二次函数顶点式深度解析：从原理到最值问题应用专项练习题库

💡 阿星精讲：顶点式 原理

• 核心概念：阿星带着他的“定点神器”闪亮登场！想象一下，二次函数的图像是一条“抛物线”山路。普通式 \(y=ax²+bx+c\) 就像只给你山路的地形图，你需要计算才能找到山顶或山谷（顶点）。而顶点式 \(y=a(x-h)²+k\) 则像高德地图，直接给你精准的坐标：“目的地（顶点）在 \((h, k)\)，请直接前往！” 这个形式就是为了让你一眼锁定抛物线的最高点（a<0时）或最低点（a>0时），是解决最值问题的首选神器。
• 计算秘籍：如何将一般式 \(y=ax²+bx+c\) 变形为顶点式？核心是配方法：
  1. 提：提取二次项系数 \(a\)： \(y=a(x²+\frac{b}{a}x) + c\)。
  2. 配：括号内配方，加上一次项系数一半的平方，再减去它： \(y=a[x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})² - (\frac{b}{2a})²] + c\)。
  3. 化：将配方部分写成完全平方，常数项合并： \(y=a[(x+\frac{b}{2a})² - \frac{b²}{4a²}] + c = a(x+\frac{b}{2a})² + (c-\frac{b²}{4a})\)。
  4. 定：得到顶点式 \(y=a(x-h)²+k\)，其中顶点坐标 \((h, k)=(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b²}{4a})\)。
• 阿星口诀：“顶点坐标看括号，h,k符号要记牢。a定开口最值现，配方化简是法宝。”

📐 图形解析

顶点 \((h, k)\) 是抛物线 \(y=a(x-h)²+k\) 的“指挥中心”。参数 \(a\) 决定了抛物线的“胖瘦”和开口方向，而 \((h, k)\) 则决定了它在坐标平面上的精确位置。

从图中可以直观看到：无论开口向上（绿色虚线，\(a>0\)）还是向下（蓝色实线，\(a<0\)），顶点 \((h, k)\) 都是抛物线的“转折点”，也是函数取得最大值（a<0时）或最小值（a>0时）的点。对称轴是穿过顶点的竖直线 \(x = h\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到 \(y=2(x-3)²+5\)，认为顶点是 \((-3,5)\)。
  ✅ 正解：顶点式的标准形式是 \(y=a(x-h)²+k\)。括号内是 \((x-h)\)，所以 \(h\) 是减号后面的数。本题中 \(x-3\) 意味着 \(h=3\)，顶点是 \((3, 5)\)。口诀：“见减号，h为正；见加号，h为负”。例如 \(y=(x+2)²\) 实际上是 \(y=(x-(-2))²\)，顶点是 \((-2,0)\)。
• ❌ 错误2：已知顶点式 \(y=a(x-1)²-4\)，且抛物线过点(3,0)，代入时写错： \(0=a(3-1)²-4 \rightarrow 0=4a-4\)。
  ✅ 正解：代入点的坐标时，x和y要同时、对应替换。正解为：将 \(x=3, y=0\) 代入： \(0=a(3-1)^2-4\)，得到 \(0=4a-4\)，解得 \(a=1\)。心算时务必明确：代入的是有序数对 \((x, y)\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 直接写出 \(y=(x-5)²+2\) 的顶点坐标、对称轴和最小值。
2. 直接写出 \(y=-3(x+4)²-1\) 的顶点坐标、对称轴和最大值。
3. 将 \(y=x²+6x\) 化为顶点式。
4. 将 \(y=x²-8x+10\) 化为顶点式。
5. 将 \(y=2x²-12x+19\) 化为顶点式。
6. 已知抛物线顶点为 \((1, -2)\)，且过点 \((2, 0)\)，求其解析式。
7. 抛物线 \(y=2(x-3)²+1\) 是由 \(y=2x²\) 如何平移得到的？
8. 求函数 \(y=-x²+2x+3\) 的最大值。
9. 一个二次函数图像顶点在原点，且过点 \((2, -8)\)，求它的解析式。
10. 判断：函数 \(y=(x-1)²+2\) 的图像一定不经过第四象限。

