对称轴是什么？垂直平分线怎么用？初中数学轴对称图形深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：对称轴 原理

• 核心概念：你好，我是阿星！想象一下，对称轴就像一面“魔法镜子”，或者一张纸对折后留下的“帅气折痕”。在这条线的两边，住着一对对“双胞胎点”，我们叫它们对应点。最酷的关系是什么？——连接这对“双胞胎点”的线，一定会被对称轴“一箭穿心”，并且被它“完美地切成两等份”！用数学大神的话说就是：对应点的连线被对称轴垂直平分。记住，“折痕”本身就是那条最关键的“垂直平分线”。所以，下次看到对称图形，立刻去找那对连线，看它是不是被对称轴垂直且平分，一找一个准！
• 计算秘籍：
  1. 找中点：如果对应点 \( A(x_1, y_1) \) 和 \( A'(x_2, y_2) \)，它们连线的中点 \( M \) 坐标是 \( M(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \)。这个中点一定在对称轴上。
  2. 验垂直：对称轴（设为直线 \( l \)）的斜率 \( k_l \) 与连线 \( AA' \) 的斜率 \( k_{AA‘} \) 必须满足：\( k_l \times k_{AA’} = -1 \) （或一条线斜率为0，另一条斜率不存在）。
  3. 下结论：同时满足“中点在上”和“连线垂直”的直线，就是对称轴。
• 阿星口诀：“连线垂直平分，折痕就是对称轴。”

📐 图形解析

下图展示了轴对称图形 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle A‘B’C‘ \)，以及它们的关系。注意观察点 \( A \) 和 \( A’ \) 的连线。

关键公式：设对称轴 \( l \) 为直线 \( x = 150 \)，点 \( A(100, 80) \)，点 \( A'(200, 80) \)。

1. 中点验证：\( M \) 点横坐标 \( x_M = \frac{100 + 200}{2} = 150 \)，纵坐标 \( y_M = \frac{80 + 80}{2} = 80 \)。显然，\( M(150, 80) \) 在直线 \( x=150 \) 上。
2. 垂直验证：直线 \( l \) 方程 \( x=150 \)，是竖直线（斜率不存在）。连线 \( AA‘ \) 是水平线，斜率 \( k_{AA’} = 0 \)。一竖一平，相互垂直。

完美符合“连线被对称轴垂直平分”！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为对称轴是一条“分割面积相等”的线就行。
  
  ✅ 正解：对称轴必须保证图形的形状和大小完全对称。仅仅面积相等，但位置错乱，不是轴对称。核心是“对应点连线被垂直平分”。
• ❌ 错误2：在坐标系中，看到两个点关于某直线对称，就认为该直线一定是 \( x \) 轴或 \( y \) 轴。
  
  ✅ 正解：对称轴可以是任意直线。关键是利用中点坐标在轴上和连线斜率与轴斜率乘积为 \( -1 \)**两个条件来列方程求解。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 下列四个“艺术字”中，是轴对称图形的是（ ）。【配四个简单汉字或字母图片，如“中”、“品”、“A”、“F”的简图】
2. 长方形有 ____ 条对称轴，正方形有 ____ 条对称轴，圆有 ____ 条对称轴。
3. 镜子挂在墙上时，镜子中的你就是你的“轴对称像”。如果你举起右手，镜中的你会举起 ____ 手。
4. 点 \( (3, -2) \) 关于 \( x \) 轴对称的点坐标是 ____，关于 \( y \) 轴对称的点坐标是 ____。
5. 如图，一个轴对称图形的一半和对称轴已经给出，请补全它的另一半。【配一个简单不规则图形的一半和一条竖直线】
6. 等腰三角形底边上的高所在的直线，就是它的对称轴。这句话对吗？
7. 线段是轴对称图形，它的对称轴有 ____ 条，分别是 ______________ 和 __________________。
8. 数字0, 1, 2, 3, 8中，是轴对称图形的有 ____ 个。
9. 如果点 \( M(2a, 1) \) 与点 \( N(4, b+3) \) 关于 \( y \) 轴对称，那么 \( a = \) ____，\( b = \) ____。
10. 请画出等边三角形的所有对称轴。【请学生自行画图思考】

