点与圆的位置关系判断方法、经典例题及易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：点与圆 原理

• 核心概念：嘿，朋友！让我们把圆想象成一个圆心为 \( O \) 的“地盘”，它的地盘范围半径是 \( r \)。这时，平面上的任意一个点 \( P \) 就像是一个“路人”，它和圆心 \( O \) 之间有一段距离 \( d \)。它们的关系，就由这段距离 \( d \) 和地盘半径 \( r \) 的“权力对比”来决定！阿星口诀：“距离 d 大，在门外遥望；距离 d 等，踩线上张望；距离 d 小，到家里闲逛。” 翻译成数学语言就是：
  • 当 \( d > r \)：点 \( P \) 在圆 \( O \) 的“地盘”之外。
  • 当 \( d = r \)：点 \( P \) 正好踩在圆 \( O \) 的“地盘”边界线（圆周）上。
  • 当 \( d < r \)：点 \( P \) 已经进入了圆 \( O \) 的“地盘”内部。
• 计算秘籍：
  1. 已知两点求距离 \( d \)：若圆心坐标为 \( O(x_0, y_0) \)，点 \( P \) 坐标为 \( (x_1, y_1) \)，则根据两点间距离公式： \( d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} \) 。
  2. 比较 \( d \) 与 \( r \)：计算出 \( d \) 后，直接与圆的半径 \( r \) 进行比较。
  3. 判断位置：根据“d大外，d等上，d小内”的原则得出结论。注意，有时比较 \( d^2 \) 和 \( r^2 \) 可以避免开方运算，更简便。

📐 图形解析

点 \( P \) 与圆 \( O \) 的三种位置关系可视化。注意：\( d = |OP| \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只凭感觉看图判断位置，不计算距离 \( d \)。
  ✅ 正解：对于坐标题，必须严格计算 \( d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} \) 再比较。视觉可能有欺骗性！
• ❌ 错误2：将点到圆心的距离 \( d \) 和点到圆上某一点的距离混淆。
  ✅ 正解：核心永远是“点到圆心”的距离 \( d \) 与半径 \( r \) 的比较。记住口诀：“比的是到中心O的距离，不是到边上任何点的距离”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知 \( \odot O \) 半径为 \( 3 \, \text{cm} \)，若点 \( P \) 到圆心 \( O \) 的距离为 \( 5 \, \text{cm} \)，则点 \( P \) 在圆 ______。
2. 已知圆半径为 \( 4 \)，点 \( A \) 到圆心的距离为 \( 4 \)，则点 \( A \) 在圆 ______。
3. 已知 \( \odot O \) 直径为 \( 10 \)，点 \( P \) 在圆内，则 \( OP \) 的长可能为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 在数轴上，\( \odot A \) 以点 \( A(2) \) 为圆心，半径为 \( 3 \)，则点 \( B(5) \) 与 \( \odot A \) 的位置关系是 ______。
5. 若点 \( P \) 到 \( \odot O \) 上所有点的最小距离是 \( 1 \)，最大距离是 \( 7 \)，则 \( \odot O \) 的半径是 ______。
6. （简图题）画一个半径为 \( 3 \, \text{cm} \) 的圆，再画出分别满足在圆内、圆上、圆外的三个点。
7. 已知 \( \odot O \) 的半径为 \( r \)，点 \( P \) 到圆心 \( O \) 的距离为 \( d \)。若 \( d = r \)，则点 \( P \) 在 ______；若 \( d < r \)，则点 \( P \) 在 ______。
8. 点 \( P \) 到 \( \odot O \) 的最近距离为 \( 6 \)，最远距离为 \( 10 \)，则 \( \odot O \) 的直径为 ______。
9. 判断：平面上任意一点与圆的位置关系只有三种。（ ）
10. 圆心为 \( O \)，点 \( A \) 在圆外，点 \( B \) 在圆内，则 \( OA \) ______ \( OB \) (填 >, =, <)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 在平面直角坐标系中，以点 \( (3, -4) \) 为圆心，\( 4 \) 为半径的圆，必定经过点 ( )
   A. \( (-1, -4) \) B. \( (1, 4) \) C. \( (3, 0) \) D. \( (7, -4) \)
2. 已知点 \( P \) 到 \( \odot O \) 上的点的最大距离为 \( a \)，最小距离为 \( b \) (\( a > b \))，则 \( \odot O \) 的半径为 ______。
3. 在直角坐标系中，点 \( A \) 的坐标为 \( (2, 0) \)，\( \odot A \) 的半径为 \( 3 \)，若点 \( P \) 在 \( \odot A \) 内，则点 \( P \) 的横坐标 \( x \) 的取值范围是 ______。
4. 已知矩形 \( ABCD \) 的边 \( AB=6 \)，\( AD=8 \)。如果以点 \( A \) 为圆心作 \( \odot A \)，使 \( B, C, D \) 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，那么 \( \odot A \) 的半径 \( r \) 的取值范围是 ______。
5. 如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=4 \)，\( AD=3 \)。以顶点 \( A \) 为圆心作半径为 \( r \) 的圆，若点 \( B, D, C \) 中只有一点在圆外，则 \( r \) 的取值范围是 ______。（需配简图）
6. 已知点 \( P \) 到 \( \odot O \) 的最长距离为 \( 10 \, \text{cm} \)，最短距离为 \( 4 \, \text{cm} \)，则 \( \odot O \) 的半径为 ______ \( \text{cm} \)。
7. 在平面直角坐标系中，若点 \( P(a, 0) \) 在以 \( M(2, 0) \) 为圆心、\( 3 \) 为半径的圆内，则 \( a \) 的取值范围是 ______。
8. 已知 \( \odot O \) 的半径为 \( 1 \)，点 \( P \) 到圆心 \( O \) 的距离为 \( d \)，且关于 \( x \) 的方程 \( x^2 - 2x + d = 0 \) 有实数根，则点 \( P \) 在 ______。
9. 点 \( P \) 是 \( \odot O \) 所在平面内一点，若 \( \odot O \) 的面积为 \( 25\pi \)，且 \( OP=7 \)，则点 \( P \) 在 ______。
10. 已知直线 \( y = x + 3 \) 上有两点 \( A, B \)，且 \( AB=4 \)。以 \( A \) 为圆心，\( 3 \) 为半径作圆，则点 \( B \) 与 \( \odot A \) 的位置关系是 ______。

