整除特征2,5,4,8详解：如何快速判断尾数与末两位？附练习题PDF下载

💡 阿星精讲：整除特征：2, 5, 4, 8 原理

• 核心概念：阿星说，每个数字都像一只小动物，它的“尾巴”就是最后几位数字。判断它能不能被某个数整除，不用看全身，只用看尾巴就行！\(2\)和\(5\)很急性子，只看最末1位尾巴；\(4\)和\(25\)要稳重一些，得看最末2位尾巴；\(8\)和\(125\)最谨慎，必须看完最末3位尾巴才做决定。
• 计算秘籍：
  1. 拆数：把一个数拆成“尾巴”和“身体”两部分。例如 \(1234 = 1200 + 34\)， \(34\)就是末两位的“尾巴”。
  2. 分析：“身体”部分（如\(1200\)）一定是\(100\)、\(1000\)的倍数，肯定能被\(4\)、\(8\)等整除。所以，整个数能否被整除，完全取决于“尾巴”部分。
  3. 判断：只需计算“尾巴”能否被整除。
     • 判断 \(1234\) 能否被 \(4\) 整除：看末两位 \(34\)。因为 \(34 \div 4 = 8.5\) 不是整数，所以 \(1234\) 不能被 \(4\) 整除。
     • 判断 \(5720\) 能否被 \(8\) 整除：看末三位 \(720\)。因为 \(720 \div 8 = 90\)，是整数，所以 \(5720\) 能被 \(8\) 整除。
• 阿星口诀：2、5只看末一位，4、25后两位追，8、125三位尾，整除特征记心扉。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：判断能否被 \(8\) 整除时，只看了末两位（比如 \(136\) 的 \(36\)）。
  ✅ 正解：\(8\) 必须看末三位！将 \(136\) 看作 \(0136\)，看末三位 \(136\)，因为 \(136 \div 8 = 17\)，所以可以整除。
• ❌ 错误2：只记住了口诀，但遇到像 \(2300\) 这样的数，不确定末两位“\(00\)”算不算能被 \(4\) 整除。
  ✅ 正解：\(0\) 可以被任何非零数整除。末两位 \(00\) 意味着 \(0 \div 4 = 0\)，是整数，所以 \(2300\) 一定能被 \(4\) 和 \(25\) 整除。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断 \(346\) 能否被 \(2\) 整除？
2. 判断 \(785\) 能否被 \(5\) 整除？
3. 判断 \(918\) 能否被 \(4\) 整除？
4. 判断 \(2312\) 能否被 \(8\) 整除？
5. 在 \(150\) 和 \(200\) 之间，找出所有能被 \(4\) 整除的数。
6. 一个数能被 \(5\) 整除，它的个位可能是哪些数字？
7. 判断 \(1000\) 能否被 \(8\) 整除？
8. 判断 \(500\) 能否被 \(25\) 整除？
9. 给 \(47\_\) 填上一个数字，使它能被 \(2\) 整除。
10. 给 \(63\_\) 填上一个数字，使它能被 \(5\) 整除。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 六位数 \(2024\_\_\) 的后两位填上什么数字，能确保这个数能被 \(8\) 整除？
2. 从 \(0, 2, 5, 7\) 中选三个数字组成三位数，能同时被 \(2\) 和 \(5\) 整除的最大数是多少？
3. 一个数的末两位是 \(16\)，这个数能被 \(4\) 整除吗？请说明原理。
4. 已知五位数 \(6a34b\) 能被 \(4\) 整除，也能被 \(5\) 整除，求所有可能的 \(a+b\) 的值。
5. \(1 \times 2 \times 3 \times ... \times 25\) 的乘积末尾有多少个连续的 \(0\)？（提示：与 \(2\) 和 \(5\) 的整除性有关）
6. 有一个2024位的数，各位数字都是 \(1\)，这个数除以 \(4\) 的余数是多少？
7. 在 \( \_ 328\) 的千位填上一个数字，使这个四位数能被 \(8\) 整除。
8. 能同时被 \(4\) 和 \(25\) 整除的最小三位数是多少？
9. 有一个电话号码 \(ABCDEFGH\)，已知 \(ABCD\) 能被 \(4\) 整除，\(DEFG\) 能被 \(4\) 整除，\(FGH\) 能被 \(8\) 整除。求证：\(ABCDEFGH\) 一定能被 \(8\) 整除。
10. 找出最小的自然数，使得它的 \(2\) 倍是 \(4\) 的倍数，\(3\) 倍是 \(9\) 的倍数，\(5\) 倍是 \(25\) 的倍数。

