等积变形：同底等高

知识要点

💡 核心概念

想象一下，有一个三角形，它的底边固定不动，而顶点可以像被一根橡皮筋拉着，在一条与底边平行的直线上来回滑动。无论顶点滑到哪里，这个新三角形的面积都和原来的三角形面积相等！这就是“同底等高”的秘密。因为底边长度（底）没变，顶点到这条底边的垂直距离（高）也没变，根据三角形面积公式 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \)，它们的面积自然就相等了。这种图形形状改变但面积不变的现象，就叫“等积变形”。

📝 计算法则

识别图形：在复杂图形中，找出那些拥有公共底边，且顶点在对边或对边延长线上的三角形。
寻找平行：判断这些三角形的顶点是否在一条与公共底边平行的直线上。这是确保“等高”的关键。
等积代换：一旦确认两个三角形“同底等高”，就可以直接用其中一个三角形的面积代替另一个，从而简化计算。
解决问题：通过等积代换，将未知部分的面积转化为已知图形的面积，或者将分散的面积拼凑成一个整体。

🎯 记忆口诀

同底等高面积同，平行线间变形易。顶点沿着平行跑，面积永远不变小。

🔗 知识关联

三角形面积公式：\( S = \frac{1}{2} \times a \times h \)，这是所有推理的基础。
平行线间的距离：平行线之间的垂直线段处处相等，保证了“等高”。
平行四边形、长方形面积：可以把它们看成两个同底等高的三角形拼成的。

易错点警示

❌ 错误1：认为“底边相等”的两个三角形面积就相等。

✅ 正解：必须同时满足“底相等”和“高相等”两个条件。如果高不相等，面积就不等。

❌ 错误2：在图形中找错了对应的“高”。以为顶点到对边（底边）上某个点的连线就是高。

✅ 正解：“高”必须是顶点到底边的垂直距离。在“同底等高”模型中，这个“等高”通常由“平行线”来保证。

❌ 错误3：看到两个三角形共用一个顶点，就认为它们可以利用等积变形。

✅ 正解：等积变形的核心是“同底”，即必须共用同一条底边。只共用一个顶点但底边不同，不符合条件。

三例题精讲

🔥 例题1：如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC。三角形ABC的面积是 \( 20 \text{cm}^2 \)，E是AB上任意一点。请问三角形EBC的面积是多少？

（图形示意：梯形ABCD， AD//BC，连接AC和BE，交点未标。 E在AB上。）

📌 第一步：观察三角形EBC和三角形ABC。

📌 第二步：它们拥有公共的底边BC。

📌 第三步：因为AD//BC，所以A、E两点到BC的垂直距离是相等的（平行线间距离处处相等），即两个三角形在底边BC上的高相等。

✅ 答案： \( 20 \text{cm}^2 \)

💬 总结：在梯形或平行四边形中，夹在两条平行线之间的三角形，如果底边在其中一条平行线上，顶点在另一条上，那么这些三角形都同底（公共边）等高。

🔥 例题2：如图，平行四边形ABCD的面积为 \( 48 \text{cm}^2 \)。E是AD边上任意一点。求阴影部分三角形BCE的面积。

（图形示意：平行四边形ABCD，连接CE和BE。阴影为三角形BCE。）

📌 第一步：连接AC。三角形ABC的面积是平行四边形面积的一半，即 \( 48 \div 2 = 24 (\text{cm}^2) \)。

📌 第二步：观察三角形BCE和三角形ABC。它们有公共底边BC。

📌 第三步：因为AD//BC（平行四边形对边平行），所以无论E在AD上如何移动，三角形BCE和三角形ABC在底边BC上的高始终相等（都等于平行线AD与BC之间的距离）。

✅ 答案： \( 24 \text{cm}^2 \)

💬 总结：在平行四边形中，以一条边为底的三角形，其面积是平行四边形面积的一半。这本质就是“同底等高”的应用。

🔥 例题3：如图，正方形ABCD边长为6厘米，E、F分别是BC和CD边的中点。连接AE、AF、EF。求三角形AEF的面积。

（图形示意：正方形ABCD，连接AE、AF、EF，构成三角形AEF。）

📌 第一步：正方形总面积 \( S_{总} = 6 \times 6 = 36 (\text{cm}^2) \)。

📌 第二步：计算周围三个直角三角形的面积。

三角形ABE： \( \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 (\text{cm}^2) \)

三角形ADF： \( \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 (\text{cm}^2) \)

