，是求角度的万能钥匙。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 剪刀在使用的过程中，当刀刃张开到某个角度时，形成的两个对顶角中，其中一个为 \( 30^\circ \)，另一个是多少度？
2. 判断：有公共顶点的两个角一定是对顶角。（对/错）
3. 如图，直线a、b相交，\( \angle 1 = 50^\circ \)，求 \( \angle 2, \angle 3, \angle 4 \)。
   
4. 对顶角的两个角的和是多少度？
5. 一个角等于它的对顶角，这个角是多少度？
6. 两条直线相交，若其中一个角是直角，那么其余三个角分别是多少度？
7. 若一对对顶角互为补角，则这两个角各是多少度？
8. 如图，O是直线AB上一点，OC、OD是从O点引出的两条射线，且OE平分∠AOD。若∠BOC=120°，图中存在对顶角吗？是哪一对？
   
9. 已知两条直线相交，其中一个角比它的邻补角小 \( 20^\circ \)，求这个角及其对顶角的度数。
10. 三条直线交于一点，共构成多少对对顶角？（提示：从两条直线相交有2对，思考增加一条直线后新增多少对）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题风格）如图，直线 \( AB \)、\( CD \) 相交于点 \( O \)，\( OE \perp AB \) 于点 \( O \)，\( \angle COE = 55^\circ \)，则 \( \angle BOD \) 的度数是（ ）。
   
   A. \( 40^\circ \) B. \( 35^\circ \) C. \( 30^\circ \) D. \( 25^\circ \)
2. （中考真题风格）如图，\( AB \)、\( CD \) 相交于点 \( O \)，\( OE \) 是 \( \angle AOC \) 的平分线，若 \( \angle BOD = 70^\circ \)，则 \( \angle DOE \) 的度数为 ______。
3. 若两个角互为对顶角，且它们的度数之比为 \( 2:3 \)，则这两个角的度数分别是 ______ 和 ______。
4. 在同一平面内，三条直线两两相交，最多有 \( a \) 个交点，这些交点构成的对顶角共有 \( b \) 对。求 \( a + b \) 的值。
5. （综合题）如图，已知 \( \angle AOB \) 与 \( \angle BOC \) 互为邻补角，\( OD \) 平分 \( \angle AOB \)，\( OE \) 在 \( \angle BOC \) 内部，且 \( \angle BOE = \frac{1}{2} \angle COE \)，\( \angle DOE = 72^\circ \)。求 \( \angle COE \) 的度数。（提示：可设未知数，利用平角和对顶角思想）
6. 两条直线相交，构成四个角，若其中一个角是另一个角的3倍少 \( 20^\circ \)，求这四个角的度数。
7. （探究题）观察下图，n条直线两两相交于同一点，共构成多少对对顶角？写出你的猜想公式。
8. 如图，直线 \( l_1 \parallel l_2 \)，直线 \( l_3 \) 与 \( l_1 \)、\( l_2 \) 分别交于A、B两点。点C在 \( l_2 \) 上，连接AC。若 \( \angle 1 = 70^\circ \)，\( \angle BAC = 50^\circ \)，则图中与 \( \angle 1 \) 相等的角（不包括 \( \angle 1 \) 本身）共有 ______ 个。（提示：寻找对顶角、同位角、内错角）
9. （方程思想）已知两条直线相交，其中一个角的度数是它相邻角度数的一半多 \( 10^\circ \)，求这个角的度数。