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 在平面直角坐标系中，点 \( A(m, 2) \) 与点 \( B(3, n) \) 关于直线 \( x=1 \) 对称，则 \( m+n = \) ____。
2. 已知点 \( P(a+1, 2a-1) \) 关于直线 \( x=2 \) 的对称点在第二象限，则 \( a \) 的取值范围是 ____。
3. 如图，在 \( 5 \times 5 \) 的方格纸中，每个小正方形的边长为1，请以图中的虚线为对称轴，画出与左边图形对称的图形。【配一个在网格中的L形图案和一条对称轴】
4. 若抛物线 \( y = x^2 - 2x + m \) 的图象关于直线 \( x=1 \) 对称，则 \( m = \) ____。
5. 已知函数 \( y = f(x) \) 的图象关于直线 \( x=2 \) 对称，且当 \( x > 2 \) 时，\( f(x) = x^2 - 3x \)，求当 \( x < 2 \) 时，\( f(x) \) 的表达式。
6. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC \)，\( \angle BAC=40^{\circ} \)，\( AD \) 是底边 \( BC \) 上的高。指出图中所有的轴对称图形，并说出它们的对称轴。【配等腰三角形图】
7. 点 \( P(2, -3) \) 先向上平移4个单位，再关于原点对称的点坐标是 ____。
8. 已知直线 \( l_1: y=2x+1 \) 和点 \( A(1, 3) \)，求点 \( A \) 关于直线 \( l_1 \) 的对称点 \( A‘ \) 的坐标。
9. 在菱形 \( ABCD \) 中，\( \angle BAD = 60^{\circ} \)，边长为2，则它的对称轴有 ____ 条，这些对称轴将菱形分成的全等三角形最多有 ____ 对。
10. 如图，将一个矩形纸片沿虚线 \( EF \) 折叠后，点 \( D \) 落在 \( D’ \) 处。若 \( \angle 1 = 65^{\circ} \)，求 \( \angle 2 \) 的度数。【配折叠矩形图，标出∠1和∠2】

第三关：生活应用（5道）

1. 建筑设计：许多古老建筑（如泰姬陵、天坛）的正面设计都是轴对称的。请简述轴对称设计在美学和结构上的两个优点。
2. 汽车标志：观察大众、奔驰、丰田等汽车品牌的标志，哪些可以近似看作是轴对称图形？
3. 测量问题：如图，在一条河 \( l \) 的同侧有 \( A \)、\( B \) 两个村庄。现要在河边修建一个水泵站 \( P \)，使 \( PA + PB \) 最短。请利用轴对称原理确定点 \( P \) 的位置，并说明理由。【配图：一条曲线表示河，两侧各一点A、B】
4. 艺术剪纸：将一张纸对折后，剪出如图所示图案，展开后会得到什么图形？请画出示意图。【配一个简单的半边剪纸图案】
5. 镜面反射：一束光线从点 \( A(2, 3) \) 出发，经过 \( x \) 轴上一点 \( P \) 反射后，通过点 \( B(5, 1) \)。根据“入射角等于反射角”及轴对称原理（\( x \) 轴为对称轴），求点 \( P \) 的坐标。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身

1. “中”、“品”、“A”是，“F”不是。
2. \( 2 \)， \( 4 \)， 无数条。
3. 左。
4. \( (3, 2) \)， \( (-3, -2) \)。
5. （略，作图题）
6. 对。等腰三角形“三线合一”，底边上的高也是底边的垂直平分线。
7. \( 2 \) 条；线段的垂直平分线，以及线段所在的直线。
8. \( 3 \) 个 (0, 3, 8)。
9. 关于 \( y \) 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等。所以 \( 2a = -4 \)， \( 1 = b+3 \)。解得 \( a = -2 \)， \( b = -2 \)。
10. 等边三角形有 \( 3 \) 条对称轴，每条都是顶点到对边中点的连线。