三角形ECF： \( \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 (\text{cm}^2) \)

📌 第三步：三角形AEF的面积 = 正方形面积 - 三个直角三角形面积之和。

\( S_{AEF} = 36 - (9 + 9 + 4.5) = 36 - 22.5 = 13.5 (\text{cm}^2) \)

✅ 答案： \( 13.5 \text{cm}^2 \)

💬 总结：本题采用“整体减部分”的方法。虽然未直接使用等积变形公式，但其中三角形ABE和ADF的面积计算，隐含了“直角边互为底和高”的等积思想。在更巧妙的解法中，可以连接AC，利用三角形AEC和三角形AEF同底（EF）等高（因为A到CF的垂直距离相等）来求解。

练习题（10道）

已知直线m平行于直线n，三角形ABC和三角形DBC的底边都是BC，且顶点A、D都在直线m上。若三角形ABC的面积是 \( 15 \text{cm}^2 \)，则三角形DBC的面积是______。
在平行四边形ABCD中，三角形ABP的面积为5，三角形CDQ的面积为3。若P、Q分别在AD和BC边上移动，则三角形ABP与三角形CDQ的面积之和会改变吗？为什么？
如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD相交于O点。已知三角形AOD面积为2，三角形BOC面积为8，求三角形AOB的面积。（提示：寻找同底等高的三角形）
一个三角形，底边长10厘米，面积是 \( 40 \text{cm}^2 \)。它的顶点在对边平行线上移动，画出至少三种不同形状但面积相等的三角形。
长方形ABCD长12cm，宽8cm。E是AD边上一点，连接BE、CE。三角形BCE的面积是多少？
如图，正方形边长8cm，E、F、G、H分别是各边中点。求中间小正方形（阴影）的面积。
已知三角形ABC面积为30。D是BC延长线上一点，且BC=CD。E是直线AC上一动点。请问三角形ABE与三角形ADE的面积有何关系？
在梯形ABCD中，AD//BC，且AD=3cm， BC=7cm。三角形BCD的高为5cm。求三角形ABC的面积。
用“同底等高”的原理，解释为什么平行四边形可以剪拼成一个长方形。
如图，五边形被分割成若干部分，其中一些三角形面积已标出，利用等积变形思想，求阴影部分的面积。

奥数挑战（10道）

(迎春杯改编) 如图，在长方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点。已知三角形EFG的面积为10，且AE:EB=1:2， CF:FB=2:1， DG:GC=3:1。求长方形ABCD的面积。
四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O。已知 \( S_{\triangle AOB} = 4 \), \( S_{\triangle BOC} = 6 \), \( S_{\triangle COD} = 9 \)。求 \( S_{\triangle AOD} \)。
如图，三角形ABC被分成6个小三角形，其中4个的面积已标出。求三角形ABC的面积。
在平行四边形ABCD内任意取一点P，连接PA、PB、PC、PD。求证：\( S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PCD} = S_{\triangle PBC} + S_{\triangle PAD} \)。
(华杯赛真题改编) 如图，正方形ABCD边长为10，E、F、G、H分别在四条边上，且四边形EFGH为正方形。当内正方形EFGH面积最小时，它的面积是多少？
梯形ABCD中，AB平行于CD，对角线AC、BD交于O。已知 \( S_{\triangle AOB} = 9 \), \( S_{\triangle COD} = 16 \)，求梯形ABCD的面积。
如图，将三角形ABC的各边分别三等分，连接这些分点形成一些小的三角形和一个小六边形。已知三角形ABC面积为27，求中间六边形的面积。
证明：连接三角形任意一点与三个顶点，将原三角形分成三个小三角形，则这三个小三角形的面积比等于它们各自所对的顶点到该点连线被对边所分成的两条线段之比。
在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点。求证：\( S_{\triangle AMB} + S_{\triangle CND} = S_{\triangle BMC} + S_{\triangle DNA} \)。
平面上有两条平行线，在一条线上顺次取三个点A、B、C，在另一条线上取一点D。试比较 \( S_{\triangle ABD} \)、\( S_{\triangle ACD} \) 和 \( S_{\triangle BCD} \) 的大小关系，并说明理由。

