二次函数顶点法求解析式：已知顶点坐标解题技巧深度解析专项练习题库

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：已知顶点\( (2, 3) \)，设成 \( y = a(x+2)^2 + 3 \)。 → ✅ 正解：顶点式是 \( y = a(x - h)^2 + k \)。所以\(h=2\)应代入为“减2”：\( y = a(x - 2)^2 + 3 \)。符号要看准！
• ❌ 错误2：题目说“对称轴是直线 \( x = -1 \)”，却设顶点横坐标\( h = 1 \)。 → ✅ 正解：顶点一定在对称轴上，所以对称轴方程 \( x = h \) 直接给出了\(h\)的值。本题中 \( h = -1 \)。
• ❌ 错误3：求出 \( a \) 后，忘记把解析式整理成最终形式（一般式或指定形式）。 → ✅ 正解：最后一步务必把求得的 \( a, h, k \) 完整写回 \( y = a(x-h)^2 + k \)，并检查是否满足题目要求（如化简）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 顶点\( (0, 0) \)，过点\( (1, 3) \)，求解析式。
2. 顶点\( (-1, 4) \)，过点\( (0, 2) \)，求解析式。
3. 顶点在原点，开口向下，且过点\( (2, -8) \)，求解析式。
4. 对称轴为y轴，顶点为\( (0, 5) \)，过点\( (2, 1) \)，求解析式。
5. 已知抛物线 \( y = 2(x-3)^2 + 1 \) 的顶点为 \(P\)，则点 \(P\) 的坐标是______。
6. 将 \( y = -3(x+4)^2 - 5 \) 化为一般式。
7. 若 \( y = a(x-1)^2 + 2 \) 过点\( (3, 10) \)，求 \( a \) 的值。
8. 抛物线顶点在\( (2, -3) \)，且形状与 \( y = \frac{1}{2}x^2 \) 相同，求其顶点式。
9. 写出一个顶点在\( (-2, 0) \)的抛物线的顶点式（\(a\)自定）。
10. 抛物线 \( y = (x-h)^2 + k \) 的顶点在x轴上，说明 \( k = \) ______。

第二关：中考挑战（10道）

1. 已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的顶点坐标为\( (1, 4) \)，且当 \( x = 2 \) 时，\( y = 3 \)，求 \( a, b, c \) 的值。
2. 抛物线 \( y = x^2 + bx + c \) 的顶点在直线 \( y = -x + 3 \) 上，且过点\( (1, 1) \)，求其解析式。
3. 已知抛物线顶点为\( (m, m) \)，且经过点\( (2, 0) \)，求 \( m \) 的值及解析式。
4. 已知一抛物线与x轴交于\( (-1, 0) \) 和 \( (3, 0) \)，求其对称轴方程和顶点纵坐标（用含字母的式子表示）。
5. 二次函数 \( y = 2x^2 \) 的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求所得新图象的解析式（用顶点式表示）。
6. 若抛物线 \( y = x^2 - 2x + m \) 的顶点在x轴上，求 \( m \) 的值。
7. 已知二次函数图象的对称轴是 \( x = 1 \)，最小值为-4，且图象在x轴上截得的线段长为4，求该函数解析式。
8. 抛物线 \( y = ax^2 + bx + c (a>0) \) 的顶点在 \( x \) 轴下方，且与 \( x \) 轴有两个交点，则 \( b^2 - 4ac \) ______ 0。（填>, =, <）
9. 已知点 \( A(2, y_1) \)，\( B(-1, y_2) \) 在抛物线 \( y = -(x+1)^2 + 5 \) 上，比较 \( y_1 \) 和 \( y_2 \) 的大小。
10. 某抛物线形状与 \( y = -2x^2 \) 相同，顶点是\( (3, -1) \)，求它与y轴的交点坐标。

