对称轴是什么？垂直平分线怎么求？中考数学轴对称图形深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：对称轴 原理

• 核心概念：想象一下，对称轴是一位最严格的裁判。图形上的一对“对称点”（比如A和A'），就像是两个面对面站立的选手。这位裁判（对称轴）对待他们必须绝对公平！首先，他必须站在两人连线的正中间（平分）；其次，他必须挺直腰杆，与两人的连线保持完美的90度（垂直）。这就是“垂直平分”的终极奥义——对称轴会垂直地将连接对应点的线段切成两等份。
• 计算秘籍：在坐标系里，如果知道点 \( A(x_1, y_1) \) 和它的对称点 \( A'(x_2, y_2) \)，那么对称轴 \( l \) 的方程可以轻松找到。
  1. 找中点：线段 \( AA' \) 的中点 \( M \) 的坐标是 \( M(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \)。这个点一定在对称轴上。
  2. 找垂直关系：对称轴 \( l \) 与线段 \( AA' \) 垂直。如果 \( AA' \) 的斜率是 \( k_{AA'} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) (\( x_1 \neq x_2 \))，那么对称轴 \( l \) 的斜率 \( k_l \) 满足 \( k_l \times k_{AA'} = -1 \)，即 \( k_l = -\frac{1}{k_{AA'}} \)。

  掌握了中点坐标和垂直斜率，你就能“锁定”这条对称轴！

• 阿星口诀：对称轴，是裁判，连线垂直又平分。找点先寻中，垂直关系记心中！

📐 图形解析

下面我们通过图形，直观感受“严格的裁判”是如何工作的：

在上图中，点 \( A \) 和点 \( A' \) 关于直线 \( l \) 轴对称。我们可以清晰地看到：
1. 平分：中点 \( M \) 在对称轴 \( l \) 上，意味着 \( AM = MA' \)。
2. 垂直：对称轴 \( l \) 与线段 \( AA' \) 互相垂直。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“看起来对称”就是轴对称。 → ✅ 正解：必须用“垂直平分”这把尺子去量。对于图形上的每一组对应点，连接它们的线段都必须被同一条直线垂直平分，这条直线才是对称轴。
• ❌ 错误2：只记住“垂直”或只记住“平分”，忽略另一个条件。 → ✅ 正解：垂直和平分是共存且缺一不可的“黄金搭档”。一条直线如果只垂直平分一条线段，那它只是这条线段的垂直平分线；只有当它同时垂直平分所有对应点连线时，它才是整个图形的对称轴。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：正方形的对角线都是它的对称轴。（对/错）
2. 判断：连接两个对称点的线段，一定被对称轴垂直平分。（对/错）
3. 圆有多少条对称轴？
4. 请画出等边三角形的所有对称轴。
5. 英文字母 “A” 有几条对称轴？
6. 点 \( (5, -2) \) 关于 y 轴的对称点坐标是？
7. 如果点 \( M(2, a) \) 是点 \( P(4, 1) \) 和点 \( Q(b, 1) \) 连线的中点，且直线 \( x=2 \) 是线段 \( PQ \) 的垂直平分线，求 \( a \) 和 \( b \)。
8. 角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
9. 请找出下面这个图案的一条对称轴（可画图示意）。
10. 线段是轴对称图形吗？它有多少条对称轴？