10. （几何证明）如图，直线 \( AB \)、\( CD \) 相交于点 \( O \)，\( OE \) 平分 \( \angle BOD \)，\( OF \) 平分 \( \angle COE \)，且 \( \angle AOC: \angle COE = 4:5 \)。求 \( \angle EOF \) 的度数。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量应用）木匠师傅用角尺检查工件的一个角是否为直角。如图，他将角尺的顶点和一边紧贴工件，观察另一边是否与工件的另一边重合。你能用对顶角的知识解释其中的原理吗？（提示：角尺本身是直角，如果工件角也是直角，那么它们会形成对顶角关系）
2. （工程绘图）在工程制图中，两条交叉的管道中心线在图纸上相交。如果已知其中一条管道与水平线的夹角是 \( 42^\circ \)，那么另一条管道与水平线所夹的钝角是多少度？（提示：两条直线相交，对顶角相等，邻补角互补）
3. （艺术设计）设计师想用木条制作一个“X”形的装饰架。他希望“X”的上下两个尖角（一对对顶角）都是 \( 60^\circ \)。那么，在制作时，他应该将每根木条的两端锯成多大的角度进行拼接？（提示：考虑“X”由两条直线相交构成，每个木条是一条直线）
4. （物理光学）一束光线射到平面镜上发生反射。入射光线和反射光线与镜面的夹角相等（入射角等于反射角）。假设有两面平面镜垂直放置（夹角为 \( 90^\circ \)），一束光线经过两次反射后射出。请分析，最终的出射光线与最初的入射光线有什么关系？（提示：两次反射会构成多个相交的“光线直线”，寻找其中的对顶角和平行关系）
5. （道路规划）两条笔直的公路 \( l_1 \) 和 \( l_2 \) 相交于点 \( O \)，形成一个十字路口。交通部门在路口安装了一个可旋转的监控摄像头，其水平旋转范围是一个平角（\( 180^\circ \)）。为了无死角监控四条道路，摄像头至少需要安装在哪个位置？试用对顶角的知识说明，为什么在这个位置旋转 \( 180^\circ \) 就能覆盖全部方向。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 30^\circ \)（对顶角相等）
2. 错（还必须满足两边互为反向延长线）
3. \( \angle 2 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \)，\( \angle 3 = \angle 1 = 50^\circ \)，\( \angle 4 = \angle 2 = 130^\circ \)。
4. 不一定。只有两个角相等时，和为 \( 2 \times 角本身\)；若不相等，则和为两个不同角之和。题目不严谨，通常指一对具体的对顶角，它们的和不是固定值。
5. \( 90^\circ \)（设这个角为 \( x \)，则 \( x = x \)，恒成立。但结合“一个角等于它的对顶角”的特殊性，通常理解为这个角是直角，因为它是它邻补角的对顶角，只有 \( 90^\circ \) 满足邻补角也是 \( 90^\circ \)。更准确说，任何角都等于它的对顶角，但只有直角等于它邻补角的对顶角？本题意图是考察对顶角相等和邻补角互补：设角为 \( x \)，其邻补角为 \( 180-x \)，对顶角为 \( x \)。若 \( x = 180 - x \)，则 \( x=90 \)。）
6. 其余三个角都是 \( 90^\circ \)。
7. \( 90^\circ \)（互为补角且相等，则各为 \( 90^\circ \)）。
8. 存在。\( \angle AOC \) 与 \( \angle BOD \) 是对顶角。（注意OC和OD是射线，与直线AB相交构成了两个平角，但其中 \( \angle AOC \) 和 \( \angle BOD \) 是对顶角）
9. 设这个角为 \( x \)，则它的邻补角为 \( x + 20 \)。有 \( x + (x+20) = 180 \)，解得 \( x = 80^\circ \)。其对顶角也为 \( 80^\circ \)。
10. 6对。每两条直线构成一个“剪刀嘴”，有2对对顶角。三条直线两两相交，共形成 \( C_3^2 = 3 \) 个“剪刀嘴”，所以共有 \( 3 \times 2 = 6 \) 对对顶角。