第三关：生活应用（5道）

1. （拱桥问题）一座抛物线型拱桥，桥拱最高点离水面2米，水面宽度为4米。以桥拱最高点为原点建立直角坐标系，求该抛物线的解析式。
2. （投篮轨迹）小明投篮时，篮球运动的路线近似为抛物线。已知篮球出手点离地面高2米，篮球到达的最高点离地面4米，离出手点的水平距离为3米。以出手点为坐标原点，水平方向为x轴，建立坐标系，求篮球运动轨迹的近似解析式（顶点式）。
3. （利润最大）某商店销售一种商品，每件成本50元。经市场调查发现，售价每提高1元，销量减少2件。当售价定为多少元时，每天的总利润最大？请先建立二次函数模型（设售价为x元，总利润为y元）。
4. （喷泉路径）一个喷泉喷出的水柱呈抛物线形。测量得水柱最高处离地面1.5米，落地点离喷头水平距离为2米。以喷头在地面的垂足为原点，求水柱路径的解析式。
5. （窗户设计）一扇窗户的上部是半圆形，下部是矩形。如果窗户的周长固定为6米，要使窗户透光面积最大，矩形的宽和高应是多少？（提示：建立面积关于矩形宽度的二次函数）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( y = 3x^2 \)
2. 设 \( y = a(x+1)^2+4 \)，代入\((0,2)\)得 \(2=a+4\), \(a=-2\)， ∴ \( y=-2(x+1)^2+4 \)
3. 设 \( y = ax^2 \)，代入\((2,-8)\)得 \(-8=4a\), \(a=-2\)， ∴ \( y=-2x^2 \)
4. 对称轴为y轴即 \(h=0\)，设 \( y = ax^2+5 \)，代入\((2,1)\)得 \(1=4a+5\), \(a=-1\)， ∴ \( y=-x^2+5 \)
5. \( (3, 1) \)
6. \( y = -3x^2 - 24x - 53 \)
7. 代入得 \(10=a(3-1)^2+2\)， \(10=4a+2\)， \(a=2\)
8. 形状相同即 \(a=\frac{1}{2}\)， ∴ \( y=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 3 \)
9. 示例：\( y = (x+2)^2 \)
10. \( k = 0 \)

第二关：中考挑战（部分关键解析）

1. 用顶点法：设 \( y = a(x-1)^2+4 \)，代入 \((2,3)\)：\(3=a(2-1)^2+4\) → \(a=-1\)。 ∴ 解析式为 \( y = -(x-1)^2+4 = -x^2+2x+3 \)。故 \(a=-1, b=2, c=3\)。
2. 由顶点在 \(y=-x+3\)上，设顶点为\((h, -h+3)\)，则解析式为 \(y=(x-h)^2 - h + 3\)。代入\((1,1)\)：\(1=(1-h)^2-h+3\)，解得 \(h=2\) 或 \(h=-1\)。再分别求出解析式。
3. 设 \(y=(x-m)^2+m\)，代入\((2,0)\)：\(0=(2-m)^2+m\)，解得 \(m=1\) 或 \(m=4\)。对应解析式为 \(y=(x-1)^2+1\) 或 \(y=(x-4)^2+4\)。
4. 与x轴交点关于对称轴对称，∴对称轴 \(x=(-1+3)/2=1\)。设顶点式 \(y=a(x-1)^2+k\)，则顶点纵坐标为 \(k\)。
5. 平移后顶点为\((3,1)\)，∴ \(y=2(x-3)^2+1\)。

第三关：生活应用（部分关键解析）

1. 以最高点为原点，则顶点为\((0,0)\)，抛物线开口向下。设 \(y=ax^2\)。水面宽4米，即当 \(x= \pm 2\) 时，\(y=-2\)（低于原点2米）。代入\((2, -2)\)：\(-2=a\times4\)， \(a=-\frac{1}{2}\)。 ∴ \(y=-\frac{1}{2}x^2\)。
2. 依题意，顶点为\((3, 4-2)=(3, 2)\)。（注意坐标系原点在出手点）设 \(y=a(x-3)^2+2\)。代入原点\((0,0)\)：\(0=9a+2\)， \(a=-\frac{2}{9}\)。 ∴ \(y=-\frac{2}{9}(x-3)^2+2\)。