第二关：中考挑战（10道）

1. (真题改编) 在平面直角坐标系中，若点 \( A(m, 2) \) 与点 \( B(3, n) \) 关于原点对称，则 \( m+n = \) ______。
2. (真题改编) 已知点 \( P(a+1, 2a-3) \) 关于 x 轴的对称点在第一象限，则 a 的取值范围是 ______。
3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 \( 35^\circ \)，则这个等腰三角形的顶角度数为 ______。
4. 如图，矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=8, AD=6 \)，折叠矩形使点 \( B \) 与点 \( D \) 重合，折痕为 \( EF \)（\( E \) 在 \( AB \) 上，\( F \) 在 \( CD \) 上）。求 \( \triangle DEF \) 的面积。
5. 抛物线 \( y = -2x^2 + 4x + 1 \) 的对称轴是直线 ______。
6. 若抛物线 \( y = x^2 + bx + c \) 的对称轴是直线 \( x=1 \)，且经过点 \( P(3, 0) \)，则 \( b+c = \) ______。
7. 已知直线 \( l_1: y = 2x + 3 \) 和点 \( A(1, 5) \)，求点 \( A \) 关于直线 \( l_1 \) 的对称点 \( A' \) 的坐标。
8. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AC=6 \)，\( BC=8 \)，分别以点 \( A, B \) 为圆心，大于 \( \frac{1}{2}AB \) 长为半径画弧，两弧交于 \( M, N \) 两点，作直线 \( MN \) 交 \( AB \) 于点 \( D \)，则 \( CD \) 的长为 ______。
9. 在菱形 \( ABCD \) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，\( AB=4 \)，点 \( E \) 是 \( AB \) 边的中点，点 \( P \) 是对角线 \( AC \) 上的一个动点，则 \( PE + PB \) 的最小值为 ______。
10. 阅读理解：“对称补形法”：求 \( y = \sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{x^2 - 10x + 29} \) 的最小值。可将其视为 x 轴上一点 \( P(x, 0) \) 到点 \( A(0, 3) \) 和点 \( B(5, 2) \) 的距离之和。利用对称原理（作 A 关于 x 轴的对称点 A'）转化为求 A'B 的长度，从而求解。请据此算出最小值。

第三关：生活应用（5道）

1. （剪纸艺术）将一张矩形纸片沿一条直线折叠，压平后展开，折痕就是这条“对称轴”。如果要剪出一个“囍”字，你应该如何对折纸张？请描述折叠次数和对称轴的位置。
2. （建筑设计）许多建筑的大门设计是轴对称的。测量时，工人师傅如何快速而准确地确定门框上对称装饰物（如两个门环）的安装位置？请用“垂直平分”的原理解释。
3. （镜面反射）物理中，入射光线、反射光线和法线（垂直于镜面的线）的关系也满足“轴对称”，镜面就是对称轴。若入射光线经过点 \( (2, 3) \) 以 \( 60^\circ \) 角射向 x 轴（视为镜面），求反射光线所在直线的方程。
4. （台球战术）标准长方形台球桌上，白球位于点 \( (1, 1) \)（以一角为原点），想通过撞击上边桌沿（y=2）一次，然后击中位于点 \( (3, 0) \) 的目标球。请利用对称原理（找白球关于上桌沿的对称点）求出撞击点的坐标。
5. （信息编码）某些简单的加密方法利用字母的对称性。如将字母表视为一条直线，A(1), B(2)...Z(26)，指定对称轴位置（如 x=13.5，在M和N之间）进行映射加密。请问按此规则，字母“SPARK”会被加密成什么词？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 错。正方形的对角线虽然互相垂直平分，但图形沿对角线对折后不能完全重合（相邻部分重叠，对角部分不重叠）。对称轴是直线，但正方形的对称轴是两条对边中点的连线以及两条对角线所在的直线吗？不对，只有对边中点连线（共4条）。
2. 对。这是轴对称的定义核心。
3. 无数条。任何经过圆心的直线都是它的对称轴。
4. 等边三角形有3条对称轴，分别是三条边的垂直平分线（也是角平分线、中线）。
5. 1条。是一条竖直的直线。
6. \( (-5, -2) \)。关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。
7. 由 \( x=2 \) 是 \( PQ \) 的垂直平分线，可知 \( PQ \) 平行于x轴，其中点在 \( x=2 \) 上。已知 \( P(4,1) \)，中点横坐标 \( \frac{4+b}{2}=2 \) → \( b=0 \)。中点纵坐标 \( a = \frac{1+1}{2} = 1 \)。所以 \( a=1, b=0 \)。
8. 是。角的对称轴是它的角平分线所在的直线。
9. （答案不唯一，例如一个“王”字，有一条竖直的对称轴。）
10. 是。有2条。一条是线段的垂直平分线，另一条是线段本身所在的直线。