第二关：中考挑战

1. B。解析：\( \because OE \perp AB \)， \( \therefore \angle AOE = 90^\circ \)。又 \( \angle COE = 55^\circ \)， \( \therefore \angle AOC = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \)。 \( \because \angle BOD \) 与 \( \angle AOC \) 是对顶角， \( \therefore \angle BOD = 35^\circ \)。
2. \( 145^\circ \)。解析：\( \angle BOD = \angle AOC = 70^\circ \)（对顶角）。 \( \because OE \) 平分 \( \angle AOC \)， \( \therefore \angle AOE = \angle COE = 35^\circ \)。 \( \angle AOD = 180^\circ - \angle AOC = 110^\circ \)（邻补角）。 \( \angle DOE = \angle AOD + \angle AOE = 110^\circ + 35^\circ = 145^\circ \)。
3. \( 72^\circ \) 和 \( 108^\circ \)。解析：设两角为 \( 2x \) 和 \( 3x \)。它们可能是对顶角吗？不，一对对顶角相等，所以度数比应为 \( 1:1 \)。因此，这里是指两个角互为对顶角？题目表述有歧义。更可能是指：两条直线相交形成的四个角，有两个角的度数比为 \( 2:3 \)。这两个角可能是邻补角。设一个角为 \( 2x \)，其邻补角为 \( 3x \)，则 \( 2x+3x=180 \)， \( x=36 \)，所以两角为 \( 72^\circ \) 和 \( 108^\circ \)。它们的对顶角也分别是 \( 72^\circ \) 和 \( 108^\circ \)。
4. \( a=3, b=6, a+b=9 \)。解析：三条直线两两相交，最多有3个交点。每个交点处有2对对顶角，共 \( 3 \times 2 = 6 \) 对。
5. \( 72^\circ \)。解析：设 \( \angle COE = 2x \)，则 \( \angle BOE = x \)。所以 \( \angle BOC = 3x \)。 \( \angle AOB = 180^\circ - 3x \)（邻补角）。 \( \because OD \) 平分 \( \angle AOB \)， \( \therefore \angle BOD = \frac{1}{2}(180^\circ - 3x) = 90^\circ - 1.5x \)。由图知，\( \angle DOE = \angle BOD + \angle BOE = (90^\circ - 1.5x) + x = 90^\circ - 0.5x = 72^\circ \)。解得 \( 0.5x = 18^\circ \)， \( x = 36^\circ \)。所以 \( \angle COE = 2x = 72^\circ \)。
6. 设四个角分别为 \( x, 180-x, x, 180-x \)。设其中一个角为 \( y \)，另一个为 \( 3y - 20 \)。有两种情况：① \( y \) 和 \( 3y-20 \) 是邻补角：\( y + (3y-20) = 180 \)， \( 4y=200 \)， \( y=50 \)。则四个角为 \( 50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ \)。② \( y \) 和 \( 3y-20 \) 是对顶角（即相等）：\( y = 3y - 20 \)， \( 2y=20 \)， \( y=10 \)。则 \( 180-y=170 \)。四个角为 \( 10^\circ, 170^\circ, 10^\circ, 170^\circ \)。
7. 猜想公式：\( n(n-1) \) 对。解析：n条直线交于一点，任取两条可构成一个“剪刀嘴”，有2对对顶角。两条直线的取法有 \( C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} \) 种。所以总对顶角对数 \( b = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) \)。
8. 3个。解析：与 \( \angle 1 \) 相等的角有：它的对顶角（记作 \( \angle 3 \)）；由 \( l_1 \parallel l_2 \) 和 \( \angle 1 \) 的内错角（在点B处）；由 \( \angle 1 \) 的对顶角 \( \angle 3 \) 的同位角（在点B处）。需要具体画图分析。
9. 设这个角为 \( x \)，则其邻补角为 \( 180-x \)。依题意：\( x = \frac{1}{2}(180-x) + 10 \)。解得：\( 2x = 180 - x + 20 \)， \( 3x = 200 \)， \( x = \frac{200}{3}^\circ = 66\frac{2}{3}^\circ \)。
10. 设 \( \angle AOC = 4x \)，则 \( \angle COE = 5x \)。 \( \angle BOD = \angle AOC = 4x \)（对顶角）。 \( \because OE \) 平分 \( \angle BOD \)， \( \therefore \angle DOE = \angle BOE = 2x \)。观察图形，\( \angle COE = \angle COD + \angle DOE = 180^\circ - \angle AOC + 2x = 180^\circ - 4x + 2x = 180^\circ - 2x \)。又已知 \( \angle COE = 5x \)， \( \therefore 180^\circ - 2x = 5x \)，解得 \( 7x = 180^\circ \)， \( x = \frac{180}{7}^\circ \)。 \( \angle COE = 5x = \frac{900}{7}^\circ \)。 \( \because OF \) 平分 \( \angle COE \)， \( \therefore \angle EOF = \frac{1}{2} \angle COE = \frac{1}{2} \times \frac{900}{7}^\circ = \frac{450}{7}^\circ \approx 64.29^\circ \)。

第三关：生活应用

1. 原理：角尺的直角两边与工件的两边分别贴合。如果工件的角也是直角，那么角尺的直角边与工件的边会形成两条相交直线。角尺的直角（\( 90^\circ \)）与工件的角构成了对顶角（或邻补角，取决于放置方向）。根据对顶角相等的原理，如果工件角是直角，那么角尺的另一边就会与工件的另一边完全重合；如果不重合，则工件角不是直角。
2. 另一条管道与水平线所夹的锐角也是 \( 42^\circ \)（对顶角相等）。所夹的钝角是其邻补角，为 \( 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \)。
3. 每根木条是一条直线。要使相交后一对对顶角为 \( 60^\circ \)，那么另一对对顶角就是它们的邻补角，为 \( 120^\circ \)。因此，在制作时，他需要将每根木条的两端都锯成 \( 60^\circ \) 和 \( 120^\circ \) 的角（这两个角在同一条直线上，是邻补角）。实际上，他只需确保锯出的两个角互补即可，但为了美观对称，通常会做成每个端点处两个角相等，即各为 \( 90^\circ \)，这样形成的“X”的对顶角就是 \( 90^\circ \)。要达到 \( 60^\circ \) 和 \( 120^\circ \) 的效果，需要将每根木条的两端锯成不相等的角，例如一端 \( 60^\circ \)，另一端 \( 120^\circ \)。
4. 最终的出射光线与最初的入射光线平行且方向相反。这是光学中的一个经典结论。证明需要利用两次反射的入射角等于反射角，以及两面镜子的夹角为 \( 90^\circ \)。在这个过程中，会形成多个对顶角，利用对顶角相等和平角关系，可以推导出两光线平行。
5. 摄像头需要安装在两条公路的交点 \( O \) 的上方。因为从 \( O \) 点出发，四条道路的方向正好构成两对对顶的平角区域。例如，OA方向与OB方向相反（对顶），OC方向与OD方向相反（对顶）。摄像头在 \( O \) 点旋转 \( 180^\circ \)，其视野恰好能覆盖一个平角区域，这个区域会包含一条直线两个相反的方向。因此，只要调整好初始方向，旋转 \( 180^\circ \) 就能监控到所有四个方向（每个方向及其反向）。