点与圆的位置关系判断：距离d与半径r比较法深度解析与训练专项练习题库

💡 阿星精讲：点与圆的位置 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！让我们把圆想象成一个家，圆心就是“家长”。判断一个点在哪里，就看成是测量这个“人”离“家长”有多远。这个距离，我们用 \( d \) 表示。而圆的半径 \( r \) ，就是这个“家”的势力范围。所以，判断位置关系的秘诀就是：距离说话！
  • 如果 \( d > r \)，说明这个人跑得太远了，超出了家的范围，所以他在圆外。
  • 如果 \( d = r \)，说明这个人刚好站在家的边界线上，他在圆上。
  • 如果 \( d < r \)，说明这个人乖乖待在家里，他在圆内（也叫圆内）。

  看，是不是超级简单？一切让距离 \( d \) 和半径 \( r \) 来说话！

• 计算秘籍：如何算出这个关键的距离 \( d \) 呢？假设圆心 \( O \) 的坐标是 \( (x_0, y_0) \)，点 \( P \) 的坐标是 \( (x_1, y_1) \)。
  1. 应用两点间距离公式： \( d = |OP| = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} \)
  2. 知道圆的半径 \( r \)（如果给的是圆的标准方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，那么圆心是 \((a, b)\)，半径是 \( r \)）。
  3. 比较 \( d \) 和 \( r \) 的大小，根据“距离说话”原则得出结论。
• 阿星口诀：距离圆心来比大小，大于在外等于上，小于乖乖圈里藏。

📐 图形解析

下面这个图清晰地展示了三种位置关系。点 \( P_1 \)、\( P_2 \)、\( P_3 \) 到圆心 \( O \) 的距离分别为 \( d_1, d_2, d_3 \)，与半径 \( r \) 比较，一目了然。

关系公式总结：设点到圆心距离为 \( d \)，圆半径为 \( r \)。

• 点在圆外 \( \Leftrightarrow d > r \)
• 点在圆上 \( \Leftrightarrow d = r \)
• 点在圆内 \( \Leftrightarrow d < r \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：比较距离时，忘记开方，直接比较 \( (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 \) 和 \( r \) 的大小。
  ✅ 正解：距离公式是带根号的 \( d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} \)，必须比较 \( d \) 和 \( r \)。或者，更聪明的做法是比较平方：比较 \( (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 \) 和 \( r^2 \) 的大小，结论一致且省去开方。
• ❌ 错误2：已知圆的标准方程为 \( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 25 \)，判断点(5, 3)的位置时，错误计算横纵坐标差为 (5-2=3) 和 (3-1=2)。
  ✅ 正解：要格外注意坐标符号！点(5,3)，圆心(2, -1)。纵坐标差应为 \( 3 - (-1) = 4 \)，而不是 \( 3-1 \)。正确计算：\( (5-2)^2 + (3-(-1))^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \)，等于 \( r^2=25 \)，故点在圆上。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知圆 \( C: (x-1)^2 + y^2 = 16 \)，判断点A(1,4), B(5,0), C(-3,0)与圆C的位置关系。
2. 圆心在(0,0)，半径为4。点P(2, √12)在圆内、圆上还是圆外？
3. 若点M(m, 2)在圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 的内部，求m的取值范围。
4. 一个圆的圆心是(-1, 1)，且经过点(2, 1)。请问点(0, 0)在圆内吗？
5. 计算点(3, -4)到圆心为原点、半径为5的圆的“距离关系”（即求d并与r比较）。
6. 已知圆N的圆心为(2, -3)，点P(5, 1)到圆心N的距离等于6。请问点P在圆N上吗？半径是多少？
7. 点A(0,3)和B(4,0)都在以原点为圆心的同一个圆上吗？为什么？
8. 若点K到圆心O的距离恰好等于圆的直径，则点K在______。
9. 判断题：若点P在圆O内，则OP的长度一定小于圆的半径。（ ）
10. 根据描述画图：画一个半径为3cm的圆，标出圆心O。在圆内、圆上、圆外各标记一个点，并分别命名为P、Q、R。

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）在坐标系中，点A(2,0)，圆A的半径为3。直线 \( y = kx + 2 \) 与圆A相离，求k的取值范围。（提示：圆心到直线距离 \( d > r \) ）
2. 若点P(a, b)在圆 \( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 \) 的外部，则下列不等式一定成立的是（ ）
   • A. \( a^2 + b^2 > 9 \)
   • B. \( (a-2)^2 + (b+1)^2 > 9 \)
   • C. \( a+b > 0 \)
   • D. \( a > 2 \)
3. 已知圆O的半径为5，弦AB的长为8，求圆心O到弦AB的距离。
4. （动点问题）点P是直线 \( y = 2x + 1 \) 上的动点，圆C的方程为 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \)。求点P到圆心C的距离的最小值，并判断此时点P与圆C的位置关系。
5. 已知圆 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 与直线 \( y = \frac{3}{4}x + 5 \) 相切，求半径r的值。

第三关：生活应用（5道）

1. （航海）一艘船位于灯塔（视为圆心）正东方向10海里的A点。灯塔的预警半径为12海里。如果船以每小时8海里的速度向北偏西30°方向航行，1小时后船是否进入灯塔的预警范围？
2. （无人机）无人机在坐标平面内飞行，其安全飞行区域是一个以(0,0)为圆心、半径为100米的圆形。无人机当前在点(60, 80)。它距离安全区域的边界还有多远？

（建筑规划）一个圆形广场的圆心设在(0,0)，计划在点(40,30)处修建一个雕塑。如果广场的设计半径是50米，这个雕塑是在广场内部、边缘还是外部？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 【解析】圆C：圆心O(1,0)， \( r^2=16, r=4 \)。
   • 点A(1,4): \( d^2 = (1-1)^2+(4-0)^2=0+16=16 = r^2 \) ∴在圆上。
   • 点B(5,0): \( d^2 = (5-1)^2+(0-0)^2=16+0=16 = r^2 \) ∴在圆上。
   • 点C(-3,0): \( d^2 = (-3-1)^2+(0-0)^2=16+0=16 = r^2 \) ∴在圆上。
2. 【解析】\( d^2 = 2^2 + (√12)^2 = 4+12=16 \), \( r^2=16 \). \( d^2 = r^2 \)， ∴在圆上。
3. 【解析】点在圆内，则 \( d^2 < r^2 \)。即 \( m^2 + 2^2 < 25 \) ⇒ \( m^2 < 21 \) ⇒ \( -\sqrt{21} < m < \sqrt{21} \)。
4. 【解析】先求半径：r = 点(2,1)到圆心(-1,1)距离 = \( |2-(-1)| = 3 \)。再求点(0,0)到圆心距离：\( d = \sqrt{(0+1)^2+(0-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1.414 \)。∵ \( d < r \)，∴点在圆内。
5. 【解析】\( d = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16}=5 \)，\( r=5 \)。∴ \( d = r \)，点在圆上。
6. 【解析】已知 \( d = |PN| = 6 \)。若点P在圆上，则半径 \( r = d = 6 \)。题目只说距离等于6，未说明是半径，所以如果圆N的半径正好是6，则P在圆上；否则不一定。根据现有信息，可推断半径 \( r = 6 \)，点P在圆上。
7. 【解析】计算两点到原点距离：\( d_A = \sqrt{0^2+3^2}=3 \), \( d_B = \sqrt{4^2+0^2}=4 \)。\( d_A ≠ d_B \)，所以它们不在以原点为圆心的同一个圆上。
8. 【解析】圆外（因为 \( d = 2r > r \)）。
9. 【解析】√（正确）。根据定义。
10. 【解析】（略，作图题）

第二关：中考挑战（精选解析）

1. 【解析】圆心A(2,0)到直线 \( kx - y + 2 = 0 \) 的距离 \( d = \frac{|k\cdot2 -0 +2|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}} = \frac{|2k+2|}{\sqrt{k^2+1}} \)。相离要求 \( d > r = 3 \)，即 \( \frac{|2k+2|}{\sqrt{k^2+1}} > 3 \)。两边平方解得 \( k < -\frac{5}{12} \)。
2. 【解析】选B。点在圆外，等价于点到圆心距离平方大于半径平方，即 \( (a-2)^2+(b+1)^2 > 9 \)。
3. 【解析】画图，弦AB中点为M，连接OA、OM。则 \( OM \perp AB \)。在Rt△OMA中，\( OA=r=5 \), \( AM=AB/2=4 \)，由勾股定理， \( OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{25-16} = 3 \)。∴圆心到弦距离为3。

第三关：生活应用（精选解析）

1. 【解析】设灯塔为原点O(0,0)。1小时后，船从A(10,0)沿北偏西30°（即与正东夹角120°）航行8海里到达P点。P点坐标：\( x = 10 + 8 \cos 120^\circ = 10 - 4 = 6 \), \( y = 0 + 8 \sin 120^\circ = 4\sqrt{3} \approx 6.928 \)。距离 \( d = \sqrt{6^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{36+48} = \sqrt{84} \approx 9.17 \)（海里）。∵ \( d \approx 9.17 < 12 \)，∴船在预警范围内（圆内）。
2. 【解析】无人机在点(60,80)，到圆心距离 \( d = \sqrt{60^2+80^2} = \sqrt{3600+6400}= \sqrt{10000}=100 \) 米。因为 \( d = r = 100 \)，所以无人机刚好在安全区域边界上，距离边界0米。
3. 【解析】雕塑点(40,30)到圆心(0,0)距离 \( d = \sqrt{40^2+30^2} = \sqrt{1600+900}= \sqrt{2500}=50 \) 米。半径 \( r = 50 \) 米。∵ \( d = r \)，∴雕塑在广场边缘（圆上）。