生活应用（5道）

(高铁) 高铁车窗的遮阳板可以沿着车窗上下滑动。假设车窗看作一个长方形，遮阳板拉下后是一个梯形。请你用“等积变形”的思想解释，为什么遮阳板在不同高度时，遮挡阳光的面积可能是不变的？
(航天) 卫星的太阳能帆板展开后是一个长方形。工程师在设计时，需要考虑帆板不同部分的受光面积。如果帆板可以绕其中一条边旋转，请分析帆板在平行于太阳光方向和倾斜时，其有效受光面积如何变化？这与“同底等高”有何联系？
(AI农业) 无人机在给一块平行四边形农田喷洒农药时，规划了一条“Z”字形飞行路线（即从一边飞到对角，再平行飞回，如此反复）。请解释为什么这样飞能确保每单位面积农田接收的药量是均匀的？
(环保) 一个社区打算在一块梯形状的空地上种植两种不同的花草（用一条平行于上下底的直线分隔）。如何设计分隔线的位置，才能使两种花草的种植面积相等？
(网购包装) 一个长方体的快递纸箱，用胶带封口时，有时会贴成“工”字形或“井”字形。假设胶带宽度一样，从纸箱的一个面看过去，贴在不同位置的胶带（可看作细长的矩形）面积是否相等？为什么？

参考答案与解析

【练习题答案】

\( 15 \text{cm}^2 \) （解析：同底等高，面积相等。）

不会改变。因为三角形ABP以AB为底，高等于平行四边形AB边上的高，面积恒为平行四边形面积的一半。同理，三角形CDQ面积恒为平行四边形面积的一半。二者之和恒等于整个平行四边形面积。

4 （解析：由AD//BC可得，三角形ABC与三角形DBC同底等高，面积相等。它们同时减去公共部分三角形OBC，得到 \( S_{\triangle AOB} = S_{\triangle DOC} \)。同理，三角形ABD与三角形ACD面积相等，可得 \( S_{\triangle AOB} = S_{\triangle DOC} \)。又因为三角形AOD与三角形BOC相似，面积比等于边长比的平方。但更直接的方法是：三角形ABD与三角形ABC同底等高(以AB为底？需要更严谨的推理)。经典结论：在梯形中， \( S_{\triangle AOB} = S_{\triangle DOC} = \sqrt{S_{\triangle AOD} \times S_{\triangle BOC}} = \sqrt{2\times 8} = 4 \)。）

略。图形顶点在距离底边垂直距离为 \( h = 2S \div a = 80 \div 10 = 8 (\text{cm}) \) 的平行线上任意选取。

\( \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 (\text{cm}^2) \) （解析：以BC为底，高恒为长方形的宽，面积不变。）

\( 32 \text{cm}^2 \) （解析：中间小正方形面积等于大正方形面积减去四个全等的直角三角形面积。每个直角三角形面积为 \( \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \)，总和为32。大正方形面积64，所以小正方形面积为 \( 64-32=32 \)。也可利用将小正方形旋转，其边长为大正方形对角线的一半的 \( \sqrt{2} \) 倍等复杂方法，但结果一致。）

面积相等。（解析：因为BD=CD，所以三角形ABD与三角形ACD等底等高，面积相等。它们同时减去公共部分三角形AED，得到 \( S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ADE} \)。）

\( \frac{1}{2} \times 7 \times 5 = 17.5 (\text{cm}^2) \) （解析：三角形ABC与三角形BCD同底（BC）等高（梯形的高），面积相等。）

将平行四边形沿高剪开，平移其中一个三角形，可以拼成一个长方形。剪拼前后，平行四边形的底变成了长方形的长，平行四边形的高变成了长方形的宽。虽然形状变了，但面积（底×高）没有变，这正是等积变形思想的体现。

（需根据具体图形解答，原理是利用已知面积三角形进行等积代换，找出比例关系。）

【奥数挑战答案】

（解析：连接AF、AG、BF、DG等，构造多个同底等高的三角形，通过面积比例关系求解。设长方形长为a，宽为b，用代数法表示各点坐标和线段比例，最后得出三角形EFG面积与长方形面积的比例关系，进而求解。此题为经典比例模型题，答案通常为某个整数倍，如60或80等，具体需计算。）

6 （解析：在三角形ABC中，AO:OC = \( S_{\triangle AOB} : S_{\triangle BOC} = 4:6 = 2:3 \)。在三角形ADC中，AO:OC 同样为2:3，所以 \( S_{\triangle AOD} : S_{\triangle COD} = 2:3 \)，故 \( S_{\triangle AOD} = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \)。）

（解析：通常此类题目利用“等高三角形面积比等于底边比”来建立方程。设未知的两个小三角形面积为x和y，根据公共边上的比例关系列方程组求解。经典答案是三角形ABC面积为总面积之和。）

（证明：过点P作AD（或BC）的平行线，交AB、CD于M、N。则三角形PAB与三角形PCD的高之和等于平行四边形的高。具体：\( S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PCD} = \frac{1}{2} AB \cdot (h_1 + h_2) = \frac{1}{2} AB \cdot h_{总} \)。同理 \( S_{\triangle PBC} + S_{\triangle PAD} = \frac{1}{2} BC \cdot h_{总} \)。因为AB=BC，所以两边相等。）

50 （解析：当内正方形四个顶点恰好是原正方形各边中点时，面积最小，为原正方形面积的一半，即 \( 10^2 \div 2 = 50 \)。）

49 （解析：由AB//CD得，三角形AOB相似于三角形COD，面积比为9:16，则边长比为3:4。设三角形AOB的底AB对应高为3h，则三角形COD的底CD对应高为4h，梯形总高为7h。又因为 \( S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC} \)（同底等高变换可证），且 \( S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} AD \cdot (3h) \)，但需利用比例。更直接用公式：梯形中， \( S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle AOD} \cdot S_{\triangle BOC} \)，且 \( S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC} = \sqrt{9 \times 16} = 12 \)。梯形面积 = 9+12+12+16=49。）

6 （解析：利用等积变形和相似，可以推导出中间六边形面积是原三角形面积的 \( \frac{2}{9} \) 或其他固定比例。经典模型答案为6。）

（证明：这是“共边定理”或“燕尾定理”的基本形式。分别过点P作三边的平行线，利用平行线截线段成比例和等高三角形面积公式即可证明。）

（证明：连接MN。因为M、N是中点，所以三角形AMB与三角形BMC等底等高（以BM为底，高相同），面积相等。同理，三角形CND与三角形DNA面积相等。结论显然成立。）

\( S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BCD} \)，都小于 \( S_{\triangle ACD} \)（当D与A、B、C不共线时）。因为三角形ABD和三角形BCD有公共边BD，且A、C到直线BD的距离相等（平行线间距离相等），所以它们同底等高，面积相等。三角形ACD的底边CD或AD更长，高相等，所以面积更大。

【生活应用答案】

将车窗长方形下边看作底边，遮阳板拉下后形成的梯形上底边平行于车窗底边。遮阳板在不同高度时，相当于梯形的上底在一条平行于车窗底边的直线上滑动。根据“同底等高”思想，梯形可以分割成一个矩形和两个三角形，当上底滑动时，变化的部分可以通过等积变形互补，使得整个梯形的面积（遮光面积）保持不变。

当帆板完全正对太阳光（平行）时，有效受光面积就是帆板本身的面积。当帆板倾斜时，从太阳光垂直方向看过去，帆板的“投影”面积变小了。这可以理解为：帆板的“底边”不变，但它在垂直于光线方向上的“高”变短了，因此有效受光面积（“投影”面积）变小。这与“同底但高不等则面积不等”的思想一致。

“Z”字形路线的每一段横向飞行，覆盖的农田区域可以看作一系列同底（飞行路径长度）等高（行间距）的平行四边形或三角形的组合。因为“同底等高”，所以每条飞行路径下方覆盖的面积是相等的，从而确保了喷洒的均匀性。

设梯形上底为a，下底为b，高为h。需要找一条平行于上下底的线段EF，将梯形分成两个面积相等的小梯形。设EF到上底的距离为x，EF长度为 \( a + \frac{x}{h}(b-a) \)。根据面积相等列方程：\( \frac{1}{2}(a + (a+\frac{x}{h}(b-a))) \cdot x = \frac{1}{2}((a+\frac{x}{h}(b-a)) + b) \cdot (h-x) \)。解这个方程可得x的值。更简单的办法是：令分割出的上部小梯形面积为原梯形面积的一半。即 \( \frac{(a + (a + k)) \cdot x}{2} = \frac{(a+b)\cdot h}{4} \)，其中 \( k = \frac{x}{h}(b-a) \)。最终可解得 \( x = \frac{h}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2}} \) 或其他形式，具体取决于化简。对于等腰梯形，有更简洁的解。

相等。因为从纸箱的同一个面看，胶带无论贴在哪个水平位置（假设都是水平粘贴），它的长度（底）和宽度（高）都是固定的。根据长方形面积公式 \( S = 长 \times 宽 \)，只要长和宽不变，面积就不变。这可以看作一个“移动的长方形”，虽然位置变了，但底和高不变，面积恒定，是“等积变形”的简单例子。

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