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI数据分组】星火AI实验室有 \(2583\) 条训练数据，计划用 \(4\) 个并行处理器同时处理。能否不经过具体除法运算，快速判断数据能否被平均分配？
2. 【航天发射窗口】某卫星发射窗口时间计算出一个代码为 \(11308\) 秒。如果任务要求每个阶段时长必须是 \(8\) 秒的整数倍，这个总时长符合要求吗？
3. 【网购优惠凑单】某商品单价 \(125\) 元，平台满 \(1000-50\) 优惠。小明想通过购买该商品恰好凑到满减门槛，他最少需要购买多少件？
4. 【编程与位运算】在计算机中，判断一个整数能否被 \(2\) 的幂（\(2, 4, 8, 16...\)）整除，通常使用“按位与”(&)运算，而非除法。请解释为什么这和“看末几位尾巴”的原理是相通的？
5. 【日历密码】小明的密码是他出生年份末两位组成的数。已知这个密码数能被 \(4\) 整除，且能被 \(5\) 除余 \(2\)。他的出生年份末两位可能是什么？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. 能，末位 \(6\) 是偶数。
2. 能，末位是 \(5\)。
3. 不能，末两位 \(18 \div 4 = 4.5\)。
4. 能，末三位 \(312 \div 8 = 39\)。
5. \(152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200\)。
6. \(0\) 或 \(5\)。
7. 能，末三位 \(000 = 0\)， \(0 \div 8 = 0\)。
8. 能，末两位 \(00\)。
9. \(0, 2, 4, 6, 8\) 中任意一个。
10. \(0\) 或 \(5\)。

