7, 11, 13的整除特征判定法则详解：割尾法步骤与练习题下载
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：整除特征：7, 11, 13 原理
- 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来玩一个数字“微创手术”，叫割尾法。想象一个数字是一根长长的绳子，我们用一把神奇的“手术刀”——「末三位减去前面的数」。这把刀的原理，源于一个秘密数字 \(1001\)，因为 \(1001 = 7 \times 11 \times 13\)。所以，判断一个数能否被7、11、13整除，就相当于判断它能否被1001整除。我们的“手术”就是把大数拆成 \( \text{前面的数} \times 1000 + \text{末三位} \)，然后通过减去末三位（相当于减去1倍），变成 \( \text{前面的数} \times 1000 - \text{末三位} \)，再巧妙地转化为 \( \text{前面的数} \times 1001 - (\text{前面的数} + \text{末三位}) \)。看！\(1001\)的倍数被分离出去了，剩下的“差”\((\text{前面的数} - \text{末三位})\)就决定了原数的命运。所以，“末三位 - 前面的数，差能被整除，原数就能被整除”这句话，就是我们手术的核心口诀！
- 计算秘籍：
- 从右往左，将数“割”成两部分：末三位（记为 \(b\)）和前面剩下的数（记为 \(a\)）。
- 计算它们的差：\(d = a - b\)（注意顺序是“前面的数”减去“末三位”）。
- 计算差的绝对值 \(|d|\)。
- 判断 \(|d|\) 是否能被7（或11，或13）整除。
- 如果能，则原数也能被对应的数整除。
- 如果不能，继续对 \(|d|\) 重复步骤1-3，直到能轻松判断为止。
- 阿星口诀：一割（末三位），二减（前减后），三看差。整除7、11、13就靠它！
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：搞错“割”的位置，不是末两位，也不是随意位置。 → ✅ 正解：严格从右向左数三位，不足三位的用0补足。例如，判断 \(1234\)，应视为 \(a=1, b=234\)。
- ❌ 错误2：记错减法顺序，用末三位去减前面的数。 → ✅ 正解：牢记口诀“前减后”，即前面的数 \(a\) 减去末三位 \(b\)。即判断 \(a-b\) 的整除性。
🔥 三例题精讲
例题1：判断 \(31731\) 能否被 \(13\) 整除。
📌 解析：
- 割尾： \(a = 31\), \(b = 731\)。
- 前减后： \(d = a - b = 31 - 731 = -700\)。
- 看差： \(|d| = 700\)。判断 \(700 \div 13\)？ \(13 \times 53 = 689\)，\(13 \times 54 = 702\)，不能整除。
- 结论： 所以 \(31731\) 不能被 \(13\) 整除。
✅ 总结：差是负数没关系，看绝对值。快速心算 \(13 \times 50 = 650\)，再加 \(13 \times 4 = 52\) 得 \(702\)，可知 \(700\) 不是 \(13\) 的倍数。
例题2：判断 \(642642\) 能否被 \(7\) 和 \(11\) 整除。
📌 解析：
- 割尾： \(a = 642\), \(b = 642\)。
- 前减后： \(d = a - b = 642 - 642 = 0\)。
- 看差： \(|d| = 0\)。\(0\) 能被任何非零数整除。
- 结论： 所以 \(642642\) 同时能被 \(7\)、\(11\) 以及 \(13\) 整除！这正是因为 \(642642 = 642 \times 1001 = 642 \times 7 \times 11 \times 13\)。
✅ 总结：当前面的数和末三位一模一样时，差为 \(0\)，原数一定是 \(1001\) 的倍数，即同时能被 \(7\)、\(11\)、\(13\) 整除。这是一个快速判断的窍门。
例题3：判断 \(905891\) 能否被 \(11\) 整除。
📌 解析：
- 第一次割尾： \(a_1 = 905\), \(b_1 = 891\)。 \(d_1 = 905 - 891 = 14\)。
- \(14\) 较小，直接判断：\(14\) 不能被 \(11\) 整除。
- 但为确保严谨，我们可以继续：对 \(14\) 补零视为 \(014\)，再次割尾。