第二关：中考挑战（10道）

1. （变换综合）将抛物线 \(y=2x²-4x+5\) 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求新抛物线的顶点式。
2. （含参最值）当 \(x=m\) 时，二次函数 \(y=x²-4x+3\) 有最小值 \(-1\)，求 \(m\) 的值。
3. （几何综合）已知二次函数 \(y=-x²+2x+3\) 的图像与x轴交于A、B两点（A在左），顶点为C，求 \(\triangle ABC\) 的面积。
4. （最值应用）用20米长的篱笆围一个一面靠墙的矩形菜园，如何设计长和宽才能使面积最大？最大面积是多少？
5. （图像判断）已知二次函数 \(y=a(x-h)²+k\) 的图像如图所示，判断 \(a, h, k\) 的符号。
6. （比较大小）点 \(A(-2, y_1), B(1, y_2), C(3, y_3)\) 都在抛物线 \(y=-(x-2)²+5\) 上，比较 \(y_1, y_2, y_3\) 的大小。
7. （代数推理）证明：对于任意实数 \(x\)，代数式 \(2x²-8x+15\) 的值总是正数。
8. （实际应用）某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每天可卖100件。调查发现，售价每降低1元，每天可多卖10件。为了每天获得最大利润，售价应定为多少？
9. （综合）若二次函数 \(y=x²+bx+c\) 的顶点在直线 \(y=-2x+1\) 上，且最小值为 \(-3\)，求 \(b, c\) 的值。
10. （与方程结合）若关于 \(x\) 的方程 \(x²-6x+m=0\) 的两根都在区间 \((2, 5)\) 内，求 \(m\) 的取值范围。

第三关：生活应用（5道）

1. （篮球轨迹）小明投篮时，篮球运动的路线近似抛物线 \(y=-\frac{1}{20}x²+\frac{9}{10}x+2\)（单位：米）。求篮球能达到的最大高度。
2. （拱门设计）一个公园的抛物线形拱门，高5米，宽4米。现需在拱门内安装一个矩形灯箱，要求灯箱的顶部紧贴拱门。问灯箱高度为3米时，其最大宽度是多少米？
3. （利润优化）一家工厂生产某种产品，总成本 \(C\)（元）与产量 \(x\)（件）的关系为 \(C=1000+20x\)，销售收入 \(R\)（元）与 \(x\) 的关系为 \(R=50x-\frac{1}{2}x²\)。求利润最大时的产量和最大利润。
4. （桥梁工程）如图，一座悬索桥的主索呈抛物线形。两座塔桥间距1000米，主索在塔顶的固定点比桥面高200米，主索最低点比桥面高50米。请建立坐标系，求主索抛物线的近似解析式。
5. （安全区域）某烟花燃放时，爆炸后碎屑的飞溅区域满足关系 \(y \ge -\frac{1}{40}x²+10\)（单位：米，以爆炸点为原点）。为确保安全，观众需要站在离爆炸点多远以外的区域？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 解析（部分）：

1. 顶点 \((5, 2)\)，对称轴 \(x=5\)，最小值 \(2\)。
2. 顶点 \((-4, -1)\)，对称轴 \(x=-4\)，最大值 \(-1\)。
3. \(y=(x+3)²-9\)。
4. \(y=(x-4)²-6\)。
5. \(y=2(x-3)²+1\)。
6. 设 \(y=a(x-1)²-2\)，代入 \((2,0)\) 得 \(a=2\)，解析式为 \(y=2(x-1)²-2\)。
7. 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位。
8. 配方得 \(y=-(x-1)²+4\)，最大值为 \(4\)。
9. 顶点在原点，设 \(y=ax²\)，代入 \((2,-8)\) 得 \(a=-2\)，解析式为 \(y=-2x²\)。
10. 正确。顶点 \((1,2)\) 在第一象限，且 \(a>0\) 开口向上，图像必不经过第四象限。

第二关 解析（部分）：

1. 原式顶点为 \((1,3)\)，平移后顶点为 \((4,1)\)，新顶点式为 \(y=2(x-4)²+1\)。
2. 配方得 \(y=(x-2)²-1\)，故当 \(m=2\) 时有最小值 \(-1\)。
3. 求出A(-1,0), B(3,0), C(1,4)。底AB=4，高为C的纵坐标4，面积 \(S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8\)。
4. 设垂直于墙的边长为 \(x\) 米，则平行于墙的边长为 \((20-2x)\) 米，面积 \(S=x(20-2x)=-2x²+20x\)。配方得 \(S=-2(x-5)²+50\)。当 \(x=5\) 米时，面积最大为 \(50\) 平方米。

（为控制篇幅，其余详细解析略）