第二关：奥数挑战
1. 后两位需使末三位能被 \(8\) 整除。\(202400\) 末三位是 \(400\)， \(400 \div 8 = 50\)。下一个是 \(408\) (\(8\) 的倍数间隔 \(8\))。所以后两位可以是 \(00, 08, 16, 24, ..., 96\)。
2. 能同时被 \(2\) 和 \(5\) 整除，则末位必须是 \(0\)。从剩下数字 \(2,5,7\) 中选两个最大的放在前两位：\(750\)。
3. 能。因为任何数 \(N = 100 \times k + 16\)， \(100k\) 肯定能被 \(4\) 整除， \(16\) 也能被 \(4\) 整除，所以和也能被 \(4\) 整除。
4. 能被 \(5\) 整除，则 \(b=0\) 或 \(5\)。能被 \(4\) 整除，则末两位 \( \overline{4b}\) 能被 \(4\) 整除。若 \(b=0\)， \(40 \div 4=10\)，可；若 \(b=5\)， \(45 \div 4=11.25\)，不可。故 \(b=0\)。此时数形如 \(6a340\)， \(a\) 可以是 \(0\)~\(9\) 任意数。故 \(a+b = a+0\)，可能值为 \(0\) 到 \(9\)。
5. 末尾 \(0\) 的个数由质因子 \(2\) 和 \(5\) 的对数决定。乘式中 \(2\) 的因子远多于 \(5\) 的因子。\(5\) 的因子来自 \(5, 10, 15, 20, 25\)（提供两个 \(5\)）。共 \(5+1+1+1+2 = 10\) 个质因子 \(5\)。所以有 \(10\) 个连续的 \(0\)。
6. 一个数除以 \(4\) 的余数由末两位决定。这个2024位数末两位是 \(11\)。\(11 \div 4 = 2 \cdots 3\)。所以余数是 \(3\)。
7. 设数为 \( \overline{a328}\)，看末三位 \(328\)， \(328 \div 8 = 41\)，可整除。所以千位 \(a\) 可以是 \(1\)~\(9\) 任意数字。
8. 能同时被 \(4\) 和 \(25\) 整除，即能被 \(100\) 整除。最小三位数是 \(100\)。
9. 设数为 \( \overline{ABCDEFGH}\)。已知 \( \overline{ABCD}\) 能被 \(4\) 整除，说明 \( \overline{ABCD00}\) 能被 \(100\) 整除，自然能被 \(8\) 整除。同理 \( \overline{DEFG}\) 能被 \(4\) 整除，说明 \( \overline{DEFG00}\) 能被 \(4\) 整除。原数可写为 \( \overline{ABCD0000} + \overline{EFGH}\)。第一部分能被 \(8\) 整除。又已知 \( \overline{FGH}\) 能被 \(8\) 整除，且 \( \overline{EFGH} = \overline{E000} + \overline{FGH}\)，其中 \( \overline{E000}\) 是 \(1000\) 的倍数，能被 \(8\) 整除，所以 \( \overline{EFGH}\) 能被 \(8\) 整除。因此整个数能被 \(8\) 整除。
10. 设此数为 \(N\)。\(2N\) 是 \(4\) 的倍数 ⇒ \(N\) 是 \(2\) 的倍数。\(3N\) 是 \(9\) 的倍数 ⇒ \(N\) 是 \(3\) 的倍数。\(5N\) 是 \(25\) 的倍数 ⇒ \(N\) 是 \(5\) 的倍数。所以 \(N\) 是 \(2, 3, 5\) 的公倍数，最小为 \( \text{lcm}(2,3,5) = 30\)。检验：\(2 \times 30=60\) (是 \(4\) 的倍数)， \(3 \times 30=90\) (不是 \(9\) 的倍数！)。失败。需使 \(N\) 包含更多 \(3\) 和 \(5\) 的因子以满足其倍数的要求。设 \(N = 2^a \times 3^b \times 5^c\)。条件变为：\(2^{a+1} \times 3^b \times 5^c\) 中 \(2\) 的幂次 ≥ \(2\) ⇒ \(a+1 \ge 2\) ⇒ \(a \ge 1\)。\(2^a \times 3^{b+1} \times 5^c\) 中 \(3\) 的幂次 ≥ \(2\) ⇒ \(b+1 \ge 2\) ⇒ \(b \ge 1\)。\(2^a \times 3^b \times 5^{c+1}\) 中 \(5\) 的幂次 ≥ \(2\) ⇒ \(c+1 \ge 2\) ⇒ \(c \ge 1\)。取最小指数 \(a=1, b=1, c=1\)，得 \(N = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30\)，上面检验发现 \(b=1\) 不满足 \(3N\) 是 \(9\) 的倍数，因为 \(b+1=2\) 才够。所以令 \(b=2\)。则 \(N = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 90\)。检验通过。

第三关：生活应用
1. 能。判断 \(2583\) 能否被 \(4\) 整除，看末两位 \(83\)。\(83 \div 4 = 20.75\)，不能整除。所以数据不能平均分配。
2. 判断 \(11308\) 能否被 \(8\) 整除，看末三位 \(308\)。\(308 \div 8 = 38.5\)，不能整除。不符合要求。
3. 设购买 \(n\) 件，总价 \(125n\)。需 \(125n \ge 1000\) 且 \(125n\) 是 \(125\) 的倍数。最小 \(n = \lceil 1000 / 125 \rceil = 8\)。买 \(8\) 件总价 \(1000\) 元，正好达到门槛。
4. 二进制下，一个数能被 \(2^n\) 整除，等价于它的二进制表示最后 \(n\) 位都是 \(0\)。“按位与”运算 \(N \& (2^n - 1)\) 就是取出末 \(n\) 位的值。这与十进制下“看末 \(n\) 位尾巴”原理完全一致，只是进制从 \(10\) 换成了 \(2\)。例如，判断能否被 \(8\) (\(2^3\)) 整除，就看二进制末三位是否全为 \(0\)。
5. 设末两位数为 \( \overline{ab}\)。能被 \(4\) 整除 ⇒ \( \overline{ab}\) 是 \(4\) 的倍数。被 \(5\) 除余 \(2\) ⇒ \(b = 2\) 或 \(7\)。结合两者：若 \(b=2\)，则 \( \overline{a2}\) 是 \(4\) 的倍数：\(12, 32, 52, 72, 92\)。若 \(b=7\)，则 \( \overline{a7}\) 是 \(4\) 倍数：无（\(07, 27, 47, 67, 87\) 都不能被 \(4\) 整除）。所以可能为 \(12, 32, 52, 72, 92\)。