- 第二次割尾： \(a_2 = 0\), \(b_2 = 14\)。 \(d_2 = 0 - 14 = -14\)。 \(|d_2| = 14\)，依然不能被 \(11\) 整除。
- 结论： \(905891\) 不能被 \(11\) 整除。
✅ 总结：当第一次得到的差仍然较大或不明显时，可以对差继续使用割尾法，直到能轻松判断。给差补0再割是标准操作。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 判断 \(518518\) 是否能被 \(7\) 整除？
- 判断 \(123123\) 是否能被 \(13\) 整除？
- 判断 \(7049\) 是否能被 \(11\) 整除？
- 判断 \(1001\) 是否能被 \(7\) 整除？
- 判断 \(2002\) 是否能被 \(11\) 整除？
- 判断 \(8916\) 是否能被 \(13\) 整除？
- 判断 \(63063\) 是否能被 \(7\) 整除？
- 判断 \(5005\) 是否能被 \(13\) 整除？
- 判断 \(12321\) 是否能被 \(11\) 整除？（提示：先割尾）
- 判断 \(7007\) 是否能被 \(7\) 整除？
第二关：奥数挑战（10道）
- 已知六位数 \(\overline{20ab20}\) 能被 \(7\) 和 \(13\) 整除，求 \(a\) 和 \(b\)。
- 判断 \(1357924680\) 这个十位数是否能被 \(11\) 整除？（可结合11的另一定义“奇偶位差法”快速验证）
- 有一个三位数，它加上 \(1\) 后能被 \(7\) 整除，减去 \(1\) 后能被 \(11\) 和 \(13\) 整除。这个三位数是多少？
- 证明：一个六位数如果是 \(\overline{abcabc}\) 的形式，则它一定是 \(7\)、\(11\)、\(13\) 的公倍数。
- 判断 \(314159265\) 这个九位数除以 \(13\) 的余数是多少？
- 若五位数 \(\overline{67x1y}\) 能被 \(7\) 和 \(11\) 整除，求 \(x+y\) 的最大值。
- 判断 \(111111\)（六个1）是否能被 \(13\) 整除？
- 求最小的正整数，使得它是 \(7\)、\(11\)、\(13\) 的倍数，且各位数字之和为 \(15\)。
- 有一个数，用它去除 \(455\)、\(546\) 和 \(728\) 都得到相同的余数，这个数最大是多少？
- 计算 \(7 \times 11 \times 13 \times 37\) 的结果，并观察其与 \(111111\)（六个1）的关系。
第三关：生活应用（5道）
- （AI数据集）阿星在整理一个图片数据集，总数为 \(N = 864192\) 张。他想将数据集均匀地分配到 \(7\) 个、\(11\) 个或 \(13\) 个不同的训练任务中，请问能否做到不分割任何图片？分别判断。
- （航天编码）某个卫星发射指令的校验码是一个六位数 \(\overline{1a34b6}\)。已知该校验码能同时被 \(7\) 和 \(13\) 整除，以确保指令传输的准确性。求 \(a+b\) 的值。
- （网购优惠）一个商品的原价是 \(\overline{x95y}\) 元，活动期间，如果价格能同时被 \(11\) 和 \(13\) 整除，则享受“学霸专属折扣”。已知 \(x\) 和 \(y\) 都是 \(0-9\) 的数字，求最低的可能价格是多少元？
- （密码学）一种简单的加密方式是将明文的每个数字乘以 \(7\)、\(11\)、\(13\) 的某个公倍数后再传输。已知密文片段是 \(3003\)，它对应的可能的最小正整数明文是多少？（假设明文是整数）
- （周期规律）实验室的智能灯每 \(7\) 分钟、\(11\) 分钟、\(13\) 分钟会自动亮灯检查一次。如果它们在今天中午 \(12:00\) 同时亮起，下一次同时亮起是在多少分钟后？这体现了这三个数的什么数学关系？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：整除特征：7, 11, 13 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难在两点。第一，7、11、13的整除特征不像2、5、3、9那样有直接的数字规律，它需要一个操作（割尾相减），属于“间接判断法”，思维步骤多了一层。第二，容易与11的“奇偶位差法”混淆。“割尾法”是通用方法（适用于7,11,13），而“奇偶位差法”是11独有的快速法。