第二关 中考挑战

1. 关于直线 \( x=1 \) 对称，则中点横坐标 \( \frac{m+3}{2} = 1 \)，得 \( m = -1 \)。纵坐标相等 \( 2 = n \)。所以 \( m+n = 1 \)。
2. 对称点横坐标满足 \( \frac{(a+1)+x_{P’}}{2} = 2 \)，得 \( x_{P’} = 3-a \)。纵坐标相等 \( y_{P‘} = 2a-1 \)。对称点在第二象限，则 \( 3-a < 0 \) 且 \( 2a-1 > 0 \)。解得 \( a>3 \) 且 \( a > \frac{1}{2} \)，所以 \( a > 3 \)。
3. （略，作图题）
4. 抛物线 \( y = x^2 - 2x + m = (x-1)^2 + m - 1 \)，其对称轴为 \( x=1 \)，与 \( m \) 值无关。题目已告知对称轴为 \( x=1 \)，故 \( m \) 可为任意实数。但通常此类题意为“图象关于 \( x=1 \) 对称”，那么抛物线本身就是关于 \( x=1 \) 对称的，所以 \( m \) 取任意值都满足。若题目有其它条件，则另当别论。此处答案：\( m \in \mathbb{R} \)。
5. 设 \( x < 2 \)，则其关于 \( x=2 \) 的对称点 \( x’ = 4 - x > 2 \)。由对称性，\( f(x) = f(x’) = f(4-x) \)。将 \( 4-x \) 代入 \( x>2 \) 的表达式：\( f(4-x) = (4-x)^2 - 3(4-x) = x^2 - 5x + 4 \)。所以当 \( x < 2 \) 时，\( f(x) = x^2 - 5x + 4 \)。
6. 轴对称图形有：\( \triangle ABD \)（对称轴为 \( AD \)），\( \triangle ACD \)（对称轴为 \( AD \)），\( \triangle ABC \)（对称轴为 \( AD \)），整个图形也是轴对称图形（对称轴为 \( AD \)）。
7. 平移后点：\( (2, 1) \)。关于原点对称：\( (-2, -1) \)。
8. 设 \( A'(p, q) \)。中点 \( M(\frac{1+p}{2}, \frac{3+q}{2}) \) 在 \( y=2x+1 \) 上：\( \frac{3+q}{2} = 2 \times \frac{1+p}{2} + 1 \) → \( q = 2p + 3 \)。(1) 连线 \( AA‘ \) 斜率 \( \frac{q-3}{p-1} \) 与 \( k_{l1}=2 \) 垂直：\( 2 \times \frac{q-3}{p-1} = -1 \) → \( 2(q-3) = - (p-1) \)。(2) 将(1)代入(2)：\( 2(2p+3-3) = -p+1 \) → \( 4p = -p+1 \) → \( p=\frac{1}{5} \)， \( q=\frac{13}{5} \)。所以 \( A’(\frac{1}{5}, \frac{13}{5}) \)。
9. 菱形有 \( 2 \) 条对称轴（对角线所在直线）。每条对称轴都将菱形分成两个全等三角形，共有 \( 2 \) 对。但两条对称轴将菱形分成 \( 4 \) 个全等的小直角三角形，这4个小三角形两两全等，但“对”数更多。若问“对称轴分成的全等三角形”，通常指一条对称轴分成的两个大三角形，所以是 \( 2 \) 对。题目问“最多有 _ 对”，若理解为所有对称轴分割的结果，则最多有 \( 4 \) 个彼此全等的三角形，它们可以组成 \( C_4^2 = 6 \) 对全等三角形。但此理解超纲。保守答案为 \( 2 \) 条对称轴，\( 2 \) 对全等三角形。
10. 由折叠对称性，\( \angle D’EF = \angle DEF \)。矩形对边平行，\( \angle 1 = \angle D’EF = 65^{\circ} \)。所以 \( \angle DEF = 65^{\circ} \)。则 \( \angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 - \angle DEF = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 65^{\circ} = 50^{\circ} \)。

第三关 生活应用

1. 美学：给人以平衡、稳定、庄严的视觉感受。结构：对称结构受力往往更均匀，有助于建筑的稳定。
2. 大众（VW）、奔驰（三叉星）、奥迪（四环）是轴对称的；丰田（牛头标）不是严格的轴对称。
3. 作点 \( A \) 关于河 \( l \) 的对称点 \( A‘ \)，连接 \( A’B \) 交 \( l \) 于点 \( P \)，则 \( P \) 即为所求。理由：根据轴对称性质，\( AP = A’P \)，所以 \( AP+BP = A‘P+BP = A’B \)，两点之间线段最短。
4. （略，作图题，得到一个完整的轴对称图形）。
5. 找出 \( B(5, 1) \) 关于 \( x \) 轴的对称点 \( B‘(5, -1) \)。根据轴对称原理，光线路径 \( A \rightarrow P \rightarrow B \) 等价于直线 \( AB’ \) 与 \( x \) 轴的交点。求直线 \( AB’ \) 方程：过 \( A(2,3) \) 和 \( B‘(5,-1) \)，斜率 \( k = \frac{-1-3}{5-2} = -\frac{4}{3} \)。方程：\( y-3 = -\frac{4}{3}(x-2) \)。令 \( y=0 \)，得 \( 0-3 = -\frac{4}{3}(x-2) \) → \( x-2 = \frac{9}{4} \) → \( x = \frac{17}{4} \)。所以 \( P(\frac{17}{4}, 0) \)。