第三关：生活应用（5道）

1. （信号覆盖）一个手机基站的信号覆盖范围是以基站为圆心，半径为 \( 2 \, \text{km} \) 的圆形区域。小明家位于基站正东方向 \( 1.5 \, \text{km} \)，正北方向 \( 1 \, \text{km} \) 处。请问小明家能否收到该基站的信号？请通过计算说明。
2. （台风预警）气象台预报，台风中心位于城市 \( A \) 正西方向 \( 300 \, \text{km} \) 的海面上（设为点 \( O \)），正以 \( 20 \, \text{km/h} \) 的速度向北偏东 \( 60^\circ \) 方向移动。台风的影响半径是 \( 250 \, \text{km} \)。城市 \( A \) 是否会受到台风影响？最初，城市 \( A \) 位于台风的什么位置？（圆内/上/外）
3. （公园选址）社区计划建一个圆形公园，希望公园边缘（圆周）恰好经过两栋标志性建筑 \( M \) 和 \( N \)。请问这个公园的圆心应该选在哪里？这样的圆心有多少个？
4. （安全区域）在一个半径为 \( 10 \, \text{m} \) 的圆形爆炸危险区域中心，有一个监测点。安全规范要求，监测点的工作人员必须在危险区域外工作。请问工作人员的活动区域离监测点至少多远？
5. （航海问题）一艘船在海上航行，雷达显示它位于灯塔 \( L \) 的 \( 30^\circ \) 方向，距离 \( 8 \, \text{海里} \) 处。已知灯塔周围 \( 5 \, \text{海里} \) 内有暗礁区（圆形区域）。这艘船当前是否在暗礁区内？如果它继续沿当前方向向灯塔行驶，大约航行多少海里后会进入暗礁区？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 外。因为 \( 5 > 3 \)。
2. 上。因为 \( 4 = 4 \)。
3. A。半径 \( r = 5 \)，点在圆内则 \( d < 5 \)，只有A选项4满足。
4. 点B在圆上。 \( d = |5-2| = 3 \)， \( r = 3 \)， \( d = r \)。
5. \( 3 \)。解析：分两种情况。若点P在圆外，则 \( d - r = 1 \)， \( d + r = 7 \)，解得 \( d=4, r=3 \)。若点P在圆内，则 \( r - d = 1 \)， \( r + d = 7 \)，解得 \( d=3, r=4 \)。但题干通常默认为点P在圆外或圆内的一种情况，中考常见答案为 \( 3 \)。严谨答案应为 \( 3 \) 或 \( 4 \)，但需根据图形判断。
6. （略，作图题）
7. 圆上；圆内。
8. \( 2 \)。解析：若点P在圆外，则 \( d - r = 6 \)， \( d + r = 10 \)，解得 \( r = 2 \)，直径 \( = 4 \)。若点P在圆内，则 \( r - d = 6 \)， \( r + d = 10 \)，解得 \( r = 8 \)，直径 \( = 16 \)。常见默认情况为点P在圆外，答案为 \( 4 \)。但本题只给了“直径”，故可能为 \( 4 \) 或 \( 16 \)。此处答案存疑，常考答案为 \( 4 \)。
9. √。
10. \( > \)。因为在圆外的点离圆心更远。

第二关：中考挑战

1. C。计算各点到圆心 \( (3, -4) \) 的距离是否等于4。C选项距离为 \( |0 - (-4)| = 4 \)，且在 \( x=3 \) 的竖直线上，恰在圆上。
2. \( \frac{a-b}{2} \)。（假设点P在圆外。若在圆内，则为 \( \frac{a+b}{2} \)，但a、b大小定义可能不同，通常取外模型）。
3. \( -1 < x < 5 \)。解析：点P在圆内，则 \( |AP| = \sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2} < 3 \)，即 \( (x-2)^2 + y^2 < 9 \)。由于y可取任意值使得不等式成立，但对x的限制来自 \( (x-2)^2 < 9 \)，解得 \( -1 < x < 5 \)。
4. \( 6 < r < 10 \)。解析：计算A到B、C、D的距离：\( AB=6 \)， \( AC=\sqrt{6^2+8^2}=10 \)， \( AD=8 \)。要B、C、D至少一点在圆内（即距离 < r），且至少一点在圆外（即距离 > r）。若使B在内，C在外，则需 \( 6 < r < 10 \)，此时D距离为8也在该范围，满足条件。
5. \( 4 < r < 5 \)。解析：计算 \( AB=4 \)， \( AD=3 \)， \( AC=\sqrt{4^2+3^2}=5 \)。“只有一点在圆外”意味着另两点在圆上或圆内。若B在圆外（r < AB=4），则D、C更在圆外，不满足“只有一点”。若D在圆外（r < AD=3），则B、C更在圆外。因此，只能是C在圆外，而A、B在圆内或在圆上。所以需要满足： \( AB \leq r < AC \)，即 \( 4 \leq r < 5 \)。但“只有一点在圆外”通常理解为其他点在圆内（不包含圆上），所以更精确为 \( 4 < r < 5 \)。
6. \( 3 \) 或 \( 7 \)。（同基础第5题解析）
7. \( -1 < a < 5 \)。解析：点P在圆内，则 \( |a-2| < 3 \)，解得 \( -1 < a < 5 \)。
8. 在圆上或圆内。解析：方程有实数根，则判别式 \( \Delta = 4 - 4d \geq 0 \)，解得 \( d \leq 1 \)。而半径 \( r = 1 \)，所以 \( d \leq r \)，即点在圆内或圆上。
9. 在圆外。解析：圆面积 \( S = \pi r^2 = 25\pi \)，得 \( r = 5 \)。 \( OP = 7 > 5 \)，所以点P在圆外。
10. 需要分类讨论。解析：\( AB=4 \)，\( \odot A \) 半径 \( r=3 \)。若B在A点沿直线某一侧，则 \( d=AB=4 > 3 \)，点B在圆外。若B在A点沿直线另一侧，距离依然是4，也在圆外。所以，只要A、B是直线上的不同两点且AB=4，则B一定在圆A外。但如果B是A关于某点对称的点，且距离正好等于4？结论：点B在圆A外。

第三关：生活应用

1. 解：以基站为原点 \( O(0,0) \)，则小明家坐标为 \( (1.5, 1) \)。距离 \( d = \sqrt{1.5^2 + 1^2} = \sqrt{2.25+1} = \sqrt{3.25} \approx 1.803 \, \text{km} \)。因为 \( d \approx 1.803 < 2 \) (r)，所以小明家在圆内，能收到信号。
2. 解：最初，台风中心 \( O \) 与城市 \( A \) 的距离 \( d = 300 \, \text{km} \)，影响半径 \( r = 250 \, \text{km} \)。因为 \( d = 300 > 250 = r \)，所以最初城市A在台风影响范围（圆）之外。
3. 答：公园圆心应在线段 \( MN \) 的垂直平分线上。这样的圆心有无数个（垂直平分线上的任意点都可以作为圆心，半径随之确定）。
4. 答：工作人员必须在危险区域外，即活动点 \( P \) 需满足 \( |OP| > r = 10 \)。因为监测点是圆心 \( O \)，所以工作人员离监测点至少 \( 10 \, \text{m} \) 以上。
5. 解：当前，船到灯塔的距离 \( d = 8 \) 海里，暗礁区半径 \( r = 5 \) 海里。因为 \( 8 > 5 \)，所以船当前不在暗礁区内。进入暗礁区时，船到灯塔的距离 \( d' = r = 5 \) 海里。所以需要航行的距离为 \( 8 - 5 = 3 \) (海里)。