核心混淆点在于，割尾法用的是“前 \(n-3\) 位”减“末三位”，而奇偶位差法是用“奇数位和”减“偶数位和”。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：帮助巨大，它是数论和代数思维的绝佳启蒙。1. 理解“同余”思想：割尾法的本质是证明 \(1000 \equiv -1 \pmod{7, 11, 13}\)，所以 \(N = 1000a + b \equiv -a + b \pmod{m}\)。这为中学学习同余定理打下了直观基础。2. 建立“分解与构造”的模型：它教会我们如何通过加减一个倍数（这里是 \(1001\) 的倍数）来简化问题。这种“凑整”或“消去”思想在因式分解、化简求值中无处不在。3. 连接代数和数字：用字母 \(a, b\) 表示数字的各个部分，体现了代数表示的具体应用。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！请死记并理解这个核心模型：对于任意整数 \(N\)，将其分成“末三位” \(b\) 和“前面数” \(a\)，则 \(N\) 与 \((a - b)\) 对于模 \(7\)、模 \(11\)、模 \(13\) 同余。用数学语言写就是：
\[ N \equiv (a - b) \pmod{7}, \quad N \equiv (a - b) \pmod{11}, \quad N \equiv (a - b) \pmod{13} \]
解题时，无论题目问整除还是求余数，你只需要不断计算 \(a-b\)，直到得到一个足够小的数，然后判断这个小数是否能被整除（或它就是余数）。这就是最根本的“套路”。
答案与解析
第一关：基础热身
- 能。 \(a=518, b=518, d=0\)。
- 能。 \(a=123, b=123, d=0\)。
- 不能。 \(a=7, b=049=49, d=7-49=-42, |42| \div 11\) 不能整除。
- 能。 \(1001 \div 7 = 143\)。
- 能。 \(a=2, b=002=2, d=0\)。
- 不能。 \(a=8, b=916, d=8-916=-908\)。继续：对 \(908\)， \(a=0, b=908, d=-908\)， \(908 \div 13 = 69.846...\) 不能整除。
- 能。 \(a=63, b=063=63, d=0\)。
- 能。 \(a=5, b=005=5, d=0\)。
- 不能。 \(a=12, b=321, d=12-321=-309\)。继续：对 \(309\)， \(a=0, b=309, d=-309\)， \(309 \div 11 = 28.09...\) 不能整除。
- 能。 \(a=7, b=007=7, d=0\)。
第二关 & 第三关解析（精选）
- 奥数1： \(\overline{20ab20}\)， 则 \(a=20, b=\overline{ab20}\)。 设 \(x=\overline{ab}\)， 则 \(b=10x+20\)。 需 \(a-b = 20 - (10x+20) = -10x\) 能被 \(7\) 和 \(13\) 整除，即能被 \(91\) 整除。所以 \(10x\) 是 \(91\) 的倍数。\(91 \times 1 = 91\), \(91 \times 2=182\)... 因为 \(10x\) 是整十数且 \(x\) 是两位数，尝试得 \(91 \times 10 = 910\)， 则 \(10x=910, x=91\)。所以 \(a=9, b=1\)。
- 生活应用1： \(N=864192\)。割尾： \(a=864, b=192, d=864-192=672\)。判断\(672\)：\(7 \times 96=672\)， 故能被 \(7\) 整除；\(11 \times 61=671\)， 故不能被 \(11\) 整除；\(13 \times 51=663\), \(13 \times 52=676\)， 故不能被 \(13\) 整除。所以只能均匀分给 \(7\) 个任务。
- 生活应用5： 求 \(7, 11, 13\) 的最小公倍数。因为它们两两互质，所以最小公倍数 \(LCM = 7 \times 11 \times 13 = 1001\)。下一次同时亮起是在 \(1001\) 分钟后。这体现了它们两两互质的关系。
PDF 练习题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF