二次函数顶点最值问题全解析：从原理到中考压轴题应用专项练习题库

💡 阿星精讲：顶点最值 原理

• 核心概念：想象一下，二次函数的图像——抛物线，就像一个会表达心情的过山车。它的“心情”由二次项系数 \( a \) 决定！当 \( a > 0 \) 时，抛物线“心情开朗”，开口向上，像一个微笑的嘴巴。这时候，它的“情绪最低点”（也就是 顶点）就是整个图像的 最小值。反之，当 \( a < 0 \) 时，抛物线“心情沮丧”，开口向下，像一个撅起的嘴巴。这时候，它的“情绪最高点”（顶点）就是整个图像的 最大值。所以，顶点的纵坐标，就是抛物线的 最值！
• 计算秘籍：
  1. 写出二次函数标准形式：\( y = ax^2 + bx + c \) \( (a \neq 0) \)。
  2. 判断“心情”（开口方向）：看 \( a \) 的符号。\( a > 0 \) → 最小值；\( a < 0 \) → 最大值。
  3. 找到“情绪的极点”（顶点坐标）：
     • 横坐标（对称轴）：\( x = -\frac{b}{2a} \)
     • 纵坐标（最值）：\( y = \frac{4ac - b^2}{4a} \) （顶点式 \( y = a(x-h)^2 + k \) 中，最值就是 \( k \)）
  4. 结论：当 \( x = -\frac{b}{2a} \) 时，函数取得最值 \( y_{最值} = \frac{4ac - b^2}{4a} \)。
• 阿星口诀：二次函数抛物线，系数a定开合脸。向上笑有最低点，向下哭有最高点。顶点坐标公式见，最值立马现眼前！

📐 图形解析

让我们用图形直观地感受“心情”与“极点”的关系。下图展示了两种不同“心情”的抛物线：

对于一般式 \( y = ax^2 + bx + c \)，顶点坐标为 \( \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) \)。

左图（蓝色）是 \( a > 0 \) 的“开心”抛物线，顶点是最低点（最小值）。右图（橙色）是 \( a < 0 \) 的“沮丧”抛物线，顶点是最高点（最大值）。虚线标出了顶点的横坐标 \( x = -\frac{b}{2a} \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到求最值，不管开口方向，直接套顶点公式算出纵坐标就当答案。
  ✅ 正解：必须先判断 \( a \) 的符号！明确题目是求最大值还是最小值，和抛物线的开口方向对上了，答案才有意义。
• ❌ 错误2：把顶点横坐标公式记成 \( x = \frac{b}{2a} \) 或 \( x = -\frac{b}{a} \)。
  ✅ 正解：最强记忆法：来自对称轴公式 \( x = -\frac{b}{2a} \)。可以联想求根公式 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)，当两根关于对称轴对称时，对称轴就是它们的平均值，即 \( x = \frac{(-\frac{b}{2a})+(-\frac{b}{2a})}{2} = -\frac{b}{2a} \)（开个玩笑，但记牢 \( 2a \) 在分母很重要！）。
• ❌ 错误3：在实际问题中（如面积最大、利润最高），求出顶点横坐标后，直接把它代入求最值，忽略实际定义域（\( x \) 的取值范围）的限制。
  ✅ 正解：顶点横坐标必须在定义域内，最值才在顶点取得。如果顶点横坐标不在定义域内，那么最值将在定义域的端点处取得，需要将端点值代入函数进行比较。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求 \( y = x^2 - 6x + 10 \) 的最小值。
2. 求 \( y = -3x^2 + 12x - 7 \) 的最大值。
3. 抛物线 \( y = 4x^2 - 8x + 3 \) 的顶点坐标是？它对应的是最大值还是最小值？
4. 若二次函数 \( y = ax^2 + 4x + c \) 在 \( x = 1 \) 处取得最小值 -2，求 \( a \) 和 \( c \)。
5. 将 \( y = 2x^2 - 12x + 19 \) 化为顶点式 \( y = a(x-h)^2 + k \) 的形式，并指出其最值。
6. 判断：对于 \( y = -x^2 + 5 \)，当 \( x = 0 \) 时，y有最大值 5。 （ ）
7. 已知函数 \( y = (m-1)x^2 + 2x + 1 \) 有最大值，求 \( m \) 的取值范围。
8. 求函数 \( y = x^2 - 2x - 3 \) 在 \( x = 0 \) 和 \( x = 3 \) 时的函数值，并比较大小。
9. 一个矩形的周长为 \( 20 \) cm，设它的一边长为 \( x \) cm，面积为 \( S \) cm²。写出 \( S \) 关于 \( x \) 的函数关系式，并判断其是否有最值。
10. （配图题简答）观察下方SVG中的抛物线，判断系数 \( a \) 的符号，并估计顶点坐标（最值点）。
    

第二关：中考挑战（10道）

1. （2022·某地改编）已知二次函数 \( y = x^2 - 4x + m \) 的最小值为 \( 2 \)，则 \( m \) 的值为____。
2. 当 \( -1 \le x \le 3 \) 时，函数 \( y = x^2 - 2x + 2 \) 的最大值为____，最小值为____。
3. 用长度为 \( 8 \) 米的铝合金材料制作一个“日”字形窗框（如图，分为上下两栏），如何设计长宽使透光面积最大？
   
4. 若点 \( A(m, n) \) 在抛物线 \( y = -2x^2 + 8x - 5 \) 上，且点 \( A \) 到 x 轴的距离等于该函数的最大值，求 \( m \) 的值。
5. 已知函数 \( y = -x^2 + 2x + k \) 的图像顶点在 x 轴上，则 \( k = \) ____，此时函数的最大值为____。

第三关：生活应用（5道）

1. 投篮抛物线：篮球出手后的运动轨迹近似为抛物线 \( y = -\frac{1}{20}x^2 + \frac{9}{10}x + 2 \)（\( x \) 为水平距离，\( y \) 为高度，单位：米）。求篮球能达到的最大高度。
2. 利润最大化：某商店销售一种商品，每件成本 \( 40 \) 元。发现售价为 \( 60 \) 元时，日销 \( 100 \) 件；售价每提高 \( 1 \) 元，日销减少 \( 2 \) 件。为获得最大日利润，售价应定为多少？
3. 拱桥问题：一座抛物线形拱桥，水面跨度 \( AB = 20 \) 米，拱顶 \( O \) 离水面 \( 4 \) 米。建立如图坐标系，求该抛物线的解析式。一艘宽 \( 8 \) 米，高出水面 \( 2 \) 米（即船顶到水面距离）的货船能否安全通过？
   
4. 光线最省时：根据费马原理，光在两种介质中传播会选择耗时最短的路径。这可以转化为一个求折线段长度最小值的问题，有时可用二次函数模型解决。
5. 经济批量：在库存管理中，需要平衡订货成本和储存成本，使得总成本最低。这是一个典型的二次函数求最小值问题。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解析：\( a=1>0 \)，有最小值。顶点横坐标 \( x = -\frac{-6}{2\times1}=3 \)。最小值 \( y_{min}=3^2-6\times3+10=1 \)。
2. 解析：\( a=-3<0 \)，有最大值。顶点横坐标 \( x = -\frac{12}{2\times(-3)}=2 \)。最大值 \( y_{max}=-3\times2^2+12\times2-7=5 \)。
3. 解析：顶点横坐标 \( x = -\frac{-8}{2\times4}=1 \)，纵坐标 \( y=4\times1^2-8\times1+3=-1 \)。顶点坐标 \( (1, -1) \)。因 \( a=4>0 \)，开口向上，故顶点处为最小值。
4. 解析：“在 \( x=1 \) 处取得最小值”意味着顶点横坐标为 \( 1 \)，即 \( -\frac{4}{2a}=1 \)，解得 \( a=-2 \)。最小值为 \( -2 \)，即顶点纵坐标，代入 \( x=1, a=-2 \) 得：\( -2 = (-2)\times1^2+4\times1+c \)，解得 \( c=-4 \)。
5. 解析：\( y=2(x^2-6x)+19=2[(x-3)^2-9]+19=2(x-3)^2-18+19=2(x-3)^2+1 \)。顶点式 \( y=2(x-3)^2+1 \)，其中 \( a=2>0 \)，故有最小值 \( k=1 \)。
6. 解析：正确。\( a=-1<0 \)，开口向下，顶点在 \( x=0 \) 处，最大值为 \( 5 \)。
7. 解析：有最大值，说明抛物线开口向下，即二次项系数 \( m-1 < 0 \)，所以 \( m < 1 \)。
8. 解析：\( f(0) = -3 \)，\( f(3) = 3^2-2\times3-3=0 \)。因为 \( -3 < 0 \)，所以 \( f(0) < f(3) \)。
9. 解析：设一边长为 \( x \)，则邻边长为 \( \frac{20-2x}{2}=10-x \)。面积 \( S = x(10-x) = -x^2+10x \)。\( a=-1<0 \)，故有最大值。
10. 解析：抛物线开口向下，所以 \( a < 0 \)。顶点坐标从网格图中可估算为 \( (100, 30) \)。

第二关：中考挑战

11. 解析：最小值即为顶点纵坐标 \( \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4\times1\times m - (-4)^2}{4\times1} = \frac{4m-16}{4} = m-4 \)。令 \( m-4=2 \)，得 \( m=6 \)。
12. 解析：\( y=(x-1)^2+1 \)，\( a=1>0 \)，顶点 \( (1,1) \) 在区间内，故最小值为 \( 1 \)。最大值在离对称轴 \( x=1 \) 较远的端点 \( x=-1 \) 处取得，\( f(-1)=(-1-1)^2+1=5 \)，\( f(3)=(3-1)^2+1=5 \)，两端点值相等，故最大值也为 \( 5 \)。
13. 解析：设宽为 \( y \) 米，则长为 \( x \) 米。总用料为 \( 3y + 2x = 8 \)，得 \( y = \frac{8-2x}{3} \)。面积 \( S = x \cdot y = x \cdot \frac{8-2x}{3} = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{8}{3}x \)。\( a=-\frac{2}{3}<0 \)，有最大值。顶点横坐标 \( x = -\frac{8/3}{2\times(-2/3)} = 2 \)。此时 \( y = \frac{8-4}{3} = \frac{4}{3} \)。最大面积 \( S_{max}= 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \) 平方米。
14. 解析：函数最大值在顶点处取得。先求最大值：顶点横坐标 \( x = -\frac{8}{2\times(-2)}=2 \)，最大值 \( y_{max} = -2\times2^2+8\times2-5=3 \)。点 \( A \) 到 x 轴距离为 \( |n| \)，依题意 \( |n|=3 \)。又 \( A \) 在抛物线上，所以 \( n = -2m^2+8m-5 = \pm 3 \)。解方程 \( -2m^2+8m-5=3 \) 得 \( m=2 \)（重根）；解 \( -2m^2+8m-5=-3 \) 得 \( m=2\pm\sqrt{3} \)。故 \( m \) 的值为 \( 2 \) 或 \( 2+\sqrt{3} \) 或 \( 2-\sqrt{3} \)。
15. 解析：顶点在 x 轴上，意味着函数与 x 轴只有一个交点，即判别式 \( \Delta = 0 \)。\( \Delta = 2^2 - 4\times(-1)\times k = 4+4k=0 \)，解得 \( k=-1 \)。此时函数化为 \( y = -(x-1)^2 \)，最大值为 \( 0 \)。

第三关：生活应用

16. 解析：最大高度即抛物线顶点的纵坐标。\( a=-\frac{1}{20}<0 \)。顶点横坐标 \( x = -\frac{9/10}{2\times(-1/20)} = 9 \)。最大高度 \( y_{max} = -\frac{1}{20}\times9^2 + \frac{9}{10}\times9 + 2 = -4.05 + 8.1 + 2 = 6.05 \) 米。
17. 解析：设售价提高 \( x \) 元，则售价为 \( (60+x) \) 元，销量为 \( (100-2x) \) 件。单件利润为 \( (60+x-40) = (20+x) \) 元。总利润 \( L = (20+x)(100-2x) = -2x^2 + 60x + 2000 \)。\( a=-2<0 \)，有最大值。顶点横坐标 \( x = -\frac{60}{2\times(-2)} = 15 \)。故最佳售价为 \( 60+15=75 \) 元。
18. 解析：以拱顶为原点，铅直方向为 y 轴建立坐标系（如图）。设抛物线解析式为 \( y = ax^2 \)。由题意，点 \( B(10, -4) \) 在抛物线上，代入得 \( -4 = a\times10^2 \)，解得 \( a = -\frac{1}{25} \)，故解析式为 \( y = -\frac{1}{25}x^2 \)。货船宽 \( 8 \) 米，即 \( |x| = 4 \) 时，拱桥的高度为 \( y = -\frac{1}{25}\times4^2 = -\frac{16}{25} = -0.64 \) 米（负号表示在水面下方）。拱顶到此时拱桥内壁的垂直距离为 \( 4 - 0.64 = 3.36 \) 米。船高（船顶到水面的距离）为 \( 2 \) 米，\( 2 < 3.36 \)，所以货船能安全通过。

（注：第18、19题为开放性思路引导题，旨在拓宽视野，此处不提供标准数值答案。）