第二关：中考挑战

1. \( -1 \)。关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，\( m=-3, n=-2 \)。
2. \( a < \frac{3}{2} \)。P关于x轴的对称点为 \( (a+1, -2a+3) \)，在第一象限则 \( a+1>0 \) 且 \( -2a+3>0 \) → \( a>-1 \) 且 \( a<1.5 \) → \( -1 < a < 1.5 \)。注意原题点P在第一象限的对称点，则P本身在第四象限，所以 \( 2a-3<0 \)，同样得 \( a<1.5 \)。但若只问对称点在一象限，则需同时满足 \( a+1>0 \) 和 \( -2a+3>0 \)。
3. \( 55^\circ \) 或 \( 125^\circ \)。分情况讨论：当顶角为锐角时，高在三角形内部，顶角 \( =90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \)。当顶角为钝角时，高在三角形外部，顶角 \( =90^\circ + 35^\circ = 125^\circ \)。
4. \( \frac{75}{4} \)。连接 \( BD \)，\( EF \) 垂直平分 \( BD \)。设 \( AE = x \)，则 \( DE = BE = 8-x \)。在 \( Rt\triangle ADE \) 中，\( 6^2 + x^2 = (8-x)^2 \)，解得 \( x = \frac{7}{4} \)。所以 \( DE = 8 - \frac{7}{4} = \frac{25}{4} \)。易证 \( \triangle DEF \cong \triangle BEF \)，且 \( EF = BD = 10 \)。所以 \( S_{\triangle DEF} = \frac{1}{2} \times DE \times (\frac{1}{2}EF) = \frac{1}{2} \times \frac{25}{4} \times 5 = \frac{125}{8} \)。（注：也可用 \( S_{\triangle DEF} = \frac{1}{2} \times DF \times AD \) 计算，其中 \( DF = CF = 5 \)）
5. \( x = 1 \)。公式 \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1 \)。
6. \( -5 \)。对称轴 \( x = -\frac{b}{2} = 1 \) → \( b = -2 \)。过点 \( (3,0) \) 代入：\( 0 = 9 + (-2)\times3 + c \) → \( c = -3 \)。所以 \( b+c = -5 \)。
7. \( (-\frac{33}{5}, \frac{41}{5}) \)。设 \( A'(m,n) \)。则 \( AA' \) 中点 \( (\frac{m+1}{2}, \frac{n+5}{2}) \) 在直线 \( y=2x+3 \) 上，且 \( AA' \) 斜率 \( \frac{n-5}{m-1} \) 与 \( 2 \) 乘积为 \( -1 \)。列方程组：
   • \( \frac{n+5}{2} = 2 \times \frac{m+1}{2} + 3 \) → \( n+5 = 2(m+1) + 6 \) → \( n = 2m + 3 \)
   • \( \frac{n-5}{m-1} \times 2 = -1 \) → \( 2(n-5) = -(m-1) \)

   将①代入②：\( 2(2m+3-5) = -m+1 \) → \( 4m-4 = -m+1 \) → \( 5m=5 \) → \( m=1 \)（这与A点横坐标相同，意味着A在直线 \( l_1 \) 上吗？检查：A(1,5)代入 \( y=2x+3 \) 得 \( 5=5 \)成立，所以A在直线 \( l_1 \) 上，因此对称点就是它本身 \( A'(1,5) \)）。哦，这里需要修正：点A在直线l1上，所以对称点就是它本身。原解析列方程时，条件“中点在上”和“垂直”自动满足。所以答案应为 \( (1, 5) \)。抱歉，例题设置时没注意A恰在直线上。若改为点A(1,4)不在直线上，按上述方法解得 \( m=-\frac{11}{5}, n=\frac{23}{5} \)。

8. \( 5 \)。直线 \( MN \) 是 \( AB \) 的垂直平分线，点 \( D \) 是 \( AB \) 中点。在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( AB = 10 \)，\( D \) 是斜边中点，所以 \( CD = \frac{1}{2} AB = 5 \)。（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
9. \( 2\sqrt{7} \)。点 \( B \) 关于对角线 \( AC \) 的对称点是点 \( D \)（菱形性质）。连接 \( DE \) 交 \( AC \) 于点 \( P \)，此时 \( PE+PB = DE \) 最小。在 \( \triangle ADE \) 中，\( AD=4 \)，\( AE=2 \)，\( \angle A = 60^\circ \)，由余弦定理：\( DE^2 = 4^2 + 2^2 - 2\times4\times2\times\cos60^\circ = 16+4-8=12 \)，所以 \( DE = 2\sqrt{3} \)。（检查：这里E是AB中点，B关于AC的对称点是D，所以PE+PB=PE+PD，当E、P、D共线时最小，即ED的长度。在菱形中，∠BAD=60°，△ABD是等边三角形，所以BD=4，E是AB中点，所以DE⊥AB？等边三角形一边上的中线也是高，所以DE=√(AD²-AE²)=√(16-4)=√12=2√3）答案正确。
10. \( 5\sqrt{2} \)。原式 \( = \sqrt{(x-0)^2 + (0-3)^2} + \sqrt{(x-5)^2 + (0-2)^2} \)，即 \( PA + PB \)。作点 \( A(0,3) \) 关于x轴的对称点 \( A'(0, -3) \)，则 \( PA+PB = PA'+PB \ge A'B = \sqrt{(5-0)^2 + (2-(-3))^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)。

第三关：生活应用

1. 将矩形纸片沿长边方向（或短边方向）对折一次，再沿对折后的纸片的对称轴（垂直于第一次折痕）方向对折一次。这样展开后，纸张被分成8个全等的区域，剪出的“囍”字是轴对称和中心对称的结合。精确来说，剪“囍”字通常需要沿中线（竖直）对折一次。
2. 首先确定门框竖直中轴线（对称轴）。测量出门框的宽度，找到中点。对于任一装饰物在门框一侧的安装位置，测量其到门框上下边和侧边的距离。另一侧装饰物的位置，应满足：两个安装点的连线被中轴线垂直平分。即，它们到中轴线的水平距离相等，且高度（到地面的垂直距离）相同。
3. 法线是垂直于镜面（x轴）的直线，即竖直线。入射点设为 \( (2, 0) \)。入射光线斜率 \( k_1 = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \)（与x轴正向夹角120°）。根据轴对称，反射光线与x轴正向夹角为 \( 60^\circ \)，斜率 \( k_2 = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \)，且过点 \( (2, 0) \)。所以反射光线方程：\( y = \sqrt{3}(x-2) \)。
4. 作白球 \( S(1,1) \) 关于上桌沿 \( y=2 \) 的对称点 \( S'(1, 3) \)。连接 \( S' \) 与目标球 \( T(3,0) \)，连线 \( S'T \) 与上桌沿 \( y=2 \) 的交点即为撞击点 \( P \)。直线 \( S'T \) 过点 \( (1,3) \) 和 \( (3,0) \)，斜率 \( k = (0-3)/(3-1) = -1.5 \)，方程：\( y-3 = -1.5(x-1) \)。令 \( y=2 \)，代入得 \( 2-3 = -1.5(x-1) \) → \( -1 = -1.5x + 1.5 \) → \( 1.5x = 2.5 \) → \( x = \frac{5}{3} \approx 1.667 \)。所以撞击点 \( P(\frac{5}{3}, 2) \)。
5. 对称轴 \( x=13.5 \)，则一个字母的坐标 \( n \) 与其对称点坐标 \( n' \) 满足 \( \frac{n + n'}{2} = 13.5 \)，即 \( n' = 27 - n \)。S(19) → \( 27-19=8 \) → H；P(16) → \( 27-16=11 \) → K；A(1) → \( 27-1=26 \) → Z；R(18) → \( 27-18=9 \) → I；K(11) → \( 27-11=16 \) → P。所以“SPARK”加密后